放射性衰变计算器 - 计算半衰期和剩余数量

什么是放射性衰变计算器？

放射性衰变计算器根据半衰期，计算经过给定时间后剩余的放射性物质数量。输入初始数量、半衰期和经过的时间，计算器会返回剩余数量以及衰变曲线图。

放射性衰变是一种自然过程：不稳定的原子核以辐射形式释放能量，并转变为另一种更稳定的原子核。每种放射性同位素都以自身固定的速率衰变，这一速率用半衰期表示，即样品中一半原子发生衰变所需的时间。该速率不受温度、压力或物质化学形态的影响，因此衰变计算足够可靠，可用于从癌症治疗到古代文物年代测定等领域。

放射性衰变公式

计算器使用标准的指数衰变方程：

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — 经过时间$t$后剩余的数量
• $N_0$ — 初始数量
• $t$ — 经过的时间
• $t_{1/2}$ — 该同位素的半衰期

指数$t / t_{1/2}$表示已经过去了多少个半衰期。经过一个半衰期后，剩余原始数量的一半。经过两个半衰期后，剩余四分之一。经过三个半衰期后，剩余八分之一，依此类推。

同一定律也常用衰变常数$\lambda$而不是半衰期来表示：

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

两种形式给出的结果完全相同。半衰期形式更便于手算，因为对于整数个半衰期，$(1/2)^n$的含义很直观。

理解半衰期

不同同位素的半衰期相差极大。钋-214 的半衰期约为162.3 微秒。碲-128 的半衰期大约为 2.2 亿亿亿（2.2 × 10²⁴）年。经过约 10 个半衰期后，样品剩余不到 0.1%，因此 10 个半衰期常被用作判断放射源何时“基本消失”的粗略经验法则。

如何计算放射性衰变

1. 输入初始数量。 可以使用任何单位——克、原子数、贝可勒尔或居里——结果也会采用相同单位。
2. 输入该同位素的半衰期及其时间单位（秒、分钟、小时、天或年）。
3. 输入经过的时间及其单位。该单位无需与半衰期的单位相同；计算器会先将两者转换为相同单位，再计算结果。
4. 读取剩余数量和衰变曲线图。该图显示所输入的整个时间段内的数量变化。

计算示例

碘-131 用于甲状腺治疗和成像，其半衰期为8.02 天。若起始量为 1,000 毫居里，经过 24.06 天后还剩多少？

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ 毫居里}$

已经过了三个半衰期，因此样品连续减半三次：1,000 → 500 → 250 → 125毫居里。

常见同位素及其半衰期

衰变计算在现实中的应用

医学。 钴-60等放射治疗源会随着衰变而减弱，因此在放射源的使用寿命内，必须延长照射时间才能提供相同剂量。核医学扫描使用锝-99m等短寿命同位素，并安排在活度足以成像但又足够低、能够限制患者辐射剂量的时段进行。由于其半衰期为6小时，经过24小时（四个半衰期）后，约剩余原始活度的6%；两天后（八个半衰期）剩余量少于1%。

**年代测定。**考古学家通过测量剩余的碳-14 含量来估算有机遗存的年代，所依据的是其 5,700 年的半衰期。这种方法大约适用于 50,000–60,000 年以内，再久则碳-14 剩余过少，无法测量。地质学家利用铀-铅和钾-氩衰变测定时间跨度长得多的岩石年代，地球的年龄就是这样估算出来的，约为4.54 十亿年。

安全与工业。 核事故发生后，碘-131等短寿命同位素会造成即时但暂时的危害，而铯-137等长寿命同位素（约30年）可能在数十年内持续构成问题。工业射线照相所用的放射源会在衰变导致照射时间长到不切实际后退役；乏核燃料则需在冷却池中储存多年，因为它在衰变过程中仍会持续产生热量。

此计算器的局限性

此计算器处理单一同位素衰变为稳定产物的简单情况。它不模拟：

• 衰变链。 许多重同位素会经过一系列放射性子体衰变，最终才形成稳定同位素。例如，铀-238在变成稳定的铅-206之前，约经过14个步骤。要计算每种中间同位素的数量，需要求解巴特曼方程组，即一组耦合微分方程。
• 小样品。 该公式描述的是大量原子的平均行为。样品中只有几十个原子时，任意时间间隔内的实际衰变数会在预测曲线附近波动。
• 校准。 对于年代测定，直接计算出的年代并不等同于日历年份。例如，碳年代测定需要使用校准曲线，修正过去大气中碳-14含量的变化。

常见问题

半衰期是如何定义的？ 半衰期是样品中一半放射性原子发生衰变所需的时间。对某一种同位素来说，它是恒定的，与样品大小和物理条件无关。

放射性衰变能被加快或减慢吗？ 在正常条件下不能。衰变速率不受温度、压力或化学键的影响。正是这种恒定性使放射性测年和剂量规划成为可靠的方法。少数特殊的衰变方式，例如电子俘获，只有在恒星内部这类极端条件下才会出现微小的速率变化，这与日常使用无关。

经过很多个半衰期后会怎样？ 剩余量会不断减半，但在数学上永远不会降到零。经过 10 个半衰期后，约剩 0.0977%。经过 20 个半衰期后，剩余量不到原来的百万分之一。在辐射防护中，10 个半衰期是将放射源视为不再有显著影响的常用阈值。

如何在不同时间单位之间换算？ 1 年 = 365.25 天，1 天 = 24 小时，1 小时 = 60 分钟，1 分钟 = 60 秒。计算器会自动换算，因此半衰期和经过的时间可以用不同的单位输入。

这个计算器可以用于碳测年吗？ 它可以利用碳-14 的 5,700 年半衰期给出基本的估算。专业测年会使用已发布的校准曲线，把原始结果转换为日历年代，因为大气中碳-14 的含量随时间有过变化。

这个计算器能处理衰变链吗？ 不能。它只计算从母体同位素到稳定产物的单步衰变。像铀-238 这类经由一连串放射性子体衰变的同位素，需要用贝特曼方程求解，而本工具不求解这类方程。

参考文献

1. 亨利·贝克勒尔国家实验室（Laboratoire National Henri Becquerel），衰变数据评估项目。I-131 nuclide tables。LNHB I-131 数据表——碘-131 的半衰期为 8.0233 天。
2. 亨利·贝克勒尔国家实验室（Laboratoire National Henri Becquerel），衰变数据评估项目。Tc-99m nuclide tables。LNHB Tc-99m 数据表——锝-99m 的半衰期为 6.0067 小时。
3. 亨利·贝克勒尔国家实验室（Laboratoire National Henri Becquerel），衰变数据评估项目。Co-60 nuclide tables。LNHB Co-60 数据表——钴-60 的半衰期为 5.2711 年。
4. 美国地质调查局。Age of the Earth。USGS 地质时间：地球的年龄——地球和太阳系的年龄，为 4.54 十亿年，由铀-铅测年得出。
5. 亨利·贝克勒尔国家实验室（Laboratoire National Henri Becquerel），衰变数据评估项目。C-14 nuclide tables。LNHB C-14 数据表——碳-14 的半衰期为 5,700 ± 30 年。
6. 亨利·贝克勒尔国家实验室（Laboratoire National Henri Becquerel），衰变数据评估项目。Po-214 nuclide tables。LNHB Po-214 数据表——钋-214 的半衰期为 162.3 微秒。
7. 亨利·贝克勒尔国家实验室（Laboratoire National Henri Becquerel），衰变数据评估项目。Pu-239 nuclide tables。LNHB Pu-239 数据表——钚-239 的半衰期为 24,100 年。