二项分布计算器

什么是二项分布计算器？

二项分布计算器用于计算：在固定次数的独立试验中，当每次试验成功的概率相同，恰好获得指定成功次数的概率。它用于统计学、质量控制、医学以及研究重复性“是或否”事件的各个领域。

其基本概念是二项分布：一种用于统计重复试验中成功次数的概率模型，每次试验只有两种结果，通常称为成功和失败。

二项分布公式

在 n 次试验中恰好获得 k 次成功的概率为：

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

各符号的含义如下：

n — 试验次数。
k — 用于计算概率的成功次数。
p — 单次试验成功的概率，介于 0 和 1 之间。
$\binom{n}{k}$ — 二项式系数，即从 n 次试验中选出 k 次成功的不同方法数。其值为 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 。

每次试验必须相互独立，即一次试验的结果不会改变另一次试验的概率，并且所有试验中的成功概率 p 必须保持不变。只有两种可能结果的单次试验（例如抛一次硬币）称为伯努利试验。将 n 次伯努利试验的结果相加，就得到二项分布。

如何计算二项概率

写下 n、k 和 p。
计算二项式系数 $\binom{n}{k}$ ，即在 n 次试验中安排 k 次成功的方法数。
将 p 提升到 k 次方。
将 (1 − p) 提升到 (n − k) 次方。
将三个数相乘。

本页的计算器会自动完成这些步骤。输入 n、p 和 k 后，它会返回 P(X = k)，并显示从 0 次成功到 n 次成功的所有可能结果的概率柱状图。

计算示例

示例 1：抛硬币

抛一枚公平硬币 10 次。恰好得到 3 次正面的概率是多少？

n = 10，p = 0.5，k = 3
$\binom{10}{3} = 120$
$0.5^3 = 0.125$
$0.5^{7} = 0.0078125$
结果：120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172，即约为 11.72%

示例 2：质量控制

一家工厂检查 100 件产品。每件产品有 2% 的概率存在缺陷。100 件产品均无缺陷的概率是多少？

n = 100，p = 0.02，k = 0
由于 k = 0，公式可简化为 $(1-p)^n = 0.98^{100}$
结果：≈ 0.1326，即约为 13.26%

示例 3：疾病检测

某城市对 1,000 人进行某种疾病检测，该疾病感染人口的比例为 0.1%（p = 0.001）。在这 1,000 人中，恰好有 5 人感染的概率是多少？

n = 1000，p = 0.001，k = 5
$\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
$0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
$0.999^{995} \approx 0.3695$
结果：8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305，即约为 0.30%（精确值为 0.0030488，即 0.30488%）

均值和方差

对于参数为 n 和 p 的二项分布：

均值（期望值）： E(X) = np
方差： Var(X) = np(1 − p)
标准差： σ = √[np(1 − p)]

均值表示多次重复试验中预期的平均成功次数。在示例 1 中，均值为 10 × 0.5 = 5 次正面。

计算器接受哪些输入

n 必须是 1 或更大的整数。输入小数时，会四舍五入到最接近的试验整数，因此 10.9 会按 11 处理。
p 必须介于 0 和 1 之间，包括两个端点。
k 必须是 0 或更大的整数，且不能大于 n。在 5 次试验中获得 8 次成功是不可能的，因此计算器会报告错误，而不是给出数值。

如果任何输入框为空，计算器不会猜测数值，而是显示无结果且无图表。

二项分布的适用条件

只有在以下四个条件全部满足时，才适合使用二项分布：

试验次数 n 预先固定。
每次试验只有两种结果：成功或失败。
每次试验成功的概率 p 相同。
各次试验相互独立。

从一副牌中不放回地抽牌会破坏独立性条件，因为移除一张牌会改变下一次抽牌的概率。这种情况应改用超几何分布。

常见问题