حاسبة معدل الانتشار | أداة قانون جراهام المجانية

ما هي حاسبة معدل التسرّب؟

تحسب حاسبة معدل التسرّب مدى سرعة تسرّب غاز ما عبر ثقب صغير جدًا مقارنةً بغاز آخر. وتستخدم قانون غراهام للتسرّب، الذي يربط سرعة إفلات الغاز بكتلته المولية ودرجة حرارته. ويحدث التسرّب حين تمر جزيئات الغاز واحدًا تلو الآخر عبر فتحة صغيرة إلى حد أن الجزيئات لا تتصادم فيما بينها أثناء مرورها.

صيغة قانون غراهام للتسرّب

يقارن قانون غراهام بين معدلي التسرّب لغازين، هما الغاز 1 والغاز 2:

$\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ وRate₂ هما معدلا التسرّب للغاز 1 والغاز 2.
• M₁ وM₂ هما الكتلتان المولّيتان للغاز 1 والغاز 2، بوحدة غرام لكل مول (g/mol).
• T₁ وT₂ هما درجتا الحرارة المطلقتان للغاز 1 والغاز 2، بوحدة كلفن (K).

تعني النتيجة الأكبر من 1 أن الغاز 1 يتسرّب أسرع من الغاز 2. وتعني النتيجة الأصغر من 1 أن الغاز 2 هو الأسرع. وتعني النتيجة التي تساوي 1 تمامًا أن الغازين يتسرّبان بالمعدل نفسه.

يعتمد معدل التسرّب على عدد مرات اصطدام الجزيئات بالثقب، وهو ما يتوقف على كثافتها وسرعتها. وتعطي النظرية الحركية عدد الجزيئات التي تصطدم بوحدة المساحة من الجدار في الثانية على أنه ربع الكثافة العددية مضروبًا في متوسط سرعة الجزيئات، ومتوسط السرعة هو √(8RT/πM). ولا يغيّر حد درجة الحرارة في هذه الصيغة سوى السرعة. ولذلك تفترض الصيغة أن للغازين العدد نفسه من الجزيئات في وحدة الحجم. ولا ينطبق هذا الافتراض على غازين عند الضغط نفسه ودرجتي حرارة مختلفتين، لأن الغاز الأسخن أقل كثافة.

لماذا تصح الصيغة

تأتي الصيغة من النظرية الحركية للغازات. فجميع الغازات عند درجة الحرارة نفسها لها متوسط الطاقة الحركية نفسه، ½mv² = (3/2)kT، حيث m كتلة الجزيء الواحد، وv متوسط سرعته، وk ثابت بولتزمان، وT درجة الحرارة المطلقة. وبحل المعادلة لإيجاد السرعة نحصل على v = √(3kT/m). فالجزيء الأخف يجب أن يتحرك أسرع من الجزيء الأثقل ليحتفظ بالطاقة الحركية نفسها. وبما أن معدل التسرّب يزداد بزيادة سرعة الجزيئات، وتتناسب الكتلة المولية مع كتلة الجزيء، فإن قسمة سرعة الغاز 1 على سرعة الغاز 2 تعطي الصيغة الواردة أعلاه.

حالتان أبسط

• درجة الحرارة نفسها. إذا كانت T₁ تساوي T₂، فإن حدّي درجة الحرارة يختصران وتصبح الصيغة Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). وتكون الكتلتان المولّيتان وحدهما المهمتين. وهذه هي صيغة قانون غراهام المعتادة، لغازين عند درجة الحرارة والضغط نفسيهما.
• الكتلة المولية نفسها. إذا كانت M₁ تساوي M₂، فإن الصيغة تصبح Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). وتكون درجتا الحرارة وحدهما المهمتين.

كيفية استخدام حاسبة معدل التسرّب

1. أدخل الكتلة المولية ودرجة حرارة الغاز 1.
2. أدخل الكتلة المولية ودرجة حرارة الغاز 2.
3. اقرأ معدل التسرّب النسبي. فهو يبيّن كم مرة يتسرّب الغاز 1 أسرع من الغاز 2.

يجب أن تكون الكتلة المولية ودرجة الحرارة كلتاهما عددين موجبين. ويجب إدخال درجة الحرارة بالكلفن، لا بالدرجة المئوية ولا بالفهرنهايت، لأن الصيغة تعتمد على درجة الحرارة المطلقة.

الكتل المولية الشائعة للغازات

أمثلة محلولة

المثال 1: الهيليوم مقابل الميثان عند درجة الحرارة نفسها

للهيليوم (He) كتلة مولية قدرها 4.00 غرام/mol. وللميثان (CH₄) كتلة مولية قدرها 16.04 غرام/mol. وكلاهما عند 298 K.

$\frac{\text{Rate}_{He}}{\text{Rate}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

يتسرّب الهيليوم أسرع بنحو 2.00 مرة من الميثان.

المثال 2: الهيدروجين مقابل الأكسجين عند درجتي حرارة مختلفتين

للهيدروجين (H₂) كتلة مولية قدرها 2.02 غرام/mol ودرجة حرارة 400 K. وللأكسجين (O₂) كتلة مولية قدرها 32.00 غرام/mol ودرجة حرارة 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Rate}_{H_2}}{\text{Rate}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

يتسرّب الهيدروجين عند 400 K أسرع بنحو 4.60 مرة من الأكسجين عند 300 K. أما تقريب كل جذر تربيعي إلى منزلتين عشريتين قبل الضرب، كما تفعل بعض الأمثلة المحلولة على الإنترنت، فيعطي 3.98 × 1.15 = 4.58، وهي نتيجة أقل قليلًا من الصحيحة. ويتجنب الاحتفاظ بمنازل عشرية أكثر حتى الخطوة الأخيرة هذا الخطأ.

تطبيقات قانون غراهام

• فصل النظائر. استخدم مشروع مانهاتن الانتشار الغازي لسداسي فلوريد اليورانيوم لفصل اليورانيوم-235 عن اليورانيوم-238. ويكوّن النظيران غاز سداسي فلوريد اليورانيوم بكتلتين مولّيتين مختلفتين اختلافًا طفيفًا، فيتسرّبان بمعدلين مختلفين اختلافًا طفيفًا.
• الكشف عن التسرّبات. الهيليوم غاز تتبّع شائع للعثور على التسرّبات في أنظمة التفريغ والأوعية المضغوطة، لأن كتلته المولية المنخفضة تتيح له التسرّب بسرعة عبر الثقوب الصغيرة.
• فصل الغازات بالأغشية. تعتمد الأغشية الصناعية التي تنقّي خلائط الغازات أو تفصلها جزئيًا على اختلاف معدلات تسرّب الغازات المكوّنة لها.

التاريخ

قاس الكيميائي الاسكتلندي توماس غراهام سرعة إفلات الغازات المختلفة عبر فتحات صغيرة. ووجد أن معدل التسرّب يتناسب تناسبًا عكسيًا مع الجذر التربيعي للكتلة المولية للغاز. وقد ساعدت نتائجه لاحقًا في دعم النظرية الحركية للغازات، التي طوّرها جيمس كلارك ماكسويل ولودفيغ بولتزمان.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين التسرّب والانتشار؟ التسرّب هو إفلات جزيئات الغاز عبر ثقب صغير إلى الفراغ أو إلى منطقة ذات ضغط أقل، حيث يكون الثقب أصغر من متوسط المسافة التي يقطعها الجزيء بين تصادمين. أما الانتشار فهو تفرّق جزيئات الغاز عبر غاز آخر أو وسط آخر بفعل اختلاف التركيز، وتتصادم فيه الجزيئات مع بعضها.

لماذا يجب أن تكون درجة الحرارة بالكلفن؟ الطاقة الحركية لجزيئات الغاز تتناسب مع درجة الحرارة المطلقة. ولا يبدأ مقياسا الدرجة المئوية والفهرنهايت من الصفر المطلق، ولذلك فإن استخدامهما يعطي نسبة خاطئة.

هل يؤثر الضغط في معدل التسرّب النسبي؟ إذا كان الغازان عند درجة الحرارة والضغط نفسيهما، فإن الضغط يُختصر من النسبة. وحين تختلف درجتا الحرارة، يفترض حد درجة الحرارة في الحاسبة أن للغازين الكثافة الجزيئية نفسها، لا الضغط نفسه.

هل يمكن لقانون غراهام إيجاد الكتلة المولية لغاز مجهول؟ نعم. إذا قيس معدل تسرّب غاز مجهول مقارنةً بغاز معلوم الكتلة المولية، فيمكن إعادة ترتيب الصيغة:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Rate}_{known}}{\text{Rate}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

هل ينطبق قانون غراهام على السوائل؟ لا. فهو ينطبق على الغازات فقط. فجزيئات السوائل متراصة بصورة أقرب بكثير، وتتفاعل فيما بينها بقوة أكبر بكثير، ولذلك لا تصف الصيغة نفسها كيفية مرور السوائل عبر الفتحات الصغيرة.

كم يزداد تسرّب الغاز إذا تضاعفت درجة حرارته؟ يتناسب معدل التسرّب مع الجذر التربيعي لدرجة الحرارة المطلقة. ومضاعفة درجة الحرارة تضرب المعدل في √2، أي نحو 1.41، إذا بقيت الكتلة المولية والكثافة الجزيئية كما هما.

المراجع

1. OpenStax. Chemistry 2e، القسم 9.4. Effusion and Diffusion of Gases — قانون غراهام، المعدل ∝ 1/√ℳ للغازات عند درجة الحرارة والضغط نفسيهما؛ والانتشار الغازي لسداسي فلوريد اليورانيوم UF₆ في مشروع مانهاتن.
2. Eames, E. V. (City College of San Francisco), via LibreTexts. General Chemistry Supplement: Diffusion and Effusion. Diffusion and Effusion — يعتمد معدل التسرّب على عدد مرات اصطدام الجسيمات بالثقب، وهو ما يتوقف على كثافتها وسرعتها.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Chemistry WebBook: Helium. Helium — الوزن الجزيئي 4.002602.
4. National Institute of Standards and Technology. NIST Chemistry WebBook: Methane. Methane — الوزن الجزيئي 16.0425.
5. LibreTexts. Physical Chemistry، القسم 27.4. The Frequency of Collisions with a Wall — تدفق التصادم بالجدار z_w = ¼ (N/V)⟨v⟩ حيث ⟨v⟩ = (8RT/πM)^½؛ وهو أساس افتراض تساوي الكثافة العددية الكامن وراء حد درجة الحرارة.