Калькулятор арки - Розрахунок радіуса, прольоту та підйому

Що таке калькулятор арки?

Калькулятор арки визначає розміри кругової арки — її радіус, проліт і підйом — за будь-якими двома з цих значень. Він також обчислює довжину дуги та площу арки. Архітектори, будівельники й аматори використовують його для планування дверних прорізів, вікон, мостів і садових конструкцій із криволінійною формою.

Основні розміри арки

Кругова арка — це ділянка дуги кола. Її форму описують п’ять вимірювань:

• Радіус: відстань від центра цього кола до будь-якої точки кривої арки.
• Проліт: пряма горизонтальна відстань між двома нижніми кінцями арки, яку також називають шириною.
• Підйом: вертикальна відстань від лінії п’ят арки (горизонтальної лінії, що сполучає два кінці) до найвищої точки арки.
• Довжина дуги: відстань уздовж кривої лінії арки від одного кінця до іншого.
• Площа арки: площа криволінійної області, обмеженої аркою та лінією п’ят.

Формули розмірів арки

Ці формули застосовні до кругової арки, утвореної частиною одного кола. Вони справедливі для будь-якого підйому до подвійного радіуса включно. Цей діапазон охоплює дверні, віконні та мостові арки, які найчастіше обчислюють, а також підковоподібні арки, у яких крива продовжується за межі півкола.

Формула підйому (за радіусом і прольотом)

$\text{Підйом} = \text{Радіус} - \sqrt{\text{Радіус}^2 - \left(\frac{\text{Проліт}}{2}\right)^2}$

Справедлива, коли радіус і проліт додатні, а проліт ≤ 2 × радіус.

Формула радіуса (за прольотом і підйомом)

$\text{Радіус} = \frac{\text{Проліт}^2}{8 \times \text{Підйом}} + \frac{\text{Підйом}}{2}$

Справедлива, коли проліт і підйом додатні.

Формула прольоту (за радіусом і підйомом)

$\text{Проліт} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Радіус} \times \text{Підйом} - \text{Підйом}^2}$

Справедлива, коли радіус і підйом додатні, а підйом ≤ 2 × радіус.

Формула довжини дуги

$\text{Довжина дуги} = \text{Радіус} \times \theta$

Тут θ (тета) — центральний кут у радіанах, який крива арки утворює в центрі кола. Коли підйом не перевищує радіус, арка є не більшою за півколо, і θ дорівнює:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Проліт}}{2 \times \text{Радіус}}\right)$

Коли підйом більший за радіус, арка перевищує півколо, і θ дорівнює решті повного оберту:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Проліт}}{2 \times \text{Радіус}}\right)$

Калькулятор охоплює обидва випадки одним кроком: θ = 2 × atan2(Проліт ÷ 2, Радіус − Підйом); ця формула також дає точний результат для півкола.

Формула площі арки

$\text{Площа арки} = \frac{1}{2} \times \text{Радіус}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Проліт} \times (\text{Радіус} - \text{Підйом})$

Як користуватися калькулятором арки

Калькулятор має три режими — по одному для кожного розміру, який може бути невідомим.

Обчислити підйом, коли відомі радіус і проліт: введіть радіус і проліт. Інструмент поверне підйом, довжину дуги та площу арки.

Обчислити радіус, коли відомі проліт і підйом: введіть проліт і підйом. Інструмент поверне радіус, довжину дуги та площу арки.

Обчислити проліт, коли відомі радіус і підйом: введіть радіус і підйом. Інструмент поверне проліт, довжину дуги та площу арки.

Калькулятор відхиляє значення, з якими неможливо утворити реальну арку. Проліт не може перевищувати подвійний радіус, підйом не може перевищувати подвійний радіус, а кожен розмір має бути додатним числом. Якщо значення порушує одне з цих правил, з’являється повідомлення про помилку.

Приклад обчислення

Приклад 1: арка дверного прорізу

Арка дверного прорізу має проліт 36 дюймів (91,4 см) і підйом 12 дюймів (30,5 см).

Радіус = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 дюйма (49,5 см)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 радіана

Довжина дуги = 19,5 × 2,352 = 45,86 дюйма (116 см)

Площа арки = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 квадратного дюйма (2 010 см²)

Приклад 2: садова арка

Садова арка має радіус 4 фути (1,2 м) і проліт 6 футів (1,8 м).

Підйом = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 фута (0,411 м)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 радіана

Довжина дуги = 4 × 1,696 = 6,78 фута (2,07 м)

Площа арки = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 квадратного фута (0,523 м²)

Приклад 3: арка мосту

Арка мосту має проліт 50 футів (15 м) і підйом 15 футів (4,57 м).

Радіус = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 фута (8,63 м)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 радіана

Довжина дуги = 28,33 × 2,162 = 61,25 фута (18,7 м)

Площа арки = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 квадратного фута (49,6 м²)

Поширені застосування розрахунків арок

Будівельники використовують розміри арки для виготовлення опалубки бетонних арок, створення шаблонів цегляних або кам’яних арок і планування кривизни склепінь. Проєктувальники мостів використовують проліт, підйом і радіус, щоб узгодити розподіл навантаження з необхідним просвітом. Під час реставрації ті самі формули дають змогу відтворити точну геометрію історичної арки під час її ремонту або відбудови. Садівники та майстри, які виконують роботи самостійно, використовують їх для аркових шпалер, хвірток і декоративних прорізів.

Цей калькулятор призначений лише для кругових арок, утворених дугою одного кола. Еліптичні, параболічні, готичні та ланцюгові арки мають інші криві й потребують інших формул.

Коротка історія арки

Будівельники в стародавній Месопотамії використовували ранні аркоподібні форми ще близько 2500 року до н. е., хоча більшість із них будували методом напуску — укладаючи камені так, щоб кожен шар виступав над нижнім, — а не як справжню криву арку. Римляни розвинули напівкруглу арку до стандартного будівельного методу й використовували її в акведуках, мостах і таких спорудах, як Колізей. Середньовічні будівельники Європи розробили стрілчасту готичну арку, яка дала змогу споруджувати вищі та легші конструкції. Пізніше архітектори повернулися до напівкруглих форм, заснованих на точних пропорціях, а сучасні матеріали, як-от сталь і залізобетон, тепер дають змогу аркам перекривати значно більші відстані.

Поширені запитання

У чому різниця між підйомом і висотою арки?

Підйом — це вертикальна відстань від лінії п’ят до вершини кривої арки. Висота іноді означає загальну висоту прорізу, включно з прямою стіною під лінією п’ят.

Чи працює цей калькулятор для всіх типів арок?

Ні. Він працює лише для кругових арок, формою подібних до сегмента кола. Еліптичні, параболічні, готичні та ланцюгові арки мають інші криві й потребують окремих формул.

Який зв’язок між прольотом і радіусом у напівкруглій арці?

У напівкруглій арці радіус дорівнює половині прольоту, а підйом дорівнює радіусу. Арка утворює рівно половину кола.

Чому проліт не може бути більшим за подвійний радіус?

Проліт, що дорівнює подвійному радіусу, уже утворює півколо — найширшу можливу арку для такого радіуса. Ширший проліт узагалі не вмістився б у колі.

Чому підйом не може бути більшим за подвійний радіус (у режимі обчислення прольоту)?

Підйом вимірюють від лінії п’ят до найвищої точки арки на тому самому колі. Подвійний радіус — це повна висота цього кола, тому більший підйом розмістив би вершину арки за межами кола. Підйом між радіусом і подвійним радіусом допустимий. У такому разі арка перевищує півколо, як у підковоподібних арках.

Які одиниці використовує калькулятор?

Підійде будь-яка узгоджена одиниця — дюйми, фути, метри або сантиметри. Вводьте кожне значення в однакових одиницях, і результати будуть у цих самих одиницях, а площа — у квадратних одиницях.