حاسبة التوزيع البواسوني - حساب احتمالات الأحداث

ما هي حاسبة توزيع بواسون؟

تحسب حاسبة توزيع بواسون احتمال حدوث عدد معين من الأحداث خلال فترة زمنية أو مكانية ثابتة، بناءً على متوسط معدل حدوث هذه الأحداث. تُستخدم عندما تحدث الأحداث واحدًا تلو الآخر، باستقلال بعضها عن بعض، وبمعدل متوسط ثابت. ومن أمثلتها عدد المكالمات التي يتلقاها مركز اتصال خلال ساعة، أو عدد الأخطاء المطبعية في صفحة.

صيغة توزيع بواسون

يعطي توزيع بواسون احتمال حدوث k من الأحداث بالضبط عندما يكون المعدل المتوسط هو λ (حرف لامدا اليوناني):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

يعني كل رمز ما يلي:

• λ (لامدا) — متوسط عدد الأحداث لكل فترة. وهو المعلمة الوحيدة للتوزيع.
• k — العدد الدقيق للأحداث الذي يُحسَب احتماله. ويجب أن يكون عددًا صحيحًا، 0 أو أكبر.
• e — عدد أويلر، وهو ثابت يساوي تقريبًا 2.71828.
• k! — «مضروب k»، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى k. على سبيل المثال، 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. وبحسب الاصطلاح، 0! = 1.

تحتاج الصيغة إلى λ وk فقط. ولا تحتاج إلى عدد إجمالي من التجارب، بخلاف التوزيع ذي الحدين.

كيفية حساب احتمال بواسون

1. اختر λ، أي متوسط عدد الأحداث في الفترة قيد الدراسة.
2. اختر k، أي العدد الدقيق للأحداث المطلوب حساب احتماله.
3. ارفع e إلى قوة −λ، فينتج e^(−λ).
4. ارفع λ إلى قوة k، فينتج λ^k.
5. أوجد k!، أي مضروب k.
6. اضرب ناتجي الخطوتين 3 و4، ثم اقسم الناتج على نتيجة الخطوة 5.

العدد الناتج هو احتمال بين 0 و1. اضربه في 100 للتعبير عنه كنسبة مئوية.

مثال محلول

يتلقى مركز اتصال متوسط 5 مكالمات في الساعة (λ = 5). ما احتمال أن يتلقى بالضبط 3 مكالمات في ساعة معينة (k = 3)؟

1. e^(−5) ≈ 0.006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. اضرب: 0.006738 × 125 ≈ 0.842243
5. اقسم على 6: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

احتمال تلقي 3 مكالمات بالضبط في تلك الساعة يساوي نحو 0.140، أو 14%.

أمثلة أخرى

استخدامات توزيع بواسون

يصمم توزيع بواسون أعداد الأحداث النادرة المستقلة. ومن استخداماته الشائعة:

• مراكز الاتصال وخدمة العملاء: التنبؤ بعدد المكالمات أو المحادثات الواردة في الساعة.
• التصنيع: تقدير عدد العيوب في دفعة من المنتجات.
• التأمين: تقدير عدد المطالبات التي سترد خلال فترة معينة.
• علم الأحياء والطب: نمذجة أعداد الطفرات أو انتشار الأمراض النادرة.
• الفيزياء: وصف التحلل الإشعاعي، حيث تتحلل كل ذرة بشكل مستقل وبمعدل متوسط ثابت.
• هندسة المرور والشبكات: تقدير وصول المركبات إلى تقاطع أو وصول الطلبات إلى خادم.

شروط استخدام توزيع بواسون

لا يلائم توزيع بواسون الحالة إلا إذا تحققت جميع الشروط الآتية:

• تحدث الأحداث واحدًا تلو الآخر؛ فلا يمكن أن يحدث حدثان في اللحظة نفسها تمامًا.
• تحدث الأحداث باستقلالية — فلا يجعل أحد الأحداث الحدث التالي أكثر أو أقل احتمالًا.
• يظل المعدل المتوسط، λ، ثابتًا خلال الفترة قيد الدراسة.

إذا تغير المعدل بمرور الوقت أو كانت الأحداث تميل إلى التكتل، فلن يصف توزيع بواسون البسيط البيانات جيدًا.

توزيع بواسون والتوزيعات ذات الصلة

• التوزيع ذي الحدين: يُستخدم عندما يكون عدد التجارب ثابتًا ويكون احتمال النجاح في كل تجربة معلومًا، مثل رمي قطعة نقدية 20 مرة. ويتحول التوزيع ذي الحدين إلى توزيع بواسون عندما يزداد عدد التجارب كثيرًا جدًا وينخفض احتمال النجاح في كل تجربة مقتربًا من الصفر، بينما يظل حاصل ضربهما قريبًا من λ.
• التوزيع الطبيعي: عندما تكون λ كبيرة، أي أكبر تقريبًا من 20، يبدو توزيع بواسون قريبًا من توزيع طبيعي جرسي الشكل بمتوسط λ وتباين λ.
• التوزيع الأسي: بينما يحسب توزيع بواسون عدد الأحداث التي تحدث خلال فترة ثابتة، يصف التوزيع الأسي زمن الانتظار بين تلك الأحداث.

لمحة عن التاريخ

قدّم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دوني بواسون هذا التوزيع في 1837، في كتاب عن تطبيق الاحتمالات على أحكام المحاكم. ولم يحظَ باهتمام كبير في البداية. ثم ازداد استخدامه في أوائل القرن الـ20، بعد أن طبقه إحصائيون مثل لاديسلاوس بورتكيفيتش ورونالد فيشر على بيانات العد الفعلية، بما في ذلك دراسة شهيرة لجنود بروسيين قُتلوا بركلات الخيول.

الأسئلة الشائعة

ماذا تعني لامدا (λ) في توزيع بواسون؟ لامدا هي متوسط عدد الأحداث المتوقع حدوثها خلال الفترة قيد الدراسة. وهي أيضًا تباين التوزيع، ولذلك تعني قيمة λ الأكبر متوسط عدد أعلى وتشتتًا أكبر في النتائج المحتملة.

هل يمكن أن تكون k أو λ سالبة أو كسرية؟ يجب أن تكون λ أكبر من 0، لكنها قد تكون عددًا عشريًا، مثل 2.5 حدث في الساعة. ويجب أن تكون k عددًا صحيحًا من 0 أو أكثر، لأنها تعد أحداثًا فعلية؛ ولا يمكن أن تكون سالبة أو كسرية.

كيف يختلف توزيع بواسون عن التوزيع ذي الحدين؟ يحتاج التوزيع ذي الحدين إلى عدد ثابت من التجارب واحتمال نجاح ثابت لكل تجربة. أما توزيع بواسون فلا يحتاج إلا إلى معدل متوسط، ويصلح للأحداث التي يمكن، من حيث المبدأ، أن تحدث أي عدد من المرات.

متى ينبغي استخدام التوزيع الطبيعي بدلًا منه؟ عندما تكون λ كبيرة، وعادةً أكبر من نحو 20، يقرّب توزيع طبيعي له المتوسط والتباين نفسيهما توزيع بواسون بدرجة كبيرة، وغالبًا ما يكون التعامل معه يدويًا أسهل.

لماذا تعرض الحاسبة أحيانًا عددًا بالصيغة العلمية؟ تُعرض النتائج عادةً حتى ست منازل عشرية. وعندما يكون الاحتمال أصغر من 0.0001، فإن تقريبه إلى ست منازل عشرية سيجعله 0.000000 ويخفي مدى صغره الحقيقي، لذلك تنتقل الحاسبة إلى الصيغة العلمية بدلًا من ذلك. عند λ = 20 وk = 1 تعرض الحاسبة 4.122307e-8، أي 0.00000004122307.

هل توجد حدود للقيم التي تقبلها الحاسبة؟ نعم. يجب أن تكون λ أكبر من 0 ولا تتجاوز 700، ويجب أن تكون k عددًا صحيحًا من 0 إلى 1000. وخارج هذه الحدود تعرض الحاسبة رسالة خطأ. وتُبقي الحدود النتيجة ضمن نطاق الأعداد التي يستطيع الحاسوب تخزينها، كما تُبقي المخطط ضمن عدد مقروء من الأعمدة.

هل يسمح توزيع بواسون بحدوث أكثر من حدث واحد في الوقت نفسه؟ لا. يفترض النموذج أن الأحداث تحدث واحدًا تلو الآخر. وإذا حدث حدثان معًا بصورة منتظمة، فإن توزيعًا مختلفًا سيلائم البيانات بصورة أفضل.

المراجع

1. بواسون، سيميون دوني. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. باريس، 1837.
2. هايت، فرانك أ. Handbook of the Poisson Distribution. نيويورك: John Wiley & Sons، 1967.
3. "Poisson Distribution." الدليل الإلكتروني للطرق الإحصائية NIST/SEMATECH، القسم 1.3.6.6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. جونسون، نورمان ل.، وأدريان و. كيمب، وصمويل كوتز. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons، 2005.