Poisson Dağılımı Hesaplayıcısı - Olay Olasılıklarını Hesaplama

Poisson dağılımı hesaplayıcısı nedir?

Poisson dağılımı hesaplayıcısı, olayların ortalama gerçekleşme sıklığı verildiğinde, belirli bir zaman veya uzay aralığında belirli sayıda olayın gerçekleşme olasılığını bulur. Olaylar birbirinden bağımsız olarak, sabit bir ortalama hızla ve aynı anda yalnızca bir tane gerçekleştiğinde kullanılır. Tipik örnekler arasında bir çağrı merkezinin bir saatte aldığı telefon çağrılarının sayısı veya bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı bulunur.

Poisson dağılımı formülü

Poisson dağılımı, ortalama hız λ olduğunda (Yunan harfi lambda), tam olarak k olay gerçekleşme olasılığını verir:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Her sembol şu anlama gelir:

• λ (lambda) — aralık başına ortalama olay sayısıdır. Dağılımın tek parametresidir.
• k — olasılığı hesaplanan tam olay sayısıdır. Bir tam sayı, 0 veya daha büyük olmalıdır.
• e — yaklaşık 2,71828 değerine eşit sabit bir sayı olan Euler sayısıdır.
• k! — 1'den k'ye kadar tüm tam sayıların çarpımı olan “k faktöriyeli”dir. Örneğin, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Tanım gereği, 0! = 1.

Formül yalnızca λ ve k değerlerine ihtiyaç duyar. Binom dağılımının aksine, toplam deneme sayısına ihtiyaç duymaz.

Poisson olasılığı nasıl hesaplanır?

1. İncelenen aralıktaki ortalama olay sayısı olan λ'yı seçin.
2. Olasılığının bulunacağı tam olay sayısı olan k'yı seçin.
3. e'yi negatif λ üssüne yükseltin: bu, e^(−λ) değerini verir.
4. λ'yı k üssüne yükseltin: bu, λ^k değerini verir.
5. k!'yı, yani k'nın faktöriyelini bulun.
6. 3 ve 4 adımlarının sonuçlarını çarpın, ardından 5 adımının sonucuna bölün.

Elde edilen sayı, 0 ile 1 arasında bir olasılıktır. Yüzde olarak ifade etmek için bu sayıyı 100 ile çarpın.

Çözümlü örnek

Bir çağrı merkezi saatte ortalama 5 çağrı alıyor (λ = 5). Belirli bir saatte tam olarak 3 çağrı alma olasılığı nedir (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Çarpma: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. 6'ya bölme: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

O saatte tam olarak 3 çağrı alma olasılığı yaklaşık 0,140, yani %14'dir.

Daha fazla örnek

Poisson dağılımı nerelerde kullanılır?

Poisson dağılımı, nadir ve bağımsız olayların sayılarını modeller. Yaygın kullanım alanları şunlardır:

• Çağrı merkezleri ve müşteri hizmetleri: saatte kaç çağrı veya sohbet geleceğini tahmin etmek.
• Üretim: bir ürün partisindeki kusur sayısını tahmin etmek.
• Sigorta: belirli bir dönemde kaç tazminat talebi geleceğini tahmin etmek.
• Biyoloji ve tıp: mutasyon sayılarını veya nadir hastalıkların yayılmasını modellemek.
• Fizik: her atomun sabit bir ortalama hızla bağımsız olarak bozunduğu radyoaktif bozunmayı açıklamak.
• Trafik ve ağ mühendisliği: bir kavşağa gelen araçların veya bir sunucuya ulaşan isteklerin sayısını tahmin etmek.

Poisson dağılımının kullanım koşulları

Poisson dağılımı yalnızca aşağıdaki koşulların tümü geçerli olduğunda bir duruma uygun olur:

• Olaylar birer birer gerçekleşir; iki olay tam olarak aynı anda gerçekleşemez.
• Olaylar bağımsız gerçekleşir — bir olay, sonraki olayın olasılığını artırmaz veya azaltmaz.
• Ortalama hız λ, incelenen aralık boyunca sabit kalır.

Hız zamanla değişirse veya olaylar kümelenme eğilimi gösterirse, basit Poisson dağılımı verileri iyi açıklamaz.

Poisson ve ilişkili dağılımlar

• Binom dağılımı: her denemede bilinen bir başarı olasılığı ve sabit sayıda deneme olduğunda, örneğin bir paranın 20 kez atılmasında kullanılır. Deneme sayısı çok büyürken deneme başına başarı olasılığı sıfıra yaklaşır ve bu ikisinin çarpımı λ civarında kalırsa, binom dağılımı Poisson dağılımına dönüşür.
• Normal dağılım: büyük λ değerlerinde, yaklaşık 20'nin üzerinde, Poisson dağılımı ortalaması λ ve varyansı λ olan çan biçimli normal dağılıma oldukça benzer.
• Üstel dağılım: Poisson dağılımı sabit bir aralıkta kaç olay gerçekleştiğini sayarken, üstel dağılım bu olaylar arasındaki bekleme süresini açıklar.

Tarihe ilişkin bir not

Fransız matematikçi Siméon Denis Poisson, dağılımı 1837 yılında, mahkeme kararlarına uygulanan olasılık hakkında bir kitapta tanıttı. Başlangıçta fazla ilgi görmedi. Ladislaus Bortkiewicz ve Ronald Fisher gibi istatistikçilerin, Prusyalı askerlerin at tekmeleriyle ölmesine ilişkin ünlü bir araştırma da dahil olmak üzere gerçek sayım verilerine uygulamasından sonra, kullanım alanı 20. yüzyılın başlarında genişledi.

Sık sorulan sorular

Poisson dağılımında lambda (λ) ne anlama gelir? Lambda, incelenen aralıkta beklenen ortalama olay sayısıdır. Aynı zamanda dağılımın varyansıdır; dolayısıyla daha büyük bir λ, hem daha yüksek bir ortalama sayım hem de olası sonuçlarda daha fazla yayılım anlamına gelir.

k veya λ negatif ya da kesirli olabilir mi? λ, 0'dan büyük olmalıdır; ancak saatte 2,5 olay gibi ondalık bir değer olabilir. k, gerçek olayları saydığı için 0 veya daha büyük bir tam sayı olmalıdır; negatif veya kesirli olamaz.

Poisson dağılımı binom dağılımından nasıl farklıdır? Binom dağılımı, sabit sayıda deneme ve deneme başına sabit bir başarı olasılığı gerektirir. Poisson dağılımı ise yalnızca ortalama bir hıza ihtiyaç duyar ve ilke olarak herhangi sayıda gerçekleşebilecek olaylar için çalışır.

Bunun yerine normal dağılım ne zaman kullanılmalıdır? Büyük λ değerlerinde, genellikle yaklaşık 20'nin üzerinde, aynı ortalama ve varyansa sahip bir normal dağılım Poisson dağılımına oldukça yakın bir yaklaşım sağlar ve elle hesaplanması çoğu zaman daha kolaydır.

Hesaplayıcı bazen neden bilimsel gösterimde bir sayı gösterir? Sonuçlar normalde altı ondalık basamağa kadar gösterilir. Bir olasılık 0,0001 değerinden küçük olduğunda, altı ondalık basamakla yuvarlandığında 0,000000 olur ve gerçek değerinin ne kadar küçük olduğunu gizler; bu nedenle hesaplayıcı bunun yerine bilimsel gösterime geçer. λ = 20 ve k = 1 için 4.122307e-8 değerini gösterir; bu, 0,00000004122307 anlamına gelir.

Hesaplayıcının kabul ettiği değerler için sınırlar var mı? Evet. λ, 0'dan büyük ve 700'ü aşmamalıdır; k ise 0 ile 1000 arasında bir tam sayı olmalıdır. Bu sınırların dışındaki değerlerde hesaplayıcı bir hata gösterir. Üst sınırlar, sonucu bir bilgisayarın saklayabileceği sayı aralığında tutar ve grafiğin okunabilir sayıda çubuk içermesini sağlar.

Poisson dağılımı aynı anda birden fazla olaya izin verir mi? Hayır. Model, olayların birer birer gerçekleştiğini varsayar. İki olay düzenli olarak birlikte gerçekleşiyorsa, verilere farklı bir dağılım daha iyi uyar.

Kaynaklar

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH İstatistiksel Yöntemler e-El Kitabı, 1,3.6,6.19 bölümü. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp ve Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.