Калькулятор конічних перерізів - Коло, Еліпс, Парабола

Що таке калькулятор конічних перерізів?

Калькулятор конічних перерізів визначає ексцентриситет і канонічне рівняння кола, еліпса, параболи або гіперболи за кількома вимірюваннями. Ці чотири криві утворюються, коли плоска площина перетинає конус під різними кутами.

Чотири конічні перерізи

Поперечний переріз конуса утворює коло. Нахил площини утворює еліпс. Переріз, паралельний бічній поверхні конуса, утворює параболу. Переріз через обидві частини подвійного конуса утворює гіперболу.

Кожна крива має ексцентриситет — число, яке показує, наскільки вона відрізняється від ідеального кола.

• Коло: $e = 0$
• Еліпс: $0 < e < 1$
• Парабола: $e = 1$
• Гіпербола: $e > 1$

Як користуватися цим калькулятором

1. Виберіть тип конічного перерізу: коло, еліпс, парабола або гіпербола.
2. Введіть потрібні вимірювання.
   • Коло: радіус ($r$)
   • Еліпс: велика піввісь ($a$) і мала піввісь ($b$)
   • Парабола: фокусна відстань ($f$)
   • Гіпербола: півпоперечна вісь ($a$) і півспряжена вісь ($b$)
3. Ексцентриситет і канонічне рівняння автоматично з’являються після введення допустимих додатних значень для вибраного типу конічного перерізу; кнопки «Обчислити» немає.
4. Нижче результатів будується графік кривої.

Калькулятор виводить рівняння вже з підставленими введеними числами, тому еліпс із $a = 5$ і $b = 3$ показано як $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Це те саме рівняння, що й $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ексцентриситет наводиться з точністю до чотирьох десяткових знаків.

Усі введені значення мають бути додатними числами. Для еліпса велика піввісь має бути не меншою за малу піввісь, оскільки великою називають довшу піввісь. Для гіперболи такого правила немає: її дійсна та уявна півосі можуть мати будь-які додатні довжини, зокрема бути однаковими.

Формула кола

Для кола з радіусом $r$, центр якого міститься в початку координат:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ексцентриситет: $e = 0$.

Коло є окремим випадком еліпса, у якого обидві півосі мають однакову довжину, а обидва фокуси містяться в центрі.

Формула еліпса

Для еліпса з центром у початку координат, великою піввіссю $a$ і малою піввіссю $b$, де $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Приклад: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Рівняння: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Коли $a = b$, еліпс перетворюється на коло, а $e = 0$.

Формула параболи

Для параболи, що відкривається вправо, з фокусною відстанню $f$ (відстанню від вершини до фокуса):

$$y^2 = 4fx$$

Ексцентриситет: $e = 1$ завжди.

Приклад: $f = 2$. Рівняння: $y^2 = 8x$.

Формула гіперболи

Для гіперболи з центром у початку координат, дійсною піввіссю $a$ та уявною піввіссю $b$, де $a$ і $b$ — будь-які додатні числа:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Дійсна піввісь $a$ — це половина відстані між двома вершинами, тобто точками, у яких крива змінює напрямок. Уявна піввісь $b$ — це половина довжини спряженої осі, відрізка, проведеного через центр перпендикулярно до дійсної осі. Вона визначає, наскільки швидко розходяться вітки.

На відміну від еліпса, для гіперболи не потрібно, щоб $a$ була більшою за $b$. Ці дві довжини незалежні, тому $b$ може бути меншою, дорівнювати або бути більшою за $a$. Коли $a = b$, криву називають прямокутною гіперболою, її ексцентриситет дорівнює $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Приклад: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Рівняння: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Практичне застосування конічних перерізів

Планети й комети рухаються орбітами, форма яких відповідає конічним перерізам. Перший закон Кеплера стверджує, що орбіта планети є еліпсом, у одному з фокусів якого міститься Сонце. Деякі комети рухаються параболічними або гіперболічними траєкторіями й ніколи не повертаються.

Параболи фокусують паралельні промені в одну точку, тому інженери використовують параболічні форми в супутникових антенах, дзеркалах телескопів і автомобільних фарах. Гіперболічні криві застосовують у стінах градирень, де така форма забезпечує міцність за меншої витрати матеріалу. Еліпси використовують в арках, стелях залів із шепітною галереєю та конструкціях зубчастих передач.

Коротка історія конічних перерізів

Грецький математик Менехм вивчав конічні перерізи приблизно 350 року до н. е., намагаючись розв’язати задачу подвоєння куба. Аполлоній Перзький приблизно 200 року до н. е. написав детальний трактат під назвою Конічні перерізи. Він назвав еліпс, параболу й гіперболу та описав їхні властивості. Через століття Йоганн Кеплер використав еліпс для опису руху планет, а Ісаак Ньютон — конічні перерізи для пояснення гравітації.

Поширені запитання

Які є чотири типи конічних перерізів?

Коло, еліпс, парабола та гіпербола. Кожен із них утворюється, коли площина перетинає конус під іншим кутом, і кожен має свій діапазон ексцентриситету.

Як обчислити ексцентриситет?

Ексцентриситет фіксований для кола ($e = 0$) і параболи ($e = 1$). Для еліпса $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, де використовуються велика піввісь $a$ і мала піввісь $b$. Для гіперболи $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, де використовуються дійсна піввісь $a$ та уявна піввісь $b$.

Чи має дійсна піввісь гіперболи бути довшою за уявну піввісь?

Ні. На відміну від великої та малої півосей еліпса, дійсна піввісь ($a$) і уявна піввісь ($b$) гіперболи є незалежними величинами. Обидві мають бути додатними, але будь-яка з них може бути більшою.

Чи може еліпс перетворитися на коло?

Так. Коли велика піввісь дорівнює малій півосі, еліпс є колом, а його ексцентриситет дорівнює 0.

Чому супутникові антени мають параболічну форму?

Парабола відбиває промені, що рухаються паралельно її осі, до єдиної фокусної точки. Супутникові антени й дзеркала телескопів використовують цю властивість, щоб зосереджувати сигнали або світло в одному місці.

Що таке рівнобічна гіпербола?

Рівнобічна гіпербола — це гіпербола, у якої дійсна піввісь дорівнює уявній півосі ($a = b$). Її асимптоти перпендикулярні, а ексцентриситет дорівнює $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Джерела

1. Конічний переріз — Вікіпедія
2. Ексцентриситет конічних перерізів — Khan Academy
3. Конічні перерізи — OpenStax