Z-Test Hesaplayıcı

Giriş

Z-test hesaplayıcı, bir örnek Z-testini gerçekleştirmenize ve anlamanıza yardımcı olmak için tasarlanmış güçlü bir araçtır. Bu istatistiksel test, bir popülasyondan alınan bir örneğin ortalamasının bilinen veya varsayılan bir popülasyon ortalamasından anlamlı bir şekilde farklı olup olmadığını belirlemek için kullanılır.

Formül

Bir örnek Z-testi için Z-skoru aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Burada:

• $\bar{x}$ örnek ortalamasıdır
• $\mu$ popülasyon ortalamasıdır
• $\sigma$ popülasyon standart sapmasıdır
• $n$ örnek boyutudur

Bu formül, örnek ortalamasının popülasyon ortalamasından ne kadar uzak olduğunu standart sapmalar cinsinden hesaplar.

Bu Hesaplayıcıyı Nasıl Kullanılır

1. Örnek ortalamasını ($\bar{x}$) girin
2. Popülasyon ortalamasını ($\mu$) girin
3. Popülasyon standart sapmasını ($\sigma$) girin
4. Örnek boyutunu ($n$) girin
5. Z-skorunu elde etmek için "Hesapla" butonuna tıklayın

Hesaplayıcı, elde edilen Z-skorunu ve yorumunu gösterecektir.

Varsayımlar ve Sınırlamalar

Z-testi, birkaç varsayıma dayanır:

1. Örnek, popülasyondan rastgele seçilmiştir.
2. Popülasyon standart sapması biliniyor.
3. Popülasyon normal dağılımı takip ediyor.
4. Örnek boyutu yeterince büyük olmalıdır (genellikle n > 30).

Popülasyon standart sapması bilinmiyorsa veya örnek boyutu küçükse, bir t-testi daha uygun olabilir.

Sonuçların Yorumlanması

Z-skoru, örnek ortalamasının popülasyon ortalamasından kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu temsil eder. Genel olarak:

• 0 Z-skoru, örnek ortalamasının popülasyon ortalamasına eşit olduğunu gösterir.
• -1.96 ile 1.96 arasındaki Z-skorları, örnek ortalamasının %95 güven düzeyinde popülasyon ortalamasından anlamlı bir şekilde farklı olmadığını gösterir.
• Bu aralığın dışındaki Z-skorları, istatistiksel olarak anlamlı bir farkı gösterir.

Kesin yorum, seçilen anlamlılık düzeyine (α) ve testin tek kuyruklu veya çift kuyruklu olup olmadığına bağlıdır.

Kullanım Alanları

Z-testi, farklı alanlarda çeşitli uygulamalara sahiptir:

1. Kalite Kontrol: Bir üretim hattının belirlenen standartları karşılayıp karşılamadığını test etme.
2. Tıbbi Araştırmalar: Bir tedavi grubunun sonuçlarını bilinen popülasyon değerleriyle karşılaştırma.
3. Sosyal Bilimler: Bir örneğin özelliklerinin popülasyon normlarından farklı olup olmadığını değerlendirme.
4. Finans: Bir portföyün performansının piyasa ortalamasından anlamlı bir şekilde farklı olup olmadığını değerlendirme.
5. Eğitim: Öğrenci performansını standart test ortalamalarıyla karşılaştırma.

Alternatifler

Z-testi yaygın olarak kullanılsa da, bazı durumlarda alternatif testler daha uygun olabilir:

1. T-testi: Popülasyon standart sapması bilinmiyorsa veya örnek boyutu küçükse.
2. ANOVA: İki veya daha fazla grup arasında ortalamaları karşılaştırmak için.
3. Ki-kare testi: Kategorik veri analizi için.
4. Non-parametrik testler: Veri normal dağılımı takip etmiyorsa.

Tarihçe

Z-testi, 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarındaki istatistik teorisinin gelişimine dayanır. Normal dağılım ile yakından ilişkilidir; bu dağılım, 1733'te Abraham de Moivre tarafından ilk kez tanımlanmıştır. "Standart skor" veya "Z-skoru" terimi, 1904'te Charles Spearman tarafından tanıtılmıştır.

Z-testi, 20. yüzyılın başlarında eğitim ve psikolojide standart testlerin ortaya çıkmasıyla yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Ronald Fisher, Jerzy Neyman ve Egon Pearson gibi istatistikçiler tarafından hipotez test çerçevelerinin geliştirilmesinde kritik bir rol oynamıştır.

Bugün, Z-testi, popülasyon parametrelerinin bilindiği veya güvenilir bir şekilde tahmin edilebildiği büyük örnek çalışmaları için temel bir istatistiksel analiz aracıdır.

Örnekler

Farklı programlama dillerinde Z-skorlarını hesaplamak için bazı kod örnekleri:

1' Excel Z-skoru Fonksiyonu
2Function ZScore(sampleMean As Double, populationMean As Double, populationStdDev As Double, sampleSize As Double) As Double
3    ZScore = (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Sqr(sampleSize))
4End Function
5' Kullanım:
6' =ZScore(10, 9.5, 2, 100)
7

1import math
2
3def z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size):
4    return (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / math.sqrt(sample_size))
5
6## Örnek kullanım:
7sample_mean = 10
8population_mean = 9.5
9population_std_dev = 2
10sample_size = 100
11z = z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
12print(f"Z-skoru: {z:.4f}")
13

1function zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize) {
2  return (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Math.sqrt(sampleSize));
3}
4
5// Örnek kullanım:
6const sampleMean = 10;
7const populationMean = 9.5;
8const populationStdDev = 2;
9const sampleSize = 100;
10const z = zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize);
11console.log(`Z-skoru: ${z.toFixed(4)}`);
12

1z_score <- function(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size) {
2  (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / sqrt(sample_size))
3}
4
5## Örnek kullanım:
6sample_mean <- 10
7population_mean <- 9.5
8population_std_dev <- 2
9sample_size <- 100
10z <- z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
11cat(sprintf("Z-skoru: %.4f\n", z))
12

Görselleştirme

Z-skoru, standart normal dağılım eğrisi üzerinde görselleştirilebilir. İşte basit bir ASCII temsili: