Калькулятор Box Plot - Безкоштовний генератор графіків Box and Whisker

Що таке коробчаста діаграма?

Коробчаста діаграма, яку також називають діаграмою розмаху, — це графік, що узагальнює набір чисел за допомогою п’яти значень: мінімального, першого квартиля, медіани, третього квартиля та максимального. Вона показує, де зосереджена більшість даних, і позначає незвичайні значення, які називають викидами, не перелічуючи кожну точку даних.

Коробчасті діаграми поширені у статистиці, науці та бізнес-звітах, оскільки дають змогу одразу порівнювати кілька груп чисел.

П’ятичисловий підсумок

Коробчасту діаграму будують на основі п’яти чисел, обчислених після сортування даних від найменшого до найбільшого.

• Мінімум: найменше значення, яке не є викидом. Цей калькулятор позначає його як «Мінімум (без викидів)».
• Перший квартиль (Q1): значення, нижче від якого міститься приблизно чверть даних.
• Медіана (Q2): центральне значення набору даних.
• Третій квартиль (Q3): значення, нижче від якого міститься приблизно три чверті даних.
• Максимум: найбільше значення, яке не є викидом. Цей калькулятор позначає його як «Максимум (без викидів)».

Якщо в наборі даних немає викидів, ці два значення є просто найменшим і найбільшим уведеними числами. Якщо викиди є, вони є кінцями «вусів», а найменше або найбільше введене число показується окремо у списку викидів.

Прямокутник на графіку простягається від Q1 до Q3. Лінія всередині прямокутника позначає медіану. Тонкі лінії, які називають «вусами», відходять від прямокутника в напрямку мінімуму та максимуму. Викиди зображують як окремі точки за межами «вусів».

Формула коробчастої діаграми

Для набору даних, відсортованого за зростанням і такого, що містить n значень:

Медіана. За непарної кількості значень медіана є центральним значенням:

$M = x_{(n+1)/2}$

За парної кількості значень вона є середнім арифметичним двох центральних значень:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

де M — медіана, а x із номером позиції — значення на цій позиції у відсортованих даних.

Квартилі. Розділіть відсортовані дані на нижню та верхню половини. Якщо n непарне, не включайте саму медіану до жодної з половин. Потім:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

де $M_l$ — медіана нижньої половини, а $M_u$ — медіана верхньої половини.

Цей спосіб часто називають виключним. Існують й інші методи, і для малих наборів даних вони можуть давати дещо інші значення Q1 та Q3, але цей калькулятор використовує саме виключний метод.

Міжквартильний розмах (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Межі та «вуса». Межі визначають границю для викидів:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

де $F_l$ — нижня межа, а $F_u$ — верхня межа.

«Вус» не зупиняється точно на межі. Він закінчується на найвіддаленішій точці даних, що все ще лежить між межами:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

де $W_l$ — нижній «вус», а $W_u$ — верхній «вус».

Викиди. Будь-яке значення нижче нижньої межі або вище верхньої межі є викидом і зображується як окрема точка, а не включається до «вуса».

Як побудувати коробчасту діаграму крок за кроком

1. Відсортуйте дані від найменшого до найбільшого.
2. Знайдіть медіану. За непарної кількості значень це центральне значення. За парної кількості це середнє арифметичне двох центральних значень.
3. Знайдіть Q1: медіану нижньої половини даних (якщо кількість значень непарна, саму медіану не враховують).
4. Знайдіть Q3: медіану верхньої половини даних, застосовуючи те саме правило.
5. Обчисліть IQR як різницю Q3 та Q1.
6. Обчисліть нижню та верхню межі, використовуючи множник 1,5 для IQR.
7. Позначте будь-яке значення за межами меж як викид.
8. Встановіть «вуса» на найменше та найбільше значення, що залишаються в межах.

Приклад обчислення

Розглянемо цей набір даних із 11 значень: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Його вже відсортовано.

За 11 значень (непарною кількістю) медіаною є 6-те значення: 40.

Нижня половина: 6, 7, 15, 36, 39 (п’ять значень, медіану виключено). Її медіана — центральне значення: Q1 = 15.

Верхня половина: 41, 42, 43, 47, 49. Її медіана — центральне значення: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Нижня межа = 15 − 1,5 × 28 = −27. Верхня межа = 43 + 1,5 × 28 = 85. Усі значення в наборі даних лежать між −27 та 85, тому викидів немає, а «вуса» сягають фактичних мінімуму та максимуму: мін = 6, макс = 49.

Тепер порівняймо набір даних із викидом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Тут Q1 = 3,5, Q3 = 9,5, а IQR = 6, тому верхня межа дорівнює 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Значення 50 розташоване вище цієї межі, тому його зображено як викид, а верхній «вус» закінчується на 11 — найбільшому значенні, що все ще міститься в межах, — а не на 50.

Як читати коробчасту діаграму

Прямокутник охоплює центральні 50% даних, тому широкий прямокутник означає значне розсіювання центральної частини даних, а вузький — її щільне групування. Якщо лінія медіани розташована ближче до одного краю прямокутника, дані нахилені, або асиметричні, у бік довшої частини. «Вус», набагато довший за інший, свідчить, що з цього боку дані простягаються далі. Точки за межами «вусів» є викидами й часто потребують додаткової перевірки, оскільки можуть бути справжніми крайніми значеннями або помилками в даних.

Поширене використання

Коробчасті діаграми використовують для порівняння груп поруч, наприклад результатів тестів у кількох класах, часу доставки від двох постачальників або вимірювань експерименту з контрольною групою. Оскільки коробчаста діаграма стискає весь розподіл до п’яти чисел, кілька таких діаграм можна розмістити на одному графіку, що полегшує порівняння розсіювання та типових значень у групах порівняно з таблицею необроблених чисел.

Коробчасті діаграми порівняно з іншими графіками

Гістограма показує повну форму розподілу докладніше, але її важче використовувати для одночасного порівняння багатьох груп. Скрипкова діаграма додає навколо коробки криву щільності, точніше показуючи, де групуються значення. Діаграма розсіювання показує зв’язок між двома змінними, чого коробчаста діаграма не може. Вибір залежить від мети: порівняти групи (коробчаста діаграма), детально побачити форму одного розподілу (гістограма або скрипкова діаграма) чи дослідити зв’язок (діаграма розсіювання).

Історія

Статистик Джон Тьюкі запровадив коробчасту діаграму в 1970-х роках, описавши її у своїй книжці 1977 року Дослідницький аналіз даних. Його початкова версія, яку іноді називають схематичним графіком, показувала медіану, квартилі та крайні значення. У 1978 році статистики Роберт Макґілл, Тьюкі та Вейн Ларсен описали виїмчасту версію, яка додає довірчий інтервал навколо медіани. Правило 1,5 × IQR для позначення викидів невдовзі стало загальноприйнятим правилом.

Поширені запитання

Для чого використовують коробчасту діаграму? Вона показує, як розподілений набір чисел, і позначає ймовірні викиди, використовуючи мінімум, Q1, медіану, Q3 та максимум. Вона особливо корисна для порівняння кількох груп на одному графіку.

Як читати коробчасту діаграму? Прямокутник простягається від Q1 до Q3, охоплюючи центральну половину даних. Лінія всередині прямокутника — це медіана. «Вуса» сягають крайніх значень, які не є викидами, а всі значення за межами «вусів» зображуються як окремі точки.

Як визначити викиди на коробчастій діаграмі? Значення є викидом, якщо воно розташоване нижче Q1 − 1,5 × IQR або вище Q3 + 1,5 × IQR.

У чому різниця між коробчастою діаграмою та гістограмою? Коробчаста діаграма стискає розподіл до п’яти чисел і викидів, тому є компактною та зручною для порівняння груп. Гістограма показує частоту значень у різних діапазонах, надаючи більше деталей про форму одного розподілу.

Чи працює цей калькулятор із малими наборами даних? Для побудови п’ятичислової характеристики цьому калькулятору потрібно щонайменше п’ять чисел. Коробчасті діаграми інформативніші для більших наборів даних, оскільки кілька значень мало що говорять про розсіювання або викиди.

Які вхідні дані приймає калькулятор? Числа, розділені комами, пробілами або розривами рядків, тому можна вставити стовпець із електронної таблиці. Будь-який елемент, що не є числом, відхиляється, а не пропускається, тому описка не може непомітно змінити результат.

Що означає асиметричний вигляд коробчастої діаграми? Якщо медіана розташована ближче до Q1, дані мають довший хвіст у бік більших значень. Якщо вона розташована ближче до Q3, дані мають довший хвіст у бік менших значень.