Калькулятор T-тесту - Безкоштовний онлайн інструмент статистичного аналізу

Що таке t-критерій?

t-критерій — це статистичний метод, який перевіряє, чи відрізняється середнє значення набору чисел статистично значущо від іншого середнього або фіксованого значення. Його також називають t-критерієм Стьюдента. Дослідники використовують його для порівняння двох груп, наприклад експериментальної та контрольної, або для порівняння однієї групи з відомим стандартом.

Критерій обчислює число, яке називають t-статистикою. t-статистика, що значно відрізняється від нуля, свідчить про реальну відмінність між середніми значеннями. t-статистика, близька до нуля, свідчить, що будь-яка відмінність може бути лише випадковим шумом.

Види t-критерію

Цей калькулятор підтримує три види t-критерію.

• Одновибірковий t-критерій: порівнює середнє значення однієї вибірки з відомим або гіпотетичним значенням.
• Двовибірковий t-критерій: порівнює середні значення двох незалежних вибірок, наприклад двох окремих груп людей. Цей калькулятор використовує t-критерій Велча, який не припускає, що розкид у двох групах однаковий.
• Парний t-критерій: порівнює два набори вимірювань, отриманих від тих самих об’єктів дослідження, наприклад результати до та після лікування.

Як користуватися цим калькулятором t-критерію

1. Виберіть тип критерію: одновибірковий, двовибірковий або парний.
2. Введіть дані.
   • Одновибірковий: введіть значення вибірки через коми та середнє значення генеральної сукупності, з яким потрібно порівняти вибірку.
   • Двовибірковий: введіть обидві вибірки як окремі списки значень, розділених комами.
   • Парний: введіть пари у формі (x1,y1), (x2,y2) тощо.
3. Установіть рівень значущості, зазвичай 0,05. Калькулятор не використовує це значення. Він показує p-значення, а рішення залишає за вами.
4. t-статистика, число ступенів свободи та p-значення з’являються, щойно введено достатньо даних. Натискати кнопку не потрібно.

Щоб оцінити значущість, порівняйте p-значення з рівнем значущості. Якщо p-значення менше або дорівнює рівню значущості, відмінність вважається статистично значущою.

Формула t-критерію

Формула одновибіркового t-критерію

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ — середнє значення вибірки, $\mu_0$ — значення, з яким проводять порівняння, $s$ — стандартне відхилення вибірки, а $n$ — обсяг вибірки. Число ступенів свободи: $df = n - 1$.

Формула двовибіркового t-критерію (критерій Велча)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Число ступенів свободи визначають за рівнянням Велча—Саттертвейта:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Ця формула зазвичай дає значення df, яке не є цілим числом.

Формула парного t-критерію

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ — середнє значення різниць між кожною парою, $s_d$ — стандартне відхилення цих різниць, а $n$ — кількість пар. Число ступенів свободи: $df = n - 1$.

Як обчислити t-критерій: приклад із розв’язанням

Виробник стверджує, що батарея працює в середньому 50 годин. Тестер перевіряє дев’ять батарей і записує тривалість їхньої роботи в годинах:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Крок 1: сформулюйте гіпотези. Нульова гіпотеза: істинне середнє значення дорівнює 50 годинам. Альтернативна гіпотеза: істинне середнє значення не дорівнює 50 годинам.

Крок 2: знайдіть середнє значення вибірки.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Крок 3: знайдіть стандартне відхилення вибірки. Відхилення від середнього дорівнюють 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Після піднесення до квадрата вони дорівнюють 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, а їхня сума становить 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Крок 4: знайдіть t-статистику.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Крок 5: знайдіть число ступенів свободи.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Крок 6: знайдіть p-значення. За $t = 0$ і $df = 8$ двобічне p-значення дорівнює 1,00.

Крок 7: сформулюйте висновок. Оскільки 1,00 більше за 0,05, недостатньо доказів того, що середня тривалість роботи батареї відрізняється від 50 годин.

Припущення t-критерію

t-критерій дає надійні результати лише за приблизного виконання кількох умов.

• Нормальність: дані мають приблизно відповідати дзвоноподібному розподілу, особливо для малих вибірок.
• Незалежність: кожне спостереження не повинно впливати на будь-яке інше спостереження.
• Випадкова вибірка: дані мають походити з випадкової вибірки досліджуваної генеральної сукупності.

Для парного t-критерію ці умови застосовуються до різниць між парами, а не до необроблених результатів. Для більших вибірок, приблизно понад 30, t-критерій зазвичай залишається точним, навіть якщо дані не мають ідеально дзвоноподібного розподілу, завдяки статистичній властивості, яка називається центральною граничною теоремою.

Альтернативи t-критерію

Якщо наведені вище припущення не виконуються, замість нього можна застосувати інші критерії.

• U-критерій Манна—Вітні: непараметрична альтернатива двовибірковому t-критерію.
• Критерій знакових рангів Вілкоксона: непараметрична альтернатива парному t-критерію.
• ANOVA: одночасно порівнює середні значення трьох або більше груп, а не лише двох.

Історія t-критерію

Вільям Сілі Госет розробив t-критерій у 1908 році, працюючи хіміком на пивоварні Guinness у Дубліні. Guinness не дозволяла працівникам публікувати дослідження під власними іменами, тому Госет використовував псевдонім «Student». Саме тому цей метод часто називають t-критерієм Стьюдента. Він створив його, щоб визначати, чи відповідають невеликі партії пивоварної сировини стандартам якості, використовуючи щоразу лише кілька зразків.

Поширені запитання

Для чого використовують t-критерій?

t-критерій перевіряє, чи статистично значуще відрізняється середнє значення вибірки від іншого середнього або фіксованого значення. Його часто застосовують у медицині, психології, освіті та бізнес-дослідженнях.

Коли слід використовувати одновибірковий, двовибірковий або парний t-критерій?

Використовуйте одновибірковий t-критерій, щоб порівняти середнє значення вибірки з відомим значенням. Використовуйте двовибірковий t-критерій для порівняння двох окремих, не пов’язаних між собою груп. Парний t-критерій застосовують, коли тих самих об’єктів дослідження вимірюють двічі, наприклад до та після лікування.

У чому різниця між t-критерієм і z-критерієм?

t-критерій використовують, коли вибірка мала або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме. z-критерій використовують для великих вибірок, коли стандартне відхилення генеральної сукупності відоме. На практиці t-критерій застосовують набагато частіше, оскільки стандартне відхилення генеральної сукупності рідко відоме заздалегідь.

Як інтерпретувати p-значення t-критерію?

p-значення — це ймовірність отримати таку саму або більшу різницю, якби насправді не існувало жодної реальної різниці. Мале p-значення, зазвичай не більше ніж 0,05, свідчить, що спостережувана різниця навряд чи зумовлена лише випадковістю.

Що таке t-критерій Велча?

t-критерій Велча — це різновид двовибіркового t-критерію, який не потребує рівності дисперсій двох груп. Цей калькулятор завжди використовує метод Велча для двовибіркових критеріїв, оскільки він залишається точним незалежно від того, чи однаковий розкид у двох групах.

Що таке число ступенів свободи в t-критерії?

Число ступенів свободи — це число, що залежить від обсягу вибірки та визначає точну форму t-розподілу, який використовують для знаходження p-значення. Для одновибіркового або парного t-критерію число ступенів свободи дорівнює обсягу вибірки мінус 1. Двовибірковий t-критерій Велча використовує формулу, яка зазвичай дає значення, що не є цілим числом.

Джерела

1. Госет, W. S. (1908). «The Probable Error of a Mean». Biometrika, 6(1), 1–25.
2. Електронний довідник статистичних методів NIST/SEMATECH, розділ 1.3.6.7.2, «Критичні значення t-розподілу Стьюдента».