Whiz Tools

Калькулятор Z-оценки

Введение

Z-оценка (или стандартная оценка) — это статистическая мера, которая описывает взаимосвязь значения со средним значением группы значений. Она указывает, на сколько стандартных отклонений элемент отличается от среднего. Z-оценка является важным инструментом в статистике, позволяя стандартизировать различные наборы данных и выявлять выбросы.

Формула

Z-оценка рассчитывается по следующей формуле:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Где:

  • zz = z-оценка
  • xx = отдельная точка данных
  • μ\mu = среднее значение набора данных
  • σ\sigma = стандартное отклонение набора данных

Эта формула вычисляет количество стандартных отклонений, на которое точка данных отличается от среднего.

Расчет

Чтобы вычислить z-оценку точки данных:

  1. Рассчитайте среднее (μ\mu):

    Сложите все точки данных и разделите на количество точек данных.

    μ=∑i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

  2. Рассчитайте стандартное отклонение (σ\sigma):

    • Дисперсия (σ2\sigma^2):

      σ2=∑i=1n(xi−μ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}

    • Стандартное отклонение:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}

  3. Вычислите z-оценку:

    Подставьте значения в формулу z-оценки.

    z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Пограничные случаи

  • Нулевое стандартное отклонение (σ=0\sigma = 0):

    Когда все точки данных идентичны, стандартное отклонение равно нулю, что делает z-оценку неопределенной, так как делить на ноль нельзя. В этом случае концепция z-оценки не применяется.

  • Точка данных равна среднему (x=μx = \mu):

    Если точка данных равна среднему, z-оценка равна нулю, что указывает на то, что она точно средняя.

  • Не числовые входные данные:

    Убедитесь, что все входные данные числовые. Ненумерические входные данные приведут к ошибкам вычисления.

Кумулятивная вероятность

Кумулятивная вероятность, связанная с z-оценкой, представляет собой вероятность того, что случайная величина из стандартного нормального распределения будет меньше или равна заданному значению. Это площадь под кривой нормального распределения слева от указанной z-оценки.

Математически кумулятивная вероятность PP рассчитывается с использованием функции накопленного распределения (CDF) стандартного нормального распределения:

P(Z≤z)=Φ(z)=12π∫−∞ze−t2/2 dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Где:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF стандартного нормального распределения при zz

Кумулятивная вероятность важна в статистике для определения вероятности того, что значение попадает в определенный диапазон. Она широко используется в таких областях, как контроль качества, финансы и социальные науки.

SVG-диаграмма

Ниже представлена SVG-диаграмма, иллюстрирующая кривую стандартного нормального распределения и z-оценку:

μ x z

Стандартное нормальное распределение

Рисунок: Кривая стандартного нормального распределения с затененной Z-оценкой

Эта диаграмма показывает кривую нормального распределения со средним μ\mu в центре. Затененная область представляет собой кумулятивную вероятность до точки данных xx, соответствующей z-оценке.

Случаи использования

Применения

  • Стандартизация между различными шкалами:

    Z-оценки позволяют сравнивать данные из разных шкал, стандартизируя наборы данных.

  • Выявление выбросов:

    Определение точек данных, которые значительно удалены от среднего (например, z-оценки меньше -3 или больше 3).

  • Статистическое тестирование:

    Используется в тестировании гипотез, включая z-тесты, для определения, отличается ли среднее значение выборки значительно от известного среднего значения популяции.

  • Контроль качества:

    В производстве z-оценки помогают контролировать процессы, чтобы гарантировать, что результаты остаются в пределах допустимых значений.

  • Финансы и инвестиции:

    Оценка производительности акций путем сравнения доходности относительно средней рыночной производительности.

Альтернативы

  • T-оценка:

    Похожа на z-оценку, но используется, когда размер выборки мал, а стандартное отклонение популяции неизвестно.

  • Процентный ранг:

    Указывает процент оценок в его распределении частот, которые равны или ниже него.

  • Единицы стандартного отклонения:

    Использование сырых значений стандартного отклонения без стандартизации в виде z-оценок.

История

Концепция z-оценки происходит от работы над нормальным распределением Карла Фридриха Гаусса в начале 19 века. Стандартное нормальное распределение, являющееся основой для z-оценок, было дополнительно разработано статистиками, такими как Абрахам де Мувр и Пьер-Симон Лаплас. Использование z-оценок стало широко распространенным с развитием статистических методов в 20 веке, особенно в психологическом тестировании и контроле качества.

Примеры

Excel

## Рассчитать z-оценку в Excel
## Предполагая, что точка данных в ячейке A2, среднее в ячейке B2, стандартное отклонение в ячейке C2
=(A2 - B2) / C2

R

## Рассчитать z-оценку в R
calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
  if (sd == 0) {
    stop("Стандартное отклонение не может быть нулевым.")
  }
  z <- (x - mean) / sd
  return(z)
}

## Пример использования:
x <- 85
mu <- 75
sigma <- 5
z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
print(paste("Z-оценка:", z_score))

MATLAB

% Рассчитать z-оценку в MATLAB
function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    if sigma == 0
        error('Стандартное отклонение не может быть нулевым.');
    end
    z = (x - mu) / sigma;
end

% Пример использования:
x = 90;
mu = 80;
sigma = 8;
z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
fprintf('Z-оценка: %.2f\n', z);

JavaScript

// Рассчитать z-оценку в JavaScript
function calculateZScore(x, mu, sigma) {
  if (sigma === 0) {
    throw new Error('Стандартное отклонение не может быть нулевым.');
  }
  return (x - mu) / sigma;
}

// Пример использования:
const x = 100;
const mu = 85;
const sigma = 7;
try {
  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
  console.log(`Z-оценка: ${z.toFixed(2)}`);
} catch (error) {
  console.error(error.message);
}

Python

## Рассчитать z-оценку в Python
def calculate_z_score(x, mu, sigma):
    if sigma == 0:
        raise ValueError("Стандартное отклонение не может быть нулевым.")
    return (x - mu) / sigma

## Пример использования:
x = 95
mu = 88
sigma = 4
try:
    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
    print("Z-оценка:", round(z, 2))
except ValueError as e:
    print(e)

Java

// Рассчитать z-оценку в Java
public class ZScoreCalculator {
    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
        if (sigma == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
        }
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 110;
        double mu = 100;
        double sigma = 5;

        try {
            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
            System.out.printf("Z-оценка: %.2f%n", z);
        } catch (IllegalArgumentException e) {
            System.err.println(e.getMessage());
        }
    }
}

C/C++

// Рассчитать z-оценку в C++
#include <iostream>
#include <stdexcept>

double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
    if (sigma == 0) {
        throw std::invalid_argument("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
    }
    return (x - mu) / sigma;
}

int main() {
    double x = 130;
    double mu = 120;
    double sigma = 10;

    try {
        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
        std::cout << "Z-оценка: " << z << std::endl;
    } catch (const std::exception &e) {
        std::cerr << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

Ruby

## Рассчитать z-оценку в Ruby
def calculate_z_score(x, mu, sigma)
  raise ArgumentError, "Стандартное отклонение не может быть нулевым." if sigma == 0
  (x - mu) / sigma
end

## Пример использования:
x = 105
mu = 100
sigma = 5
begin
  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
  puts "Z-оценка: #{z.round(2)}"
rescue ArgumentError => e
  puts e.message
end

PHP

<?php
// Рассчитать z-оценку в PHP
function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
  if ($sigma == 0) {
    throw new Exception("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
  }
  return ($x - $mu) / $sigma;
}

// Пример использования:
$x = 115;
$mu = 110;
$sigma = 5;

try {
  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
  echo "Z-оценка: " . round($z, 2);
} catch (Exception $e) {
  echo $e->getMessage();
}
?>

Rust

// Рассчитать z-оценку в Rust
fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
    if sigma == 0.0 {
        return Err("Стандартное отклонение не может быть нулевым.".to_string());
    }
    Ok((x - mu) / sigma)
}

fn main() {
    let x = 125.0;
    let mu = 115.0;
    let sigma = 5.0;

    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
        Ok(z) => println!("Z-оценка: {:.2}", z),
        Err(e) => println!("{}", e),
    }
}

C#

// Рассчитать z-оценку в C#
using System;

public class ZScoreCalculator
{
    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
    {
        if (sigma == 0)
            throw new ArgumentException("Стандартное отклонение не может быть нулевым.");
        return (x - mu) / sigma;
    }

    public static void Main()
    {
        double x = 135;
        double mu = 125;
        double sigma = 5;

        try
        {
            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
            Console.WriteLine($"Z-оценка: {z:F2}");
        }
        catch (ArgumentException e)
        {
            Console.WriteLine(e.Message);
        }
    }
}

Go

// Рассчитать z-оценку в Go
package main

import (
    "errors"
    "fmt"
)

func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
    if sigma == 0 {
        return 0, errors.New("стандартное отклонение не может быть нулевым")
    }
    return (x - mu) / sigma, nil
}

func main() {
    x := 140.0
    mu := 130.0
    sigma := 5.0

    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
    if err != nil {
        fmt.Println(err)
    } else {
        fmt.Printf("Z-оценка: %.2f\n", z)
    }
}

Swift

// Рассчитать z-оценку в Swift
func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
    if sigma == 0 {
        throw NSError(domain: "Стандартное отклонение не может быть нулевым.", code: 1, userInfo: nil)
    }
    return (x - mu) / sigma
}

// Пример использования:
let x = 120.0
let mu = 110.0
let sigma = 5.0

do {
    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
    print("Z-оценка: \(String(format: "%.2f", z))")
} catch let error as NSError {
    print(error.domain)
}

Ссылки

  1. Стандартная оценка - Википедия

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. Понимание Z-оценок - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. Нормальное распределение и Z-оценки - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Дополнительные ресурсы

Loading related tools...
Feedback