Калькулятор об'єму конуса - Розрахунок об'єму конуса та зрізаного конуса

Що таке калькулятор об’єму конуса?

Калькулятор об’єму конуса обчислює об’єм конуса або усіченого конуса (фрустума) за його радіусом і висотою. Конус — це об’ємне тіло з однією плоскою круглою основою, яке плавно звужується до однієї точки, що називається вершиною. Усічений конус — це частина конуса, яка залишається після відсікання верхньої частини площиною, паралельною до основи; у нього замість однієї круглої грані залишаються дві.

Формула об’єму конуса

Об’єм повного конуса залежить від радіуса його основи та висоти.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V — це об’єм конуса.
• r — радіус круглої основи.
• h — висота, виміряна по прямій від основи до вершини.
• π (пі) приблизно дорівнює 3,14159.

Приклад обчислення

Конус із радіусом основи 3 одиниць і висотою 4 одиниць має такий об’єм:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 кубічних одиниць

Як обчислити об’єм конуса за допомогою калькулятора

Калькулятор приймає три вхідні параметри:

1. Радіус — радіус основи.
2. Висота — висота конуса від основи до вершини.
3. Висота від основи до зрізу (необов’язково) — відстань від основи до місця зрізу конуса, якщо верхівку зрізано.

Якщо залишити висоту зрізу порожньою або ввести 0, буде обчислено об’єм повного незрізаного конуса. Якщо ввести висоту зрізу, меншу за повну висоту, буде обчислено об’єм усіченого конуса, що залишився нижче зрізу. На схемі під полями введення ті самі три вимірювання позначено на фігурі.

Калькулятор відхиляє радіус або висоту, якщо вони дорівнюють нулю, є від’ємними, не введені або надто великі для обробки як звичайне число. У таких випадках він показує повідомлення замість об’єму, тому ніколи не виводить вигадане значення.

Формула об’єму усіченого конуса

Об’єм усіченого конуса залежить від радіусів двох його круглих основ і його власної висоти.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R — радіус більшої нижньої основи.
• r — радіус меншої верхньої основи.
• h — висота усіченого конуса, виміряна між двома гранями.

Калькулятор не потребує безпосереднього введення радіуса верхньої основи. Натомість він приймає радіус основи, висоту, яку мав би конус без зрізу, і висоту зрізу. Потім обчислює радіус верхньої основи, використовуючи подібність трикутників:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

де c — висота зрізаної частини над основою, а f — повна висота незрізаного конуса.

Приклад обчислення

Нехай радіус основи дорівнює 3 одиниць, повна висота незрізаного конуса — 12 одиниць, а висота зрізу — 4 одиниць.

Радіус верхньої грані = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 одиниць

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 кубічних одиниць

Якщо висота зрізу дорівнює повній висоті або перевищує її, зріз проходить на рівні вершини або вище, тому нічого не видаляється. Тоді калькулятор повертає об’єм повного конуса, а на схемі зображає повний конус.

Історія формули об’єму конуса

Давньогрецькі математики першими пов’язали об’єм конуса з об’ємом циліндра. Демокріту, який жив наприкінці 5-го століття до н. е., приписують твердження, що об’єм конуса дорівнює третині об’єму циліндра з такою самою основою і висотою. Він не довів це твердження. Евдокс Кнідський, який працював у наступному столітті, дав перший строгий доказ, використавши метод вичерпування — ранній попередник інтегрального числення. Формула V = (1/3)πr²h відтоді не змінилася.

Застосування обчислень об’єму конуса

Об’єми конусів і усічених конусів важливі щоразу, коли форма звужується від широкої основи до точки або меншої верхньої частини. Інженери використовують ці формули для визначення розмірів конічних резервуарів, бункерів і лійок. Архітектори застосовують їх для оцінювання кількості матеріалів для конічних дахів. Геологи використовують їх для оцінювання об’єму вулканічних конусів та подібних форм рельєфу.

Поширені запитання

Як обчислити об’єм конуса?

Помножте π на квадрат радіуса, отриманий результат помножте на висоту, а потім поділіть на 3: V = (1/3)πr²h. Об’єм конуса з радіусом 5 см і висотою 10 см становить приблизно 261,80 кубічних сантиметрів.

Яка формула об’єму усіченого конуса?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), де R і r — радіуси двох круглих граней, а h — власна висота усіченого конуса, виміряна між цими гранями.

Як калькулятор знаходить радіус верхньої грані усіченого конуса?

Він використовує подібні трикутники. Радіус верхньої грані дорівнює радіусу основи, помноженому на (1 − висота зрізу ÷ повна висота конуса). Це припускає, що усічений конус утворено прямим конусом.

Що відбувається, якщо висота зрізу більша за висоту або дорівнює їй?

Калькулятор розглядає фігуру як повний незрізаний конус і повертає V = (1/3)πr²h, використовуючи введені радіус і висоту.

Що відбувається, якщо радіус або висота дорівнює нулю чи є від’ємними?

Калькулятор вимагає, щоб і радіус, і висота були більшими за нуль. Якщо будь-який із них дорівнює нулю, є від’ємним, не введений або надто великий для обробки як звичайне число, він показує повідомлення замість об’єму.

Як знайти об’єм конуса за діаметром, а не за радіусом?

Поділіть діаметр на 2, щоб отримати радіус, а потім, як завжди, застосуйте формулу V = (1/3)πr²h.

Джерела

1. Вайстайн, Ерік В. "Cone." MathWorld—вебресурс Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Вайстайн, Ерік В. "Frustum." MathWorld—вебресурс Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html