Калькулятор вертикальних кривих - Інструмент для проектування автомобільних доріг

Що таке калькулятор вертикальної кривої?

Калькулятор вертикальної кривої визначає відмітки, значення K і ключові точки вертикальної кривої — параболічної кривої, яку інженери використовують для плавного сполучення двох поздовжніх ухилів дороги. Замість різкого кута, у якому дорога змінює ухил, вертикальна крива поєднує два ухили в одну безперервну криву. Це робить рух плавнішим, забезпечує водіям достатню дальність видимості для безпечної зупинки та сприяє належному відведенню води.

Інженери використовують вертикальні криві під час проєктування автомагістралей, вулиць, залізниць, злітно-посадкових смуг і спланованих ділянок, наприклад автостоянок. Усюди, де дорозі або колії потрібно змінити ухил, вертикальна крива забезпечує цей перехід.

Випуклі та увігнуті криві

Вертикальна крива буває одного з двох типів залежно від співвідношення ухилів до та після кривої. Ухил записують у відсотках: ухил 3% піднімається на 3 метри на кожні 100 пройдених метрів.

• Випукла крива: початковий ухил більший за кінцевий (g₁ > g₂). Дорога піднімається, проходить через найвищу точку, а потім опускається — як під час переїзду через пагорб.
• Увігнута крива: початковий ухил менший за кінцевий (g₁ < g₂). Дорога опускається, проходить через найнижчу точку, а потім піднімається — як на дні западини.
• Якщо два ухили однакові, крива не потрібна. Дорога вже є прямою лінією.

Випуклі криві найважливіші для розрахунку дальності видимості для зупинки: водій повинен бачити достатньо далеко вперед, щоб зупинитися перед перешкодою. Увігнуті криві найважливіші для дальності видимості в світлі фар уночі та для водовідведення, оскільки вода збирається в найнижчій точці.

Основні терміни

• PVI (точка вертикального перетину): точка, у якій перетнулися б дві прямі лінії ухилів, якби кривої не було.
• PVC (точка початку вертикальної кривої): місце, де починається крива.
• PVT (точка кінця вертикальної кривої): місце, де закінчується крива.
• Значення K: довжина кривої, поділена на зміну ухилу. Воно характеризує плавність кривої.
• Пікетаж: вимірювання відстані вздовж осі дороги, яке використовують замість звичайних координат. У цьому калькуляторі і пікетаж, і відмітку вводять у метрах.

Крива зазвичай симетрична: PVC розташована на половині довжини кривої перед PVI, а PVT — на половині довжини кривої після неї.

Формула вертикальної кривої

Відмітка в будь-якій точці кривої визначається квадратичним (параболічним) рівнянням:

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = відмітка на відстані $x$ від PVC
• $y_{PVC}$ = відмітка в PVC
• $g_1$ = початковий ухил у десятковому вигляді (ухил 3% дорівнює 0,03)
• $A$ = алгебраїчна різниця ухилів, $g_2 - g_1$ (у десятковому вигляді)
• $L$ = довжина кривої

Формула значення K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$ та $g_2$ тут є відсотковими значеннями. Більше значення K означає пологішу й плавнішу криву. Проєктні настанови, зокрема AASHTO «Політика геометричного проєктування автомобільних доріг і вулиць», установлюють мінімальні значення K для автомагістралей залежно від розрахункової швидкості та від того, чи є крива випуклою або увігнутою.

Якщо $g_1$ дорівнює $g_2$, зміна ухилу дорівнює нулю, а K не визначається. Тоді калькулятор показує тире замість значення K. Ухили, що відрізняються менш ніж на 0,0001%, вважаються однаковими.

PVC і PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ і $g_2$ тут є відсотковими значеннями; ділення на 200 перетворює відсоток на десятковий дріб і застосовує його до половини довжини кривої.)

Найвища або найнижча точка

Найвища точка (на випуклій кривій) або найнижча точка (на увігнутій кривій) лежить на кривій, коли два ухили мають протилежні знаки або коли один ухил точно дорівнює нулю. Її відстань від PVC становить:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Додайте $x$ до пікетажу PVC, щоб отримати пікетаж найвищої або найнижчої точки, а потім скористайтеся наведеною вище формулою відмітки, щоб визначити її відмітку. Якщо два ухили мають однаковий знак, ця точка розташована за межами діапазону від PVC до PVT, тому дорога на всій кривій продовжує підніматися або опускатися, і калькулятор повідомляє про відсутність найвищої або найнижчої точки. Якщо один ухил дорівнює нулю, точка розташована точно в PVC або PVT.

Як розрахувати вертикальну криву

1. Введіть початковий і кінцевий ухили у відсотках. Для підйому використовуйте додатне число, а для спуску — від’ємне.
2. Введіть довжину кривої у метрах.
3. Введіть пікетаж PVI і відмітку PVI, обидва в метрах.
4. Визначте тип кривої (випукла, увігнута або відсутня), значення K, а також пікетажі й відмітки PVC і PVT.
5. Якщо ухили мають протилежні знаки або один із них дорівнює нулю, калькулятор також визначає найвищу або найнижчу точку.
6. Щоб знайти відмітку в будь-якій іншій точці, введіть пікетаж точки. Якщо цей пікетаж розташований за межами кривої, калькулятор повідомить про це замість виведення числа, оскільки формула застосовується лише між PVC і PVT.

Приклад розрахунку: випукла крива

Дорога піднімається з ухилом 3%, а потім опускається з ухилом -2%. PVI розташована на пікетажі 1000,00 м, її відмітка — 150,00 м. Довжина кривої становить 400 м.

Значення K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: пікетаж $= 1000 - 400/2 = 800.00$ м; відмітка $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ м

PVT: пікетаж $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ м; відмітка $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ м

Найвища точка: оскільки 3 і −2 мають протилежні знаки, найвища точка існує. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ м від PVC, тому її пікетаж становить $800 + 240 = 1040.00$ м. Її відмітка дорівнює $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ м.

Приклад розрахунку: увігнута крива

Дорога опускається з ухилом -3%, а потім піднімається з ухилом 2%. PVI розташована на пікетажі 500,00 м, її відмітка — 85,00 м. Довжина кривої становить 200 м.

Значення K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: пікетаж $= 400.00$ м; відмітка $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ м

PVT: пікетаж $= 600.00$ м; відмітка $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ м

Найнижча точка: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ м від PVC, тому її пікетаж становить $400 + 120 = 520.00$ м. Її відмітка дорівнює $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ м.

У цій найнижчій точці збирається поверхнева вода, тому саме там проєктувальник розміщує водоприймальний колодязь, а не в PVI.

Поширені запитання

Що таке значення K у проєктуванні вертикальних кривих? Значення K — це довжина кривої, поділена на абсолютну різницю між двома ухилами. Воно показує, скільки метрів кривої припадає на зміну ухилу на 1%. Більше значення K означає пологішу й плавнішу криву.

Як визначити, чи потрібна випукла або увігнута крива? Порівняйте два ухили. Якщо початковий ухил більший за кінцевий, це випукла крива. Якщо початковий ухил менший за кінцевий, це увігнута крива. За однакових ухилів крива взагалі не потрібна.

Що відбувається, якщо початковий і кінцевий ухили однакові? Вертикальна крива не потрібна, оскільки дорога вже є прямою. Значення K не визначається, бо для його обчислення потрібно було б ділити на нульову зміну ухилу, тому калькулятор показує тире замість числа.

Як знайти найвищу або найнижчу точку кривої? Вона існує, коли два ухили мають протилежні знаки або коли один ухил дорівнює нулю. Її відстань від PVC становить $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Додайте це значення до пікетажу PVC, щоб визначити її розташування, а потім скористайтеся формулою відмітки кривої, щоб знайти її висоту. Якщо ухили мають однаковий знак, ця точка розташована за межами кривої, тому її немає.

Чому найнижча точка увігнутої кривої важлива для водовідведення? Вода, що стікає з обох боків увігнутої кривої, збирається в найнижчій точці. Якщо водоприймальний колодязь розмістити в PVI, а не в справжній найнижчій точці, на дорозі може накопичуватися вода, оскільки ці дві точки рідко збігаються.

Чи може пікетаж точки бути за межами кривої? Так. Формула відмітки застосовується лише між PVC і PVT. Для пікетажу за межами цього діапазону відмітка на кривій не визначена, тому калькулятор повідомляє, що точка розташована за межами кривої.