扩散速率计算器 | 免费格雷厄姆定律工具

什么是逸出速率计算器？

逸出速率计算器用于计算一种气体相对于另一种气体通过微小孔洞逸出的速度。它使用格雷厄姆逸出定律，该定律将气体的逸出速度与其摩尔质量和温度联系起来。当气体分子逐个通过一个小到彼此不会在其中发生碰撞的开口时，就会发生逸出。

格雷厄姆逸出定律公式

格雷厄姆定律比较两种气体的逸出速率，即气体1和气体2：

$\frac{\text{速率}_1}{\text{速率}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ 和 Rate₂ 分别是气体1和气体2的逸出速率。
• M₁和M₂分别是气体1和气体2的摩尔质量，单位为克每摩尔（g/mol）。
• T₁和T₂分别是气体1和气体2的绝对温度，单位为开尔文（K）。

结果大于1表示气体1的逸出速度快于气体2。结果小于1表示气体2的速度更快。结果恰好为1表示两种气体以相同速率逸出。

隙流速率取决于分子撞击小孔的频率，而这又取决于分子的密度和速度。分子运动论给出每秒撞击单位面积器壁的分子数为数密度与平均分子速率之积的四分之一，而平均速率为 √(8RT/πM)。该公式中的温度项只改变速率。因此它假定两种气体单位体积内的分子数相同。压力相同但温度不同的两种气体不满足这一假设，因为较热的气体密度较低。

公式为何有效

该公式源自气体分子运动论。相同温度下的所有气体具有相同的平均动能，½mv² = (3/2)kT，其中 m 为单个分子的质量，v 为其平均速率，k 为玻尔兹曼常数，T 为热力学温度。解出速率得 v = √(3kT/m)。较轻的分子必须比较重的分子运动得更快，才能保持相同的动能。由于隙流速率随分子速率增大，而摩尔质量与分子质量成正比，将气体 1 的速率除以气体 2 的速率，就得到上面的公式。

两种更简单的情况

• 相同温度。 如果 T₁ 等于 T₂，温度项相互抵消，公式变为 Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁)。只有摩尔质量起作用。这就是格雷厄姆定律在相同温度和压力下两种气体的通常形式。
• 摩尔质量相同。 如果M₁等于M₂，公式变为 Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂)。此时只有温度会影响结果。

如何使用逸出速率计算器

1. 输入气体1的摩尔质量和温度。
2. 输入气体2的摩尔质量和温度。
3. 读取相对隙流速率。它表示气体 1 的隙流速度是气体 2 的多少倍。

摩尔质量和温度都必须是正数。温度必须以开尔文输入，而不是摄氏度或华氏度，因为公式取决于绝对温度。

常见气体的摩尔质量

计算示例

示例1：氦与甲烷，温度相同

氦（He）的摩尔质量为 4.00 g/mol。甲烷（CH₄）的摩尔质量为 16.04 g/mol。两者的温度均为 298 K。

$\frac{\text{速率}_{He}}{\text{速率}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

氦的隙流速度约为甲烷的 2.00 倍。

示例 2：氢气与氧气的比较，温度不同

氢（H₂）的摩尔质量为2.02 g/mol，温度为400 K。氧（O₂）的摩尔质量为32.00 g/mol，温度为300 K。

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{速率}_{H_2}}{\text{速率}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

400 K 的氢，其隙流速度约为 300 K 的氧的 4.60 倍。如果像网上一些例题那样，先把每个平方根四舍五入到两位小数再相乘，会得到 3.98 × 1.15 = 4.58，略有偏差。在最后一步之前多保留几位小数，可以避免这种误差。

格雷厄姆定律的应用

• 同位素分离。 曼哈顿计划利用六氟化铀的气体扩散来分离铀-235 与铀-238。这两种同位素形成的六氟化铀气体摩尔质量略有不同，因此隙流速率也略有不同。
• 泄漏检测。 氦的摩尔质量低，能够迅速通过微小泄漏处逸出，因此常被用作示踪气体，以查找真空系统和压力容器中的泄漏。
• 膜法气体分离。 用于净化或分离气体混合物的工业膜，部分依靠组分气体之间不同的逸出速率。

历史

苏格兰化学家托马斯·格雷厄姆（Thomas Graham）测量了不同气体通过小孔逸出的快慢。他发现隙流速率与气体摩尔质量的平方根成反比。他的结果后来帮助支持了气体分子运动论，该理论由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼进一步发展。

常见问题

逸出和扩散有什么区别？ 逸出是气体分子通过小孔进入真空或较低压区域的过程，此时孔洞小于分子两次碰撞之间行进的平均距离。扩散是气体分子在另一种气体或介质中扩散开来，由浓度差驱动，并且分子之间会发生碰撞。

为什么温度必须使用开尔文？ 气体分子的动能与绝对温度成正比。摄氏温标和华氏温标都不是从绝对零度开始的，因此使用它们会得到错误的比值。

压力会影响相对隙流速率吗？ 如果两种气体的温度和压力都相同，压力会在比值中抵消。当温度不同时，计算器的温度项假定两种气体的分子密度相同，而不是压力相同。

格雷厄姆定律能求出未知气体的摩尔质量吗？ 能。如果将未知气体的逸出速率与一种已知摩尔质量的气体进行比较，就可以重新整理公式：

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{速率}_{known}}{\text{速率}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

格雷厄姆定律适用于液体吗？ 不适用。它只适用于气体。液体分子排列得紧密得多，彼此作用也强得多，因此同一个公式不能描述液体如何通过小孔运动。

如果气体温度加倍，隙流速度会快多少？ 隙流速率与热力学温度的平方根成正比。如果摩尔质量和分子密度保持不变，温度加倍会使速率乘以 √2，约为 1.41。

参考文献

1. OpenStax。Chemistry 2e，第 9.4 节。气体的隙流与扩散 — 格雷厄姆定律，在相同温度和压力下气体的速率 ∝ 1/√ℳ；曼哈顿计划中 UF₆ 的气体扩散。
2. Eames, E. V.（旧金山城市学院），来自 LibreTexts。General Chemistry Supplement: Diffusion and Effusion。扩散与隙流 — 隙流速率取决于粒子撞击小孔的频率，而这又取决于粒子的密度和速度。
3. 美国国家标准与技术研究院。NIST Chemistry WebBook: Helium。氦 — 分子量 4.002602。
4. 美国国家标准与技术研究院。NIST Chemistry WebBook: Methane。甲烷 — 分子量 16.0425。
5. LibreTexts。Physical Chemistry，第 27.4 节。分子与器壁的碰撞频率 — 器壁碰撞通量 z_w = ¼ (N/V)⟨v⟩，其中 ⟨v⟩ = (8RT/πM)^½；温度项背后等数密度假设的依据。