Calculadora de Z-Test

Introducció

La calculadora de Z-test és una eina poderosa dissenyada per ajudar-te a realitzar i entendre els Z-tests d'una mostra. Aquesta prova estadística s'utilitza per determinar si la mitjana d'una mostra extreta d'una població és significativament diferent d'una mitjana poblacional coneguda o hipotetitzada.

Fórmula

El Z-score per a un Z-test d'una mostra es calcula utilitzant la següent fórmula:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

On:

• $\bar{x}$ és la mitjana de la mostra
• $\mu$ és la mitjana poblacional
• $\sigma$ és la desviació estàndard poblacional
• $n$ és la mida de la mostra

Aquesta fórmula calcula el nombre de desviacions estàndard que la mitjana de la mostra es troba lluny de la mitjana poblacional.

Com utilitzar aquesta calculadora

1. Introdueix la mitjana de la mostra ($\bar{x}$)
2. Introdueix la mitjana poblacional ($\mu$)
3. Introdueix la desviació estàndard poblacional ($\sigma$)
4. Introdueix la mida de la mostra ($n$)
5. Fes clic al botó "Calcular" per obtenir el Z-score

La calculadora mostrarà el Z-score resultant i la seva interpretació.

Supòsits i limitacions

El Z-test es basa en diversos supòsits:

1. La mostra s'ha seleccionat aleatòriament de la població.
2. La desviació estàndard poblacional és coneguda.
3. La població segueix una distribució normal.
4. La mida de la mostra és suficientment gran (típicament n > 30).

És important tenir en compte que si la desviació estàndard poblacional és desconeguda o la mida de la mostra és petita, un t-test pot ser més apropiat.

Interpretació dels resultats

El Z-score representa el nombre de desviacions estàndard que la mitjana de la mostra es troba de la mitjana poblacional. Generalment:

• Un Z-score de 0 indica que la mitjana de la mostra és igual a la mitjana poblacional.
• Z-scores entre -1.96 i 1.96 suggereixen que la mitjana de la mostra no és significativament diferent de la mitjana poblacional a un nivell de confiança del 95%.
• Z-scores fora d'aquest rang indiquen una diferència estadísticament significativa.

La interpretació exacta depèn del nivell de significació escollit (α) i de si és una prova unilateral o bilateral.

Casos d'ús

El Z-test té diverses aplicacions en diferents camps:

1. Control de Qualitat: Provar si una línia de producció està complint amb els estàndards especificats.
2. Investigació Mèdica: Comparar els resultats d'un grup de tractament amb valors poblacionals coneguts.
3. Ciències Socials: Avaluar si les característiques d'una mostra difereixen de les normes poblacionals.
4. Finances: Avaluar si el rendiment d'un portafoli difereix significativament de la mitjana del mercat.
5. Educació: Comparar el rendiment dels estudiants amb les mitjanes de proves estandarditzades.

Alternatives

Encara que el Z-test s'utilitza àmpliament, hi ha situacions en què proves alternatives podrien ser més apropiades:

1. T-test: Quan la desviació estàndard poblacional és desconeguda o la mida de la mostra és petita.
2. ANOVA: Per comparar mitjanes entre més de dos grups.
3. Prova de Chi-quadrat: Per a l'anàlisi de dades categòriques.
4. Proves no paramètriques: Quan les dades no segueixen una distribució normal.

Història

El Z-test té les seves arrels en el desenvolupament de la teoria estadística a finals del segle XIX i principis del segle XX. Està estretament relacionat amb la distribució normal, que va ser descrita per primera vegada per Abraham de Moivre el 1733. El terme "puntuació estàndard" o "Z-score" va ser introduït per Charles Spearman el 1904.

El Z-test es va fer àmpliament utilitzat amb l'aparició de proves estandarditzades en educació i psicologia a principis del segle XX. Va jugar un paper crucial en el desenvolupament de marcs de proves d'hipòtesis per estadístics com Ronald Fisher, Jerzy Neyman i Egon Pearson.

Avui dia, el Z-test segueix sent una eina fonamental en l'anàlisi estadística, particularment en estudis de gran mostra on els paràmetres poblacionals són coneguts o poden ser estimats de manera fiable.

Exemples

Aquí hi ha alguns exemples de codi per calcular Z-scores en diferents llenguatges de programació:

1' Funció d'Excel per al Z-score
2Function ZScore(sampleMean As Double, populationMean As Double, populationStdDev As Double, sampleSize As Double) As Double
3    ZScore = (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Sqr(sampleSize))
4End Function
5' Ús:
6' =ZScore(10, 9.5, 2, 100)
7

1import math
2
3def z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size):
4    return (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / math.sqrt(sample_size))
5
6## Exemple d'ús:
7sample_mean = 10
8population_mean = 9.5
9population_std_dev = 2
10sample_size = 100
11z = z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
12print(f"Z-score: {z:.4f}")
13

1function zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize) {
2  return (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Math.sqrt(sampleSize));
3}
4
5// Exemple d'ús:
6const sampleMean = 10;
7const populationMean = 9.5;
8const populationStdDev = 2;
9const sampleSize = 100;
10const z = zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize);
11console.log(`Z-score: ${z.toFixed(4)}`);
12

1z_score <- function(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size) {
2  (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / sqrt(sample_size))
3}
4
5## Exemple d'ús:
6sample_mean <- 10
7population_mean <- 9.5
8population_std_dev <- 2
9sample_size <- 100
10z <- z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
11cat(sprintf("Z-score: %.4f\n", z))
12

Visualització

El Z-score es pot visualitzar en una corba de distribució normal estàndard. Aquí hi ha una simple representació ASCII: