Gamma Dağılımı Hesaplayıcı

Giriş

Gamma dağılımı, çeşitli bilim, mühendislik ve finans alanlarında yaygın olarak kullanılan sürekli bir olasılık dağılımıdır. İki parametre ile karakterize edilir: şekil parametresi (k veya α) ve ölçek parametresi (θ veya β). Bu hesaplayıcı, bu giriş parametrelerine dayanarak gamma dağılımının çeşitli özelliklerini hesaplamanızı sağlar.

Formül

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) şu şekilde verilir:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Burada:

• x > 0 rastgele değişkendir
• k > 0 şekil parametresidir
• θ > 0 ölçek parametresidir
• Γ(k) gamma fonksiyonudur

Kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF) ise:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Burada γ(k, x/θ) alt eksik gamma fonksiyonudur.

Gamma dağılımının temel özellikleri şunlardır:

1. Ortalama: $E[X] = k\theta$
2. Varyans: $Var[X] = k\theta^2$
3. Çarpıklık: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kütosis: $3 + \frac{6}{k}$

Bu Hesaplayıcıyı Nasıl Kullanırsınız

1. Şekil parametresini (k veya α) girin
2. Ölçek parametresini (θ veya β) girin
3. Gamma dağılımının çeşitli özelliklerini hesaplamak için "Hesapla" butonuna tıklayın
4. Sonuçlar ortalama, varyans, çarpıklık, kütosis ve diğer ilgili bilgileri gösterecektir
5. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun bir görselleştirmesi gösterilecektir

Hesaplama

Hesaplayıcı, yukarıda belirtilen formülleri kullanarak gamma dağılımının çeşitli özelliklerini hesaplar. İşte adım adım bir açıklama:

1. Giriş parametrelerini doğrulayın (hem k hem de θ pozitif olmalıdır)
2. Ortalamayı hesaplayın: $k\theta$
3. Varyansı hesaplayın: $k\theta^2$
4. Çarpıklığı hesaplayın: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Kütosisi hesaplayın: $3 + \frac{6}{k}$
6. Modu hesaplayın: k ≥ 1 için $(k-1)\theta$, aksi takdirde 0
7. PDF eğrisi için noktalar oluşturun, yukarıda verilen formülü kullanarak
8. PDF eğrisini çizin

Sayısal Dikkatler

Gamma dağılımı hesaplamalarını uygularlarken göz önünde bulundurulması gereken birkaç sayısal husus vardır:

1. Çok küçük şekil parametreleri (k < 1) için, PDF x sıfıra yaklaşırken sonsuzluğa yaklaşabilir, bu da sayısal istikrarsızlığa neden olabilir.
2. Büyük şekil parametreleri için, gamma fonksiyonu Γ(k) çok büyük hale gelebilir ve taşma (overflow) sorununa yol açabilir. Bu durumlarda, gamma fonksiyonunun logaritması ile çalışmak tavsiye edilir.
3. CDF hesaplanırken, PDF'nin doğrudan entegrasyonundan ziyade alt eksik gamma fonksiyonu için özel algoritmalar kullanmak genellikle daha sayısal olarak kararlıdır.
4. Aşırı parametre değerleri için, doğruluğu korumak amacıyla genişletilmiş hassas aritmetik kullanmak gerekebilir.

Kullanım Alanları

Gamma dağılımının çeşitli alanlarda birçok uygulaması vardır:

1. Finans: Gelir dağılımlarını, sigorta talep miktarlarını ve varlık getirilerini modelleme
2. Meteoroloji: Yağış desenlerini ve diğer hava ile ilgili olguları analiz etme
3. Mühendislik: Güvenilirlik analizi ve arıza süreleri modelleme
4. Fizik: Radyoaktif bozunma olayları arasındaki bekleme sürelerini tanımlama
5. Biyoloji: Tür bolluğu ve gen ifade seviyelerini modelleme
6. Operasyon Araştırması: Kuyruk teorisi ve envanter yönetimi

Alternatifler

Gamma dağılımı çok yönlü olsa da, belirli durumlarda daha uygun olabilecek ilgili dağılımlar vardır:

1. Üstel Dağılım: k = 1 olduğunda gamma dağılımının özel bir durumu
2. Ki-kare Dağılımı: k = n/2 ve θ = 2 olduğunda gamma dağılımının özel bir durumu
3. Weibull Dağılımı: Güvenilirlik analizinde alternatif olarak sıkça kullanılır
4. Log-normal Dağılım: Çarpık, pozitif verileri modellemek için başka bir yaygın seçim

Parametre Tahmini

Gerçek dünya verileri ile çalışırken, genellikle gamma dağılımının parametrelerini tahmin etmek gerekir. Yaygın yöntemler şunlardır:

1. Momentler Yöntemi: Örnek momentlerini teorik momentlerle eşitleme
2. Maksimum Olabilirlik Tahmini (MLE): Gözlemlenen verilerin olasılığını maksimize eden parametreleri bulma
3. Bayesian Tahmin: Parametreler hakkında ön bilgi dahil etme

Hipotez Testi

Gamma dağılımı, çeşitli hipotez testlerinde kullanılabilir, bunlar arasında:

1. Verilerin gamma dağılımını takip edip etmediğini belirlemek için uyum iyiliği testleri
2. İki gamma dağılımı arasındaki ölçek parametrelerinin eşitliği için testler
3. İki gamma dağılımı arasındaki şekil parametrelerinin eşitliği için testler

Tarihçe

Gamma dağılımının matematik ve istatistikte zengin bir tarihi vardır:

• 18. yüzyıl: Leonhard Euler, gamma fonksiyonunu tanıttı; bu, gamma dağılımı ile yakından ilişkilidir
• 1836: Siméon Denis Poisson, olasılık teorisi üzerine çalışmasında gamma dağılımının özel bir durumunu kullandı
• 1920'ler: Ronald Fisher, gamma dağılımının istatistiksel analizdeki kullanımını yaygınlaştırdı
• 20. yüzyılın ortaları: Gamma dağılımı, güvenilirlik mühendisliği ve yaşam testi alanlarında yaygın olarak kullanılmaya başlandı
• 20. yüzyılın sonlarından günümüze: Bilgisayar gücündeki ilerlemeler, çeşitli uygulamalarda gamma dağılımları ile çalışmayı kolaylaştırdı

Örnekler

İşte gamma dağılımının özelliklerini hesaplamak için bazı kod örnekleri:

1' Excel VBA Fonksiyonu için Gamma Dağılımı PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Kullanım:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma Dağılımı (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Olasılık Yoğunluğu')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Örnek kullanım:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Özellikleri hesapla
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Ortalama: {mean}")
29print(f"Varyans: {variance}")
30print(f"Çarpıklık: {skewness}")
31print(f"Kütosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Ortalama: ${mean}`);
19    console.log(`Varyans: ${variance}`);
20    console.log(`Çarpıklık: ${skewness}`);
21    console.log(`Kütosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Örnek kullanım:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF'yi çiz (varsayımsal bir çizim kütüphanesi kullanarak)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Bu örnekler, gamma dağılımının özelliklerini hesaplamak ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu çeşitli programlama dilleri kullanarak görselleştirmek için nasıl kullanılacağını göstermektedir. Bu fonksiyonları özel ihtiyaçlarınıza uyarlayabilir veya daha büyük istatistiksel analiz sistemlerine entegre edebilirsiniz.

Referanslar

1. "Gamma Dağılımı." Vikipedi, Wikimedia Vakfı, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Erişim tarihi: 2 Ağustos 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Sürekli tek değişkenli dağılımlar, cilt 1 (Cilt 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). İstatistiksel dağılımlar. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Gamma dağılımı üzerine bir not. Aylık Hava Durumu İncelemesi, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Gamma dağılımının genelleştirilmesi. Matematiksel İstatistik Dergisi, 33(3), 1187-1192.