垂直曲线计算器 - 公路与道路设计工具

什么是竖曲线计算器？

竖曲线计算器可求出竖曲线的高程、K值和关键点。竖曲线是工程师用来平顺连接两条道路纵坡的抛物线曲线。道路不再在坡度发生变化处形成尖角，而是通过竖曲线将两条纵坡平滑连接成一条连续曲线。这样可以提高行驶舒适性，确保驾驶员有足够的前方视距以安全停车，并有助于正常排水。

工程师在设计高速公路、街道、铁路、机场跑道以及停车场等整平场地时会使用竖曲线。凡是道路或轨道需要改变坡度的地方，都可以用竖曲线完成这种过渡。

凸形曲线和凹形曲线

根据曲线前后纵坡（坡度）的比较，竖曲线分为两种类型。纵坡用百分数表示：3%的纵坡表示每行进100米，上升3米。

• 凸形曲线：起始纵坡大于终止纵坡（g₁ > g₂）。道路先上坡，经过高点后下坡，如同越过山顶。
• 凹形曲线：起始纵坡小于终止纵坡（g₁ < g₂）。道路先下坡，经过低点后上坡，如同经过凹地底部。
• 如果两条纵坡相等，则不需要曲线。道路本身就是直线。

凸形曲线主要影响停车视距：驾驶员必须看清足够远的前方，以便在撞上障碍物前停车。凹形曲线主要影响夜间的前灯视距和排水，因为水会汇集在低点。

关键术语

• PVI（竖曲线交点）：如果不存在曲线，两条直线纵坡线将相交的点。
• PVC（竖曲线起点）：曲线开始的位置。
• PVT（竖曲线终点）：曲线结束的位置。
• K值：曲线长度除以纵坡变化量。它表示曲线的平缓程度。
• 桩号：沿道路中心线测量的距离，用来代替普通坐标。在此计算器中，桩号和高程均以米为单位输入。

曲线通常是对称的：PVC位于PVI之前半个曲线长度处，PVT位于PVI之后半个曲线长度处。

竖曲线公式

曲线上任意点的高程遵循二次（抛物线）方程：

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = 距PVC为$x$处的高程
• $y_{PVC}$ = PVC处的高程
• $g_1$ = 起始纵坡，以小数表示（3%的纵坡为0.03）
• $A$ = 纵坡的代数差，即$g_2 - g_1$（小数形式）
• $L$ = 曲线长度

K值公式

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

这里的$g_1$和$g_2$均为百分数。K值越大，曲线越平缓。AASHTO的《公路和街道几何设计政策》等设计手册，会根据设计速度以及曲线属于凸形还是凹形，为公路规定K值下限。

如果$g_1$等于$g_2$，纵坡变化量为零，K值无定义。此时计算器会用短横线代替K值。相差小于0.0001%的纵坡视为相等。

PVC和PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

（这里的$g_1$和$g_2$为百分数；除以200可将百分数转换为小数，并将其应用于半个曲线长度。）

高点或低点

当两条纵坡符号相反，或其中一条纵坡恰好为零时，曲线上会有高点（凸形曲线）或低点（凹形曲线）。该点距PVC的距离为：

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

将$x$加到PVC桩号上，即可得到高点或低点的桩号；然后使用上面的高程公式求出其高程。当两条纵坡符号相同时，该点位于PVC至PVT范围之外，因此道路在整条曲线上持续上升或持续下降，计算器不会报告高点或低点。当其中一条纵坡为零时，该点恰好位于PVC或PVT处。

如何计算竖曲线

1. 输入起始纵坡和终止纵坡，以百分数表示。上坡使用正数，下坡使用负数。
2. 输入曲线长度，单位为米。
3. 输入PVI桩号和PVI高程，两者均以米为单位。
4. 读取曲线类型（凸形、凹形或两者均不是）、K值以及PVC和PVT的桩号和高程。
5. 如果两条纵坡符号相反，或其中一条为零，计算器还会报告高点或低点。
6. 如需查找其他点的高程，请输入查询桩号。如果该桩号位于曲线范围之外，计算器会说明这一点，而不是给出数值，因为该公式仅适用于PVC和PVT之间。

计算示例：凸形曲线

道路先以3%的纵坡上升，然后以-2%的纵坡下降。PVI位于桩号1000.00 m处，高程为150.00 m。曲线长度为400 m。

K值：$K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC：桩号$= 1000 - 400/2 = 800.00$ m；高程$= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT：桩号$= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m；高程$= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

高点：由于3和−2符号相反，因此存在高点。该点距PVC为$x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m，因此其桩号为$800 + 240 = 1040.00$ m。其高程为$144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m。

计算示例：凹形曲线

道路先以-3%的纵坡下降，然后以2%的纵坡上升。PVI位于桩号500.00 m处，高程为85.00 m。曲线长度为200 m。

K值：$K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC：桩号$= 400.00$ m；高程$= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT：桩号$= 600.00$ m；高程$= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

低点：$x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m距PVC，因此其桩号为$400 + 120 = 520.00$ m。其高程为$88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m。

该低点是地表水汇集的位置，因此设计人员应在此处设置排水入口，而不是设置在PVI处。

常见问题

竖曲线设计中的K值是什么？ K值是曲线长度除以两条纵坡绝对差的结果。它表示纵坡每变化1%需要多少米的曲线长度。K值越大，曲线越平缓。

如何判断需要凸形曲线还是凹形曲线？ 比较两条纵坡即可。如果起始纵坡大于终止纵坡，就是凸形曲线；如果起始纵坡小于终止纵坡，就是凹形曲线。纵坡相等时完全不需要曲线。

如果起始纵坡和终止纵坡相等，会怎样？ 不需要竖曲线，因为道路本身就是直线。由于纵坡变化量为零，K值需要除以零，因此无定义；计算器会显示短横线，而不是数字。

如何求曲线的高点或低点？ 当两条纵坡符号相反，或其中一条纵坡为零时，该点才存在。它距PVC的距离为$g_1 L / (g_1 - g_2)$。将该距离加到PVC桩号上即可确定位置，然后使用曲线的高程公式求出其高程。两条纵坡符号相同时，该点位于曲线范围之外，因此不存在高点或低点。

为什么凹形曲线的低点对排水很重要？ 沿凹形曲线两侧向下流动的水会在低点汇集。如果将排水入口设置在PVI而不是真正的低点，水可能会积聚在道路上，因为这两个点很少重合。

查询桩号可能位于曲线之外吗？ 可以。高程公式仅适用于PVC和PVT之间。位于该范围之外的桩号在这条曲线上没有定义的高程，因此计算器会报告其位于曲线之外。