Binom Dağılımı Hesaplayıcı - Ücretsiz Olasılık Aracı

Binom dağılımı hesaplayıcısı nedir?

Binom dağılımı hesaplayıcısı, her denemede başarı olasılığı aynı olduğunda, sabit sayıdaki bağımsız denemede tam olarak belirli sayıda başarı elde etme olasılığını bulur. İstatistik, kalite kontrolü, tıp ve tekrarlanan evet-hayır olaylarını inceleyen her alanda kullanılır.

Temel fikir, yalnızca iki sonucu olan ve genellikle başarı ile başarısızlık olarak adlandırılan tekrarlı denemelerdeki başarıları saymaya yarayan bir olasılık modeli olan binom dağılımıdır.

Binom dağılımı formülü

n denemede tam olarak k başarı elde etme olasılığı şöyledir:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Her sembol şu anlama gelir:

• n — deneme sayısı.
• k — olasılığı bulunacak başarı sayısı.
• p — tek bir denemedeki başarı olasılığı; 0 ile 1 arasında bir sayıdır.
• $\binom{n}{k}$ — binom katsayısıdır; n deneme içinden k başarı seçmenin farklı yollarının sayısını gösterir. Değeri $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.

Her deneme bağımsız olmalıdır; yani bir denemenin sonucu diğerinin olasılığını değiştirmemeli ve başarı olasılığı tüm denemelerde aynı kalmalıdır. Yazı-tura atışı gibi iki olası sonucu olan tek bir denemeye Bernoulli denemesi denir. Binom dağılımı, n Bernoulli denemesinin sonuçlarının toplanmasıyla elde edilir.

Binom olasılığı nasıl hesaplanır?

1. n, k ve p değerlerini yazın.
2. k başarının n deneme arasındaki yerleşim yollarının sayısı olan binom katsayısını $\binom{n}{k}$ hesaplayın.
3. p değerini k kuvvetine yükseltin.
4. (1 − p) ifadesini (n − k) kuvvetine yükseltin.
5. Üç sayıyı birbiriyle çarpın.

Bu sayfadaki hesaplayıcı bu adımları otomatik olarak gerçekleştirir. n, p ve k değerlerini girin; hesaplayıcı P(X = k) değerini ve 0 başarıdan n başarıya kadar tüm olası sonuçların olasılıklarını gösteren bir çubuk grafik döndürür.

Çözümlü örnek

Örnek 1: yazı-tura atışları

Adil bir parayı 10 kez atın. Tam olarak 3 kez tura gelme olasılığı nedir?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Sonuç: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, yani yaklaşık %11,72

Örnek 2: kalite kontrolü

Bir fabrika 100 ürünü denetliyor. Her ürünün kusurlu olma olasılığı %2. 100 ürünün hiçbirinin kusurlu olmama olasılığı nedir?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• k = 0 olduğundan formül $(1-p)^n = 0.98^{100}$ biçimine indirgenir.
• Sonuç: ≈ 0,1326, yani yaklaşık %13,26

Örnek 3: hastalık testi

Bir şehir, nüfusun %0,1'ine bulaşan bir hastalık için 1.000 kişiyi test ediyor (p = 0,001). 1.000 kişinin tam olarak 5 tanesinin enfekte olma olasılığı nedir?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Sonuç: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, yani yaklaşık %0,30 (kesin değer 0,0030488, yani %0,30488)

Ortalama ve varyans

n ve p parametrelerine sahip bir binom dağılımı için:

• Ortalama (beklenen değer): E(X) = np
• Varyans: Var(X) = np(1 − p)
• Standart sapma: σ = √[np(1 − p)]

Ortalama, çok sayıda tekrarda beklenen ortalama başarı sayısını gösterir. Örnek 1'de ortalama, 10 × 0,5 = 5 turadır.

Hesaplayıcının kabul ettiği değerler

• n, 1 veya daha büyük bir tam sayı olmalıdır. Ondalık bir giriş en yakın deneme sayısına yuvarlanır; bu nedenle 10,9, 11 olarak kabul edilir.
• p, uç noktalar da dahil olmak üzere 0 ile 1 arasında olmalıdır.
• k, 0 veya daha büyük bir tam sayı olmalı ve n'den büyük olmamalıdır. 5 denemede 8 başarı elde etmek imkânsızdır; bu nedenle hesaplayıcı bir sayı yerine hata bildirir.

Herhangi bir kutu boş bırakılırsa hesaplayıcı bir değer tahmin etmek yerine sonuç ve grafik göstermez.

Binom dağılımı ne zaman uygulanır?

Binom dağılımı, ancak aşağıdaki dört koşulun tamamı sağlandığında uygun olur:

1. Deneme sayısı n önceden sabitlenmiştir.
2. Her denemenin yalnızca iki sonucu vardır: başarı veya başarısızlık.
3. Başarı olasılığı p her denemede aynıdır.
4. Denemeler birbirinden bağımsızdır.

Bir desteden kartları yerine koymadan çekmek bağımsızlık koşulunu bozar; çünkü bir kartın çıkarılması sonraki çekişin olasılıklarını değiştirir. Bu durumda bunun yerine hipergeometrik dağılım kullanılır.

İlgili dağılımlar

• Poisson dağılımı: n büyük ve p küçük olduğunda, dolayısıyla ortalama başarı sayısı (np) makul düzeyde kaldığında binom dağılımını yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılır. Örnek 3'teki hastalık vakası gibi nadir olayların modellenmesinde yaygındır.
• Normal dağılım: n büyük olduğunda ve p, 0 veya 1 değerlerine çok yakın olmadığında binom dağılımı yaklaşık olarak çan eğrisi biçimindedir ve ortalaması np, varyansı np(1 − p) olan normal dağılımla yaklaşık olarak ifade edilebilir.
• Hipergeometrik dağılım: sonlu bir popülasyondan yerine koymadan örnekleme yapıldığında binom dağılımı yerine kullanılır.

Sık sorulan sorular

Binom dağılımı hesaplayıcısı ne yapar?

p başarı olasılığına sahip n bağımsız denemede tam olarak k başarı elde etme olasılığını P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k) formülünü kullanarak hesaplar.

Binom dağılımı ile normal dağılım arasındaki fark nedir?

Binom dağılımı kesiklidir; yani yalnızca tam sayı olarak başarı sayıları üretir. Normal dağılım süreklidir. Büyük n değerlerinde binom dağılımı, ortalaması np ve varyansı np(1 − p) olan bir normal eğriyle yaklaşık olarak ifade edilebilir.

p, 0 veya 1 olabilir mi?

Evet. p = 0 ise hiçbir deneme başarılı olamaz; bu nedenle P(X = 0) = 1 olur. p = 1 ise her deneme başarılı olur; bu nedenle P(X = n) = 1 olur. Bu durumlarda k'nin diğer tüm değerlerinin olasılığı 0'dır.

Binom ve Bernoulli dağılımları arasındaki ilişki nedir?

Bernoulli dağılımı, iki sonucu olan tek bir denemeyi tanımlar (n = 1). Binom dağılımı, n bağımsız Bernoulli denemesinin toplamıdır; dolayısıyla Bernoulli dağılımı, n = 1 olan bir binom dağılımıdır.

Hesaplayıcı hatalı sonuç vermeye başlamadan önce n ne kadar büyük olabilir?

Hesaplayıcı, standart çift duyarlıklı aritmetik kullanır. Formülün üç bölümünü doğrudan çarpar ve binom katsayısı, bir çift duyarlıklı sayının tutabileceği en büyük değeri aştığında logaritmalara geçer; bu durum k, n/2 değerine yakınken yaklaşık n = 1.000 civarında gerçekleşir. Sonuçlar bu noktadan sonra da doğru kalır. Yaklaşık 1e-308 değerinden küçük bir olasılık 0 olarak bildirilir; çünkü hiçbir çift duyarlıklı sayı bu değeri tutamaz.

Binom katsayısı nasıl hesaplanır?

Binom katsayısı C(n, k), sıralamayı dikkate almadan n öğe arasından k öğe seçmenin yollarının sayısını verir. Değeri n! / (k! × (n − k)!) şeklindedir. Hesaplayıcı bunu adım adım oluşturur; bir çarpanla çarpıp sonraki çarpana böler ve böylece tam faktöriyeli saklaması gerekmez. Çok büyük n değerlerinde bunun yerine bu çarpanların logaritmalarını toplar.

Kaynaklar

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. ve diğerleri. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.