Kutu Grafik Hesaplayıcı - Ücretsiz Kutu ve Bıyık Grafik Oluşturucu

Kutu grafiği nedir?

Kutu ve bıyık grafiği olarak da adlandırılan kutu grafiği, bir sayı kümesini beş değer kullanarak özetleyen bir grafiktir: minimum, birinci çeyrek, medyan, üçüncü çeyrek ve maksimum. Her veri noktasını listelemeden verilerin çoğunun nerede bulunduğunu gösterir ve aykırı değer adı verilen olağandışı değerleri belirginleştirir.

Kutu grafikleri istatistikte, bilimde ve iş raporlarında yaygındır; çünkü birkaç sayı grubunun bir bakışta karşılaştırılmasını sağlar.

Beş sayılık özet

Kutu grafiği, veriler küçükten büyüğe sıralandıktan sonra hesaplanan beş sayıdan oluşturulur.

• Minimum: aykırı olmayan en küçük değer. Bu hesaplayıcı bunu "Minimum (aykırı değerler hariç)" olarak etiketler.
• Birinci çeyrek (Q1): verilerin yaklaşık dörtte birinin altında kaldığı değer.
• Medyan (Q2): veri kümesinin ortanca değeri.
• Üçüncü çeyrek (Q3): verilerin yaklaşık dörtte üçünün altında kaldığı değer.
• Maksimum: aykırı olmayan en büyük değer. Bu hesaplayıcı bunu "Maksimum (aykırı değerler hariç)" olarak etiketler.

Bir veri kümesinde aykırı değer yoksa bu iki değer, girilen en küçük ve en büyük sayılardır. Aykırı değerler varsa bıyık uçları bu değerlerde biter; bu nedenle girilen en küçük veya en büyük sayı aykırı değerler listesinde ayrı olarak gösterilir.

Grafikteki kutu Q1 ile Q3 arasını kapsar. Kutunun içindeki bir çizgi medyanı gösterir. Bıyık adı verilen ince çizgiler kutudan minimum ve maksimum yönüne doğru uzanır. Aykırı değerler, bıyıkların ötesinde ayrı noktalar olarak çizilir.

Kutu grafiği formülü

n değer içeren ve küçükten büyüğe sıralanmış bir veri kümesi için:

Medyan. Veri sayısı tek olduğunda medyan ortadaki değerdir:

$M = x_{(n+1)/2}$

Veri sayısı çift olduğunda medyan, ortadaki iki değerin ortalamasıdır:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

burada M medyanı, konum numarasıyla birlikte verilen x ise sıralanmış veride o konumdaki değeri gösterir.

Çeyrekler. Sıralanmış verileri bir alt yarıya ve bir üst yarıya ayırın. n tekse medyanı her iki yarının dışında bırakın. Ardından:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

burada $M_l$ alt yarının medyanı, $M_u$ ise üst yarının medyanıdır.

Buna genellikle dışlayıcı yöntem denir. Başka yöntemler de vardır ve küçük veri kümelerinde biraz farklı Q1 ve Q3 değerleri verebilirler; ancak bu hesaplayıcı dışlayıcı yöntemi kullanır.

Çeyrekler arası açıklık (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Sınırlar ve bıyıklar. Sınırlar, aykırı değerler için sınırı belirtir:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

burada $F_l$ alt sınır, $F_u$ ise üst sınırdır.

Bıyık tam olarak bir sınırda durmaz. Sınırlara hâlâ dahil olan en uç veri noktasında durur:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

burada $W_l$ alt bıyık, $W_u$ ise üst bıyıktır.

Aykırı değerler. Alt sınırın altındaki veya üst sınırın üzerindeki her değer aykırı değerdir ve bıyığa dahil edilmek yerine ayrı bir nokta olarak gösterilir.

Kutu grafiği adım adım nasıl hesaplanır?

1. Verileri küçükten büyüğe sıralayın.
2. Medyanı bulun. Veri sayısı tek olduğunda medyan ortadaki değerdir. Veri sayısı çift olduğunda ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
3. Q1'i bulun: verilerin alt yarısının medyanı (veri sayısı tek olduğunda medyan dışarıda bırakılır).
4. Q3'ü bulun: aynı kuralı kullanarak verilerin üst yarısının medyanını bulun.
5. IQR'yi Q3 eksi Q1 olarak hesaplayın.
6. Alt ve üst sınırları, IQR'nin 1,5 katını kullanarak hesaplayın.
7. Sınırların dışındaki her değeri aykırı değer olarak işaretleyin.
8. Bıyıkları, sınırların içinde kalan en küçük ve en büyük değerlere ayarlayın.

Çözümlü örnek

Şu 11 değerlik veri kümesini ele alalım: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Veriler zaten sıralıdır.

11 değer olduğundan (tek sayı), medyan 6. değerdir: 40.

Alt yarı 6, 7, 15, 36, 39 değerlerinden oluşur (beş değer, medyan dışarıda bırakılır). Medyan ortadaki değerdir: Q1 = 15.

Üst yarı 41, 42, 43, 47, 49 değerlerinden oluşur. Medyan ortadaki değerdir: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Alt sınır = 15 − 1,5 × 28 = −27. Üst sınır = 43 + 1,5 × 28 = 85. Veri kümesindeki her değer −27 ile 85 arasında olduğundan aykırı değer yoktur ve bıyıklar gerçek minimum ve maksimum değerlere ulaşır: min = 6, maks = 49.

Şimdi bir aykırı değer içeren veri kümesini karşılaştıralım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Burada Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 ve IQR = 6 olduğundan üst sınır 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5 olur. 50 değeri bu sınırın üzerinde olduğundan aykırı değer olarak gösterilir ve üst bıyık, 50 değerinde değil, sınırın içinde kalan en büyük değer olan 11 değerinde biter.

Kutu grafiği nasıl okunur?

Kutu, verilerin ortadaki %50 bölümünü kapsar; bu nedenle geniş bir kutu verilerin ortasının geniş bir aralığa yayıldığını, dar bir kutu ise sıkı biçimde kümelendiğini gösterir. Medyan çizgisi kutunun bir kenarına daha yakınsa veriler uzun tarafa doğru eğilimlidir veya çarpıktır. Bir bıyığın diğerinden çok daha uzun olması, verilerin o tarafta daha fazla uzandığını gösterir. Bıyıkların ötesindeki noktalar aykırı değerlerdir ve gerçek uç değerler veya verilerdeki hatalar olabileceğinden genellikle daha yakından incelenmelidir.

Yaygın kullanım alanları

Kutu grafikleri grupları yan yana karşılaştırmak için kullanılır; örneğin birkaç sınıftaki sınav puanları, iki tedarikçideki teslimat süreleri veya bir deneyden alınan ölçümler ile kontrol grubunun ölçümleri karşılaştırılabilir. Kutu grafiği bütün bir dağılımı beş sayıya indirgediğinden, birkaç kutu aynı grafik üzerinde sıralanabilir. Bu da gruplardaki yayılımı ve tipik değerleri ham sayılar tablosuna göre daha kolay karşılaştırmayı sağlar.

Kutu grafiklerinin diğer grafiklerle karşılaştırılması

Histogram, bir dağılımın genel biçimini daha ayrıntılı gösterir; ancak aynı anda birçok grubu karşılaştırmak daha zordur. Keman grafiği, kutunun çevresine bir yoğunluk eğrisi ekleyerek değerlerin nerede daha kesin biçimde kümelendiğini gösterir. Dağılım grafiği iki değişken arasındaki ilişkiyi gösterir; kutu grafiği bunu gösteremez. Doğru seçim amaca bağlıdır: grupları karşılaştırmak için kutu grafiği, tek bir dağılımın biçimini ayrıntılı görmek için histogram veya keman grafiği, bir ilişkiyi incelemek için dağılım grafiği kullanılır.

Tarihçe

İstatistikçi John Tukey kutu grafiğini 1970'lerde tanıttı ve bunu 1977 tarihli Exploratory Data Analysis kitabında açıkladı. Bazen şematik grafik olarak adlandırılan özgün biçimi medyanı, çeyrekleri ve uç değerleri gösteriyordu. 1978 yılında istatistikçiler Robert McGill, Tukey ve Wayne Larsen, medyan çevresine güven aralığı ekleyen çentikli bir biçimi açıkladı. Aykırı değerleri işaretlemek için kullanılan 1,5 × IQR kuralı kısa süre sonra standart bir uygulama hâline geldi.

Sık sorulan sorular

Kutu grafiği ne için kullanılır? Bir sayı kümesinin nasıl yayıldığını gösterir ve minimum, Q1, medyan, Q3 ve maksimum değerlerini kullanarak olası aykırı değerleri belirginleştirir. Özellikle birkaç grubu tek bir grafik üzerinde karşılaştırmak için kullanışlıdır.

Kutu grafiği nasıl okunur? Kutu Q1 ile Q3 arasını kapsar ve verilerin ortadaki yarısını gösterir. Kutunun içindeki çizgi medyandır. Bıyıklar, aykırı olmayan en uç değerlere kadar uzanır; bıyıkların ötesindeki değerler ayrı noktalar olarak çizilir.

Kutu grafiğinde aykırı değerler nasıl belirlenir? Bir değer Q1 − 1,5 × IQR değerinin altındaysa veya Q3 + 1,5 × IQR değerinin üzerindeyse aykırı değerdir.

Kutu grafiği ile histogram arasındaki fark nedir? Kutu grafiği bir dağılımı beş sayıya ve aykırı değerlere indirger; bu nedenle kompakt ve grupları karşılaştırmak için uygundur. Histogram, değerlerin aralıklar içindeki sıklığını göstererek tek bir dağılımın biçimi hakkında daha fazla ayrıntı verir.

Bu hesaplayıcı küçük veri kümelerini işleyebilir mi? Bu hesaplayıcı, beş sayılık bir özet oluşturmak için en az beş sayı gerektirir. Küçük bir avuç değer, yayılım veya aykırı değerler hakkında yeterli fikir vermediğinden kutu grafikleri daha büyük veri kümelerinde daha bilgilendiricidir.

Hesaplayıcı hangi girdileri kabul eder? Virgül, boşluk veya satır sonlarıyla ayrılmış sayılar kabul edilir; bu nedenle bir elektronik tablodan yapıştırılan sütun da çalışır. Sayı olmayan her şey atlanmak yerine reddedilir; böylece bir yazım hatası sonucu sessizce değiştiremez.

Bir kutu grafiğinin çarpık görünmesi ne anlama gelir? Medyan Q1'e daha yakınsa verilerin yüksek uçta daha uzun bir kuyruğu vardır. Medyan Q3'e daha yakınsa verilerin düşük uçta daha uzun bir kuyruğu vardır.