置信区间转标准差计算器

此计算器可将报告的置信区间换算为标准误和标准差。它需要区间的两个界限、样本量和置信水平。论文通常会报告均值及其置信区间，却省略标准差，而荟萃分析和统计功效计算都需要标准差。

计算器的功能

均值的置信区间通常按以下方式构建：

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中 CI 表示置信区间，m 表示报告的估计值，Z 表示临界值，σ 表示标准差，n 表示样本量。

± 号后面的部分是误差界限，等于临界值 Z 与标准误的乘积。由于区间是对称的，其宽度的一半就是误差界限。反推该公式即可得到标准误，进而得到标准差。

公式

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

其中 w 是区间宽度，u 是上界，l 是下界。SE 是均值的标准误。σ 是标准差。Z 是给定置信水平下标准正态分布的双侧临界值。

临界值

对于其他置信水平，Z 是使剩余概率的一半落在每个尾部的值。计算器会根据输入的置信水平计算该值。

算例

一项研究报告的均值差为 −2.6，置信区间为 95%，区间范围从 −5.2 到 −0.01，样本包括 78 名参与者。

1. 宽度 = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. 置信水平为 95% 时，Z = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

标准差约为 11.69。

该方法适用近似值的情况

该公式假设区间以估计值为中心对称分布，并且根据正态分布构建。以下两种情况会破坏这一假设。

小样本通常使用 t 分布，而不是正态分布。t 分布的临界值更大，因此使用 Z 会略微低估标准差。随着样本量增加，这一差距会缩小；当观测值大约超过 30 个时，差距已经很小。

比值的区间（例如优势比或风险比）在对数尺度上对称，而不是在原始尺度上对称。在应用此公式之前，必须先用对数转换这些界限。

如果点估计不在区间的中点，计算器会将该区间标记为不对称，此时结果应视为估计值。

常见问题

标准误差与标准差之间有什么区别？

标准差描述单个数值的离散程度。标准误描述均值估计的精确程度。二者通过 SE = σ / √n 相关，因此样本量增加时标准误会减小，而标准差不会。

为什么要除以 2Z，而不是 Z？

完整宽度覆盖估计值的两侧。误差界限是完整宽度的一半，因此将半宽度除以 Z，等同于将完整宽度除以 2Z。

该方法能用于基于 t 分布的区间吗？

可以，但应将 Z 替换为自由度为 n − 1 时的 t 分布临界值。在小样本中使用 Z 会得到略低的标准差。

如果只报告了误差界限怎么办？

将其乘以二得到宽度，然后按照相同步骤计算。

点估计会改变结果吗？

不会。公式中只有宽度、置信水平和样本量会参与计算。估计值仅用于检查区间是否对称。