半衰期计算器 | 计算放射性衰变和药物代谢

什么是半衰期？

半衰期是某个量降至初始值一半所需的时间。这个半衰期计算器只能单向计算：输入衰变率，返回半衰期。这个概念适用于放射性同位素、离开人体的药物，以及任何呈指数衰变的过程。

半衰期不取决于存在多少物质。无论样品是一千克，还是庞大原子群体中一个原子所对应的那点物质，铀-238的半衰期都约为4.5十亿年。只有物质的衰变率决定半衰期。

半衰期公式

标准公式为：

t½ = ln(2) / λ

• t½ 是半衰期，所用时间单位与 λ 的相同。
• ln(2) 是2的自然对数，约为0.6931。
• λ（lambda）是衰变常数，即单位时间内发生衰变的物质所占的比例。

该公式源自指数衰变方程：

N(t) = N₀ × e^(−λt)

这里，N₀是初始量，N(t) 是经过时间 t 后剩余的量，e 是欧拉数，约为2.718。令 N(t) 等于N₀/2并求解 t，可得 t½ = ln(2)/λ。衰变率越高，半衰期越短；衰变率越低，半衰期越长。

衰变率的单位

衰变率 λ 用时间的倒数表示，例如每秒、每天或每年。它必须与答案所需的时间单位一致。将“每天”的速率当作“每小时”读取，会使结果产生24倍的误差，因此先检查单位可以避免计算错误。

如何计算半衰期

1. 确定衰变常数。 查找该物质的 λ，或根据测量数据推导 λ，并仔细记录其时间单位。
2. 用 ln(2) 除以 λ。 所得结果 t½ = ln(2)/λ 就是半衰期，其时间单位与 λ 相同。
3. 检查结果的数量级。 医用同位素不应得出百万年的半衰期；地质同位素也不应得出以天计的半衰期。结果远超预期范围，通常说明单位不一致。

对于寿命很长的同位素，λ 常用科学记数法表示，例如铀-238的衰变率为每年1.54 × 10⁻¹⁰。衰变率输入框接受这种 e 记数法，输入为1.54e-10。

此计算器显示的内容

计算器需要两个输入值。初始量是时间零点时存在的量，单位可由用户选择，但必须至少为0.1。衰变率为 λ，按单位时间给出。

结果是半衰期，保留四位小数，时间单位与 λ 相同。下方的句子会将结果重新表述为初始量降至一半所需的时间。衰变率小于或等于零时会被拒绝，因为 ln(2)/0没有定义。

图表绘制 N(t) = N₀ × e^(−λt) 从时间零点到五个半衰期的变化，并使用101个等间距点。五个半衰期后剩下初始量的1/32，约为3.1%。曲线可以按照用户选择的步长下载为电子表格。

计算示例

示例1：碳-14测年

碳-14的衰变率约为每年1.21 × 10⁻⁴。

t½ = ln(2) / (1.21 × 10⁻⁴) ≈ 5,730年

生物体存活时会持续与大气交换碳，使其碳-14水平保持恒定。死亡后，这种交换停止，体内已有的碳-14便按此规律开始衰变。科学家比较剩余的碳-14与稳定碳-12的含量，就能估计生物体死于多久以前。超过约60,000年后，这种方法就不再可靠，因为此时剩余的碳-14太少，无法准确测量。

示例2：医学中的碘-131

碘-131用于甲状腺治疗和成像，其衰变率约为每天0.0862。

t½ = ln(2) / 0.0862 ≈ 8.04天

约8天后，给予剂量中一半的碘-131已经衰变。十个半衰期，即约80天后，放射性降至原始水平的约千分之一；医院据此规划患者安全措施以及病房的清场和重新启用。

示例3：药物清除率

一种药物以每小时0.2的速率从体内清除。

t½ = ln(2) / 0.2 ≈ 3.47小时

约3.5小时后，一半药物会离开血液。医生利用这一数值安排给药间隔，使药物保持在治疗范围内：间隔过短会有积累至中毒水平的风险，间隔过长则会使药物浓度降至有效水平以下。

相关量

还有几个术语从不同角度描述同一衰变过程。

• **衰变常数（λ）**是半衰期公式的输入量。它等于 ln(2)/t½，表示给定原子在单位时间内发生衰变的概率。
• **平均寿命（τ）**是粒子在衰变前存在时间的平均值，等于1/λ，或 t½/ln(2)。它约为半衰期的1.44倍。
• 活度以贝可勒尔或居里为单位，表示实际样品每秒发生的衰变次数。与 λ 不同，活度取决于物质的量：一克短寿命同位素的活度远高于一克长寿命同位素。
• 有效半衰期适用于活体内的物质，此时物质同时通过物理衰变和排泄等生物过程被清除。它由1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological 求得，并且总是短于单独的物理半衰期。

半衰期的应用

放射性测年。 碳-14可测定约60,000年以内的有机物年代。寿命更长的同位素可测定更古老的材料：铀-238衰变为铅-206，其半衰期接近4.5十亿年，可用于测定地球形成以来形成的岩石年代。

核废物管理。 使用过的核燃料含有多种半衰期差异很大的同位素。碘-131会在数月内达到安全水平，而钚-239的半衰期接近24,000年，需要以数十万年为尺度进行储存。

药理学。 药物的半衰期决定给药时间表。按规律给药后，约五个半衰期可达到稳定的血药浓度；将药物清除至可忽略水平也约需五个半衰期。

核医学。 锝-99m的半衰期约为6小时，常用于诊断成像，因为它既能保持足够长的活性以形成图像，又能足够快地衰变，从而限制患者受到的辐射暴露。

环境示踪。 铯-137（约30年）和锶-90（约29年）用于追踪核事故造成的污染，因为它们的半衰期足够长，能持续数十年，但又足够短，最终会衰变消失。

常见问题

用简单的话说，什么是半衰期？

半衰期是某个量的一半消失或转化为其他物质所需的时间。从100克放射性同位素开始，一个半衰期后剩下50克，再经过一个半衰期剩下25克。无论开始时有多少物质，这段时间都相同。

如何根据衰变率计算半衰期？

用 ln(2)（约为0.693）除以衰变率 λ：t½ = ln(2)/λ。结果的时间单位与 λ 的测量单位相同，因此每年的衰变率会得到以年计的半衰期。

温度或压力会改变半衰期吗？

不会。放射性半衰期由原子核内部的过程决定，不受温度、压力或化学状态影响。这不同于生物半衰期或有效半衰期，后者可能随代谢等因素变化。

经过多少个半衰期后，某种物质才算基本消失？

指数衰变永远不会恰好达到零，但经过10个半衰期后，通常只剩下原始量的约0.1%，在实际应用中一般视为可忽略。

半衰期适用于非放射性物质吗？

适用。任何呈指数衰变的量都有半衰期，包括离开血液的咖啡因、从体内清除的药物，以及在土壤或水中分解的某些污染物。在每种情况下都适用同一公式 t½ = ln(2)/λ。

碳-14测年有多准确？

对于年龄小于约30,000年的样品，在根据树轮记录校准、修正过去大气中碳-14水平变化后，结果通常可精确到几百年以内。超过约60,000年后，剩余的碳-14太少，无法进行可靠测量。

参考文献

1. L'Annunziata，Michael F.（2016）。放射性：从量子到夸克的导论与历史。Elsevier Science。ISBN 978-0444634979。
2. Krane，Kenneth S.（1988）。核物理学入门。Wiley。ISBN 978-0471805533。
3. 美国国家标准与技术研究院。"Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. 国际原子能机构。"Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html