Калькулятор Z-показника - Інструмент стандартного балу та ймовірності

Що таке z-оцінка?

z-оцінка, яку також називають стандартною оцінкою, показує, на скільки стандартних відхилень значення відхиляється від середнього значення набору даних. z-оцінка 0 означає, що значення дорівнює середньому. Додатна z-оцінка означає, що значення вище за середнє, а від’ємна — що нижче за нього.

Формула z-оцінки

z-оцінку значення обчислюють за такою формулою:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

де:

• $z$ — це z-оцінка
• $x$ — це значення
• $\mu$ — це середнє значення набору даних
• $\sigma$ — це стандартне відхилення набору даних

Стандартне відхилення не може дорівнювати нулю, оскільки ділення на нуль не має визначеного результату. Воно також не може бути від’ємним, адже за означенням стандартне відхилення завжди дорівнює нулю або є додатним.

Як обчислити z-оцінку

1. Знайдіть середнє значення набору даних: додайте всі значення та поділіть суму на кількість значень, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Знайдіть стандартне відхилення. Спочатку обчисліть дисперсію — середнє значення квадратів відхилень від середнього, — а потім добудьте з неї квадратний корінь.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Це стандартне відхилення генеральної сукупності, під час обчислення якого ділять на $n$. Якщо числа є вибіркою з більшої сукупності, натомість ділять на $n - 1$.

3. Відніміть середнє значення від значення та поділіть результат на стандартне відхилення.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Приклад обчислення

Учень отримав 85 балів за тест. Середнє значення в класі становить 75, а стандартне відхилення оцінок у класі — 10.

• Значення: $x = 85$
• Середнє значення: $\mu = 75$
• Стандартне відхилення: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

z-оцінка учня становить 1,0. Його результат на одне стандартне відхилення перевищує середнє значення в класі.

z-оцінка та кумулятивна ймовірність

z-оцінку можна перетворити на кумулятивну ймовірність — імовірність того, що випадково вибране значення з нормального розподілу буде не більшим за цю точку. Це площа під кривою стандартного нормального розподілу ліворуч від $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Для z-оцінки учня 1,0 кумулятивна ймовірність становить приблизно 0,8413, або 84,13%. Це означає, що учень набрав більше балів, ніж приблизно 84% учнів класу, якщо припустити нормальний розподіл оцінок. Калькулятор показує z-оцінку до чотирьох знаків після коми, а кумулятивну ймовірність — у відсотках із точністю до двох знаків після коми.

Кілька опорних значень:

Інтерпретація z-оцінки

Більшість значень нормального розподілу лежить у межах 2 стандартних відхилень від середнього. z-оцінки, що виходять за межі +3 або -3, трапляються рідко й часто вважаються викидами — значеннями, що різко відрізняються від решти даних.

z-оцінки також дають змогу порівнювати значення, виміряні в різних шкалах. Результат тесту та вимірювання зросту не можна безпосередньо порівнювати, але можна порівнювати їхні z-оцінки, оскільки обидві показують відстань від середнього в однакових одиницях стандартного відхилення.

z-оцінка та t-оцінка

z-оцінка передбачає, що стандартне відхилення генеральної сукупності відоме, і найкраще працює з великими вибірками. Натомість t-оцінку використовують, коли стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, а вибірка мала — зазвичай менше ніж 30 спостережень. Обидві оцінки показують відстань від середнього, але t-оцінка походить із t-розподілу, який має важчі хвости, щоб урахувати додаткову невизначеність у малій вибірці.

Поширене застосування z-оцінок

• Стандартизоване тестування. Порівняння необробленого результату учня із загальним розподілом результатів.
• Виявлення викидів. Позначення значень у наборі даних, які значно віддалені від середнього.
• Контроль якості. Перевірка того, чи потрапляє виготовлений виріб у прийнятний діапазон.
• Перевірка статистичних гіпотез. z-критерії використовують z-оцінки, щоб визначити, чи відрізняється середнє значення вибірки від відомого середнього генеральної сукупності настільки, що це має практичне значення.

Історія

z-оцінка ґрунтується на нормальному розподілі, описаному Абрахамом де Муавром у 1733 році та надалі розвиненому Карлом Фрідріхом Гауссом і П’єром-Симоном Лапласом на початку 19-го століття. Стандартизація значень у одиницях стандартного відхилення стала поширеною практикою в психологічному тестуванні та контролі якості протягом 20-го століття.

Поширені запитання

Що таке z-оцінка в статистиці? z-оцінка — це кількість стандартних відхилень, на яку значення віддалене від середнього значення свого набору даних. Її обчислюють за формулою z = (x − μ) / σ.

Як інтерпретувати результат z-оцінки? z-оцінка 0 означає, що значення дорівнює середньому. Додатне значення вище за середнє, а від’ємне — нижче за нього. Значення за межами +3 або -3 є нетиповими.

Чи може z-оцінка бути від’ємною? Так. Від’ємна z-оцінка просто означає, що значення нижче за середнє. z-оцінка -2 означає, що значення на 2 стандартні відхилення нижче за середнє.

У чому різниця між z-оцінкою та t-оцінкою? z-оцінку використовують із великими вибірками, коли стандартне відхилення генеральної сукупності відоме. t-оцінку використовують із малими вибірками, зазвичай меншими за 30 спостережень, коли воно невідоме.

Що означає кумулятивна ймовірність для z-оцінки? Це ймовірність того, що випадково вибране значення з нормального розподілу буде меншим або дорівнюватиме заданій z-оцінці. Вона дорівнює площі під кривою нормального розподілу ліворуч від цієї точки.

Що відбувається, якщо стандартне відхилення дорівнює нулю? z-оцінка не визначена, оскільки формула вимагала б ділення на нуль. Стандартне відхилення, що дорівнює нулю, означає, що всі значення в наборі даних однакові.

Джерела

1. Стандартна оцінка, Вікіпедія: https://uk.wikipedia.org/wiki/Стандартна_оцінка
2. Нормальний розподіл і z-оцінки, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review