置信区间转标准差计算器

这个计算器可以把报告出来的置信区间还原为标准误和标准差。它需要区间的两个边界、样本量和置信水平。论文常常只给出均值和它的置信区间，却不给出标准差，而荟萃分析和检验效能计算都需要标准差。

计算器的原理

均值的置信区间通常是这样构建的：

CI = estimate ± Z × (σ / √n)

± 号后面的部分是误差范围。它等于临界值 Z 乘以标准误。由于区间是对称的，区间宽度的一半就是误差范围。把公式反过来推导，就能求出标准误，再求出标准差。

公式

width = upper bound − lower bound

SE = width ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE 是均值的标准误。σ 是标准差。Z 是标准正态分布在给定置信水平下的双侧临界值。

临界值

对于其他置信水平，Z 是使剩余概率在两侧尾部各留一半的数值。无论输入什么置信水平，计算器都会算出对应的 Z 值。

示例

某研究报告的均值差为 −2.6，95% 置信区间为 −5.2 到 −0.01，样本量为 78 人。

1. 宽度 = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. 95% 置信水平对应的 Z = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

标准差约为 11.69。

这种方法什么时候只是近似值

该公式假设区间围绕估计值对称，并且是基于正态分布构建的。有两种情况会打破这个假设。

小样本常常使用 t 分布而不是正态分布。t 分布的临界值更大，所以用 Z 计算会略微低估标准差。随着样本量增大，这个差距会缩小，在样本量大约超过 30 时差距已经很小。

比值比或风险比这类比率的置信区间，是在对数尺度上对称的，而不是在原始尺度上对称。这些边界必须先用对数换算，然后才能使用这个公式。

如果点估计值不在区间的中点，计算器会把该区间标记为不对称，此时结果应视为估计值。

常见问题

标准误和标准差有什么区别？

标准差描述的是单个数值的离散程度。标准误描述的是均值估计的精确程度。两者的关系是 SE = σ / √n，所以标准误会随样本量增大而缩小，但标准差不会。

为什么要除以 2Z 而不是 Z？

区间的整个宽度覆盖了估计值两侧。误差范围只是宽度的一半，所以要用半宽除以 Z，这等同于用整个宽度除以 2Z。

这个方法能用于基于 t 分布的区间吗？

可以，但要用自由度为 n − 1 的 t 临界值代替 Z。在小样本上使用 Z 会使标准差的估计值偏低。

如果只给出了误差范围怎么办？

把它乘以 2 得到宽度，然后按照同样的步骤计算。

点估计值会影响结果吗？

不会。只有宽度、置信水平和样本量会进入公式。点估计值只是用来检查区间是否对称。