亨德森-哈塞尔巴尔赫计算器：缓冲液pH计算器

什么是亨德森-哈塞尔巴尔赫计算器？

亨德森-哈塞尔巴尔赫计算器用于求出缓冲溶液的 pH。缓冲液是弱酸及其共轭碱的混合物，在加入少量酸或碱时能够抵抗 pH 的变化。该计算器使用亨德森-哈塞尔巴尔赫方程，将 pH 与酸的 pKa 以及酸和其共轭碱的浓度联系起来。

缓冲液能在许多场合保持 pH 稳定，例如血液、细胞培养、酶促反应和药物制剂。把 pH 调准很重要。pH 的微小变化就可能使酶的活性降低，或使药物更快分解。

亨德森-哈塞尔巴尔赫方程

$\text{pH} = \text{pKa} + \log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right)$

• pH 用于衡量溶液的酸性或碱性。
• pKa 是描述酸结合质子（氢离子）强弱的数值。它等于 $-\log_{10}(K_a)$，其中 $K_a$ 是酸解离常数。
• [A⁻] 是共轭碱的浓度，单位为摩尔每升。共轭碱就是酸失去质子后的形态。
• [HA] 是弱酸本身的浓度，单位为摩尔每升。

pKa 较低表示酸性较强，更容易释放质子。每种酸都有其固定的 pKa。

缓冲液为何在 pKa 附近效果最佳

当 [A⁻] 等于 [HA] 时，对数中的比值为 1，log10(1) 等于 0，此时 pH 等于 pKa。这一点的缓冲能力最强，因为溶液中酸和碱的量相等，可以随时吸收加入的任何物质。缓冲液在 pKa 上下约一个 pH 单位的范围内效果良好。超出这个范围，两种形态中有一种会变得很少，溶液就无法再抵抗 pH 的变化。

如何计算缓冲液的 pH

1. 查找酸的 pKa。下表列出了常见数值。
2. 输入共轭碱的浓度 [A⁻]，单位为摩尔每升。
3. 输入酸的浓度 [HA]，单位为摩尔每升。
4. 读取结果。计算器将 pKa 加上碱与酸之比的以 10 为底的对数。

计算器还会绘制缓冲容量曲线，显示混合液在一系列 pH 值下抵抗 pH 变化的强弱（见下文）。

算例

某实验室需要 pH 为 7.40 的磷酸盐缓冲液。磷酸盐（H₂PO₄⁻ / HPO₄²⁻ 共轭对）的相关 pKa 为 25 °C 时的 7.198，约为 7.20。

将方程重新整理，以求出比值：

$\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]} = 10^{(\text{pH} - \text{pKa})} = 10^{(7.40 - 7.20)} \approx 1.585$

对于 100 mL 总浓度为 0.1 M 的缓冲液，按该比值把总量分配给两种形态：

• [HPO₄²⁻]（碱）= 100 mM × 1.585 ÷ 2.585 ≈ 61.3 mM
• [H₂PO₄⁻]（酸）= 100 mM − 61.3 mM ≈ 38.7 mM

代回原方程检验：pH = 7.20 + log10(61.3/38.7) = 7.20 + 0.20 = 7.40。由于目标 pH 高于 pKa，混合液中碱的量需要多于酸。

缓冲容量公式

缓冲容量（符号为 β）衡量缓冲液在 pH 明显变化前能够吸收多少酸或碱。对于单一弱酸及其共轭碱，缓冲容量为：

$\beta = 2.303 \times \frac{C \times K_a \times [\text{H}^+]}{(K_a + [\text{H}^+])^2}$

这里 $C$ 是缓冲液的总浓度，即 $[\text{HA}] + [\text{A}^-]$。缓冲容量在 pH = pKa 时达到峰值，此时 $[\text{H}^+] = K_a$；pH 向任一方向偏离 pKa 时，缓冲容量都会迅速下降。总浓度加倍，则在每个 pH 下的缓冲容量也加倍。

常见缓冲体系及 pKa 值

下列 pKa 值为 NIST 推荐的 25 °C 时的值，保留两位小数。

血液是一种常见的天然缓冲体系。它借助碳酸氢盐体系，使 pH 保持在 7.35 与 7.45 之间。在血液中，该体系的有效 pKa 约为 6.1，远在通常的 ±1 范围之外。它之所以能起作用，是因为人体通过呼吸调节 CO₂，并通过肾脏调节碳酸氢盐，使碳酸氢盐与碳酸的比值接近 20 比 1。于是 pH = 6.1 + log10(20) ≈ 7.40。

温度和浓度的影响

pKa 值通常在 25 °C 下测定。温度会改变 pKa，因此在室温下配制的缓冲液，在体温（37 °C）下测得的 pH 不会完全相同。变化幅度取决于缓冲液种类：

• Tris 的变化幅度很大，每升高 1°C 约变化 0.028 个 pH 单位，温度升高时 pH 下降。在 25 °C 时 pH 为 8.00 的 Tris 缓冲液，在 37 °C 时读数将接近 pH 7.66，温度升高了 12 °C。
• 磷酸盐的 pH 随温度变化幅度很小。
• HEPES 的变化幅度比 Tris 小，但比磷酸盐大。

极稀的缓冲液也不太可靠。此时水自身的电离以及空气中溶解的二氧化碳开始与缓冲体系相竞争，真实的 pH 可能偏离计算值。

亨德森-哈塞尔巴尔赫方程的历史

美国生物化学家劳伦斯·亨德森（Lawrence Henderson）在 1908 年研究血液如何维持稳定 pH 时，描述了这一基本关系。他的形式直接使用氢离子浓度，而这个数值非常小，用起来很不方便。

在 1916 年，丹麦医生卡尔·哈塞尔巴尔赫使用新发明的 pH 标度重新表述了亨德森的关系，将其改写为今天使用的对数形式。这一变化使该方程在实验室和医学中的应用容易得多，此后一直沿用至今。

常见问题

亨德森-哈塞尔巴尔赫方程计算什么？ 它根据酸的 pKa 以及酸与共轭碱的浓度，计算缓冲溶液的 pH。它也可以变形，用来求达到目标 pH 所需的碱与酸之比。

缓冲液在什么情况下效果最好？ 当 pH 接近其酸的 pKa 时，缓冲能力最强，最好在一个 pH 单位以内。此时酸及其共轭碱的量相近，抵抗 pH 变化的能力最强。

该方程适用于有多个 pKa 的酸吗？ 适用，但一次只针对一个解离步骤。磷酸有三个 pKa 值；pH 在 7.2 附近的缓冲液只用第二个（约 7.20），在该 pH 下另外两个解离步骤可忽略不计。

温度对缓冲液的 pH 有多大影响？ 这取决于缓冲液的种类。Tris 每升高 1°C 约变化 0.028 个 pH 单位，因此在 25 °C 时调到 pH 8.00 的 Tris 缓冲液，在 37 °C 时读数约为 pH 7.66。磷酸盐和 HEPES 缓冲液对温度较不敏感。

计算得到的 pH 与实测的 pH 相同吗？ 不完全相同。该方程假定为理想状态，没有考虑溶解的二氧化碳、杂质，以及高盐浓度下强烈的离子相互作用。实验室配制的缓冲液在制备后应始终用校准过的 pH 计检查。

什么是缓冲容量？ 缓冲容量衡量缓冲液在 pH 发生明显变化之前能吸收多少酸或碱。pH 等于 pKa 时缓冲容量最大，pH 偏离该点时则逐渐下降。

参考文献

1. 美国国家标准与技术研究院。Goldberg、Kishore 和 Lennen，Thermodynamic Quantities for the Ionization Reactions of Buffers，J. Phys. Chem. Ref. Data 31（2002）。NIST JPCRD 重印本（PDF） — 表中各缓冲液在 298.15 K 时的推荐 pK 值，包括磷酸盐的 7.198。
2. 费希尔科技（Fisher Scientific）。Preparation of Tris•Cl stock solutions。Fisher Scientific Tris•Cl 资料页（PDF） — Tris 缓冲液的 pH 每升高一摄氏度（°C）约下降 0.028 个 pH 单位。
3. 默克诊疗手册（消费者版）。Overview of Acid-Base Balance。默克手册：酸碱平衡 — 正常血液 pH 约为 7.35 至 7.45。
4. 默克诊疗手册（专业版）。Acid-Base Regulation。默克手册：酸碱调节 — CO₂ 由通气控制；H⁺ 和 HCO₃⁻ 由肾脏调节。
5. 德州农工大学 AgriLife，动物科学系。Handout 1: Buffers and Solutions。德州农工大学缓冲液讲义（PDF） — 碳酸氢盐的 pKa 为 6.1，pH 为 7.4 时碳酸氢盐与碳酸之比为 20/1。
6. 纳瓦拉大学诊所。Ecuación de Henderson-Hasselbalch（西班牙语）。CUN 医学词典词条 — 亨德森的非对数形式出现于 1908 年；哈塞尔巴尔赫的对数形式出现于 1916 年。