Калькулятор Z-оценки для статистического анализа данных

Рассчитайте Z-оценку (стандартный балл) для любой точки данных, определяя ее положение относительно среднего значения с использованием стандартного отклонения. Идеально подходит для статистического анализа и стандартизации данных.

📚

Документация

Калькулятор Z-оценки

Введение

Z-оценка (или стандартная оценка) — это статистическая мера, которая описывает взаимосвязь значения со средним значением группы значений. Она указывает, на сколько стандартных отклонений элемент отличается от среднего. Z-оценка является важным инструментом в статистике, позволяя стандартизировать различные наборы данных и выявлять выбросы.

Формула

Z-оценка рассчитывается по следующей формуле:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Где:

$z$ = z-оценка
$x$ = отдельная точка данных
$\mu$ = среднее значение набора данных
$\sigma$ = стандартное отклонение набора данных

Эта формула вычисляет количество стандартных отклонений, на которое точка данных отличается от среднего.

Расчет

Чтобы вычислить z-оценку точки данных:

Рассчитайте среднее ( $\mu$ ):

Сложите все точки данных и разделите на количество точек данных.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Рассчитайте стандартное отклонение ( $\sigma$ ):
- Дисперсия ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Стандартное отклонение:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Вычислите z-оценку:

Подставьте значения в формулу z-оценки.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Пограничные случаи

Нулевое стандартное отклонение ( $\sigma = 0$ ):

Когда все точки данных идентичны, стандартное отклонение равно нулю, что делает z-оценку неопределенной, так как делить на ноль нельзя. В этом случае концепция z-оценки не применяется.
Точка данных равна среднему ( $x = \mu$ ):

Если точка данных равна среднему, z-оценка равна нулю, что указывает на то, что она точно средняя.
Не числовые входные данные:

Убедитесь, что все входные данные числовые. Ненумерические входные данные приведут к ошибкам вычисления.

Кумулятивная вероятность

Кумулятивная вероятность, связанная с z-оценкой, представляет собой вероятность того, что случайная величина из стандартного нормального распределения будет меньше или равна заданному значению. Это площадь под кривой нормального распределения слева от указанной z-оценки.

Математически кумулятивная вероятность $P$ рассчитывается с использованием функции накопленного распределения (CDF) стандартного нормального распределения:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Где:

$\Phi(z)$ = CDF стандартного нормального распределения при $z$

Кумулятивная вероятность важна в статистике для определения вероятности того, что значение попадает в определенный диапазон. Она широко используется в таких областях, как контроль качества, финансы и социальные науки.

SVG-диаграмма

Ниже представлена SVG-диаграмма, иллюстрирующая кривую стандартного нормального распределения и z-оценку:

μ x z

Стандартное нормальное распределение

Рисунок: Кривая стандартного нормального распределения с затененной Z-оценкой

Эта диаграмма показывает кривую нормального распределения со средним $\mu$ в центре. Затененная область представляет собой кумулятивную вероятность до точки данных $x$ , соответствующей z-оценке.

Случаи использования

Применения

Стандартизация между различными шкалами:

Z-оценки позволяют сравнивать данные из разных шкал, стандартизируя наборы данных.
Выявление выбросов:

Определение точек данных, которые значительно удалены от среднего (например, z-оценки меньше -3 или больше 3).
Статистическое тестирование:

Используется в тестировании гипотез, включая z-тесты, для определения, отличается ли среднее значение выборки значительно от известного среднего значения популяции.
Контроль качества:

В производстве z-оценки помогают контролировать процессы, чтобы гарантировать, что результаты остаются в пределах допустимых значений.
Финансы и инвестиции:

Оценка производительности акций путем сравнения доходности относительно средней рыночной производительности.

Альтернативы

T-оценка:

Похожа на z-оценку, но используется, когда размер выборки мал, а стандартное отклонение популяции неизвестно.
Процентный ранг:

Указывает процент оценок в его распределении частот, которые равны или ниже него.
Единицы стандартного отклонения:

Использование сырых значений стандартного отклонения без стандартизации в виде z-оценок.

История

Концепция z-оценки происходит от работы над нормальным распределением Карла Фридриха Гаусса в начале 19 века. Стандартное нормальное распределение, являющееся основой для z-оценок, было дополнительно разработано статистиками, такими как Абрахам де Мувр и Пьер-Симон Лаплас. Использование z-оценок стало широко распространенным с развитием статистических методов в 20 веке, особенно в психологическом тестировании и контроле качества.

Примеры

Excel

1## Рассчитать z-оценку в Excel
2## Предполагая, что точка данных в ячейке A2, среднее в ячейке B2, стандартное отклонение в ячейке C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Рассчитать z-оценку в R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("Стандартное отклонение не может быть нулевым.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Пример использования:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-оценка:", z_score))
16

MATLAB

1% Рассчитать z-оценку в MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('Стандартное отклонение не может быть нулевым.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Пример использования:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-оценка: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Рассчитать z-оценку в JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('Стандартное отклонение не может быть нулевым.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Пример использования:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-оценка: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Рассчитать z-оценку в Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("Стандартное отклонение не может быть нулевым.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Пример использования:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-оценка:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Рассчитать z-оценку в Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-оценка: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Рассчитать z-оценку в C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-оценка: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Рассчитать z-оценку в Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "Стандартное отклонение не может быть нулевым." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Пример использования:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-оценка: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Рассчитать z-оценку в PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Пример использования:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-оценка: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Рассчитать z-оценку в Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("Стандартное отклонение не может быть нулевым.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-оценка: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Рассчитать z-оценку в C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-оценка: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Рассчитать z-оценку в Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("стандартное отклонение не может быть нулевым")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-оценка: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Рассчитать z-оценку в Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "Стандартное отклонение не может быть нулевым.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Пример использования:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-оценка: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Ссылки

Стандартная оценка - Википедия

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
Понимание Z-оценок - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Нормальное распределение и Z-оценки - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Дополнительные ресурсы

Интерактивный калькулятор Z-оценки

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Визуализация нормального распределения

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

💬

Обратная связь

💬

Нажмите на уведомление об обратной связи, чтобы начать оставлять отзыв об этом инструменте

🔗

Связанные инструменты

Откройте для себя больше инструментов, которые могут быть полезны для вашего рабочего процесса

Калькулятор Z-оценки для статистического анализа данных

Документация