حاسبة التوزيع البواسوني - حساب احتمالات الأحداث

ما هي حاسبة توزيع بواسون؟

تحسب حاسبة توزيع بواسون احتمال حدوث عدد معين من الأحداث خلال فترة زمنية أو مكانية ثابتة، بناءً على متوسط معدل حدوث هذه الأحداث. تُستخدم عندما تحدث الأحداث واحدًا تلو الآخر، باستقلال بعضها عن بعض، وبمعدل متوسط ثابت. ومن أمثلتها عدد المكالمات التي يتلقاها مركز اتصال خلال ساعة، أو عدد الأخطاء المطبعية في صفحة.

صيغة توزيع بواسون

يعطي توزيع بواسون احتمال حدوث k من الأحداث بالضبط عندما يكون متوسط عدد الأحداث في الفترة λ (الحرف اليوناني لامدا). ودالة الكتلة الاحتمالية له هي:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

يعني كل رمز ما يلي:

• λ (لامدا) — متوسط عدد الأحداث في كل فترة. وهذا هو المُدخل الوحيد الذي يحتاج إليه التوزيع.
• k — العدد الدقيق للأحداث الذي يُحسَب احتماله. ويجب أن يكون عددًا صحيحًا، 0 أو أكبر.
• e — عدد أويلر، وهو ثابت يساوي تقريبًا 2.71828.
• k! — «مضروب k»، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى k. على سبيل المثال، 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. وبحسب الاصطلاح، 0! = 1.

تحتاج الصيغة إلى λ وk فقط. ولا تحتاج إلى عدد إجمالي من المحاولات، بخلاف التوزيع ذي الحدين.

كيفية حساب احتمال بواسون

1. اختر λ، أي متوسط عدد الأحداث في الفترة قيد الدراسة.
2. اختر k، أي العدد الدقيق للأحداث المطلوب حساب احتماله.
3. ارفع e إلى قوة −λ، فينتج e^(−λ).
4. ارفع λ إلى قوة k، فينتج λ^k.
5. أوجد k!، أي مضروب k.
6. اضرب ناتجي الخطوتين 3 و4، ثم اقسم الناتج على نتيجة الخطوة 5.

العدد الناتج هو احتمال بين 0 و1. اضربه في 100 للتعبير عنه كنسبة مئوية.

مثال تطبيقي

يتلقى مركز اتصال متوسط 5 مكالمات في الساعة (λ = 5). ما احتمال أن يتلقى بالضبط 3 مكالمات في ساعة معينة (k = 3)؟

1. e^(−5) ≈ 0.00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. اضرب: 0.00673795 × 125 ≈ 0.842244
5. اقسم على 6: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

احتمال تلقي 3 مكالمات بالضبط في تلك الساعة يساوي نحو 0.140، أو 14%.

أمثلة أخرى

استخدامات توزيع بواسون

يصمم توزيع بواسون أعداد الأحداث النادرة المستقلة. ومن استخداماته الشائعة:

• مراكز الاتصال وخدمة العملاء: التنبؤ بعدد المكالمات أو المحادثات الواردة في الساعة.
• التصنيع: تقدير عدد العيوب في دفعة من المنتجات.
• التأمين: تقدير عدد المطالبات التي سترد خلال فترة معينة.
• علم الأحياء والطب: نمذجة أعداد الطفرات أو انتشار الأمراض النادرة.
• الفيزياء: وصف التحلل الإشعاعي، حيث تتحلل كل ذرة بشكل مستقل وبمعدل متوسط ثابت.
• هندسة المرور والشبكات: تقدير وصول المركبات إلى تقاطع أو وصول الطلبات إلى خادم.

شروط استخدام توزيع بواسون

لا يلائم توزيع بواسون الحالة إلا إذا تحققت جميع الشروط الآتية:

• تحدث الأحداث واحدًا تلو الآخر؛ فلا يمكن أن يحدث حدثان في اللحظة نفسها تمامًا.
• تحدث الأحداث باستقلالية — فلا يجعل أحد الأحداث الحدث التالي أكثر أو أقل احتمالًا.
• يظل المعدل المتوسط، λ، ثابتًا خلال الفترة قيد الدراسة.

إذا تغير المعدل بمرور الوقت أو كانت الأحداث تميل إلى التكتل، فلن يصف توزيع بواسون البسيط البيانات جيدًا.

توزيع بواسون والتوزيعات ذات الصلة

• التوزيع ذو الحدين: يُستخدم عندما يكون عدد المحاولات ثابتًا واحتمال النجاح في كل منها معروفًا، مثل رمي عملة معدنية 20 مرة. ويناسب توزيع بواسون الحالة التي يكون فيها احتمال وقوع الحدث في كل محاولة صغيرًا جدًا بينما عدد المحاولات كبير جدًا. وحاصل ضرب عدد المحاولات في الاحتمال لكل محاولة يؤدي عندئذ دور λ.
• التوزيع الطبيعي: عندما تكون λ كبيرة، يقترب توزيع بواسون من التوزيع الطبيعي ذي الشكل الجرسي الذي متوسطه λ وتباينه λ.
• التوزيع الأسي: بينما يحسب توزيع بواسون عدد الأحداث التي تحدث خلال فترة ثابتة، يصف التوزيع الأسي زمن الانتظار بين تلك الأحداث.

لمحة عن التاريخ

قدّم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دوني بواسون هذا التوزيع عام 1837، في كتاب عن تطبيق الاحتمالات على أحكام المحاكم. ولم يلق العمل اهتمامًا يُذكر في ذلك الوقت. وفي عام 1898 نشر لادِسلاوس بورتكيفيتش كتاب قانون الأعداد الصغيرة. وقد بيّن أن الأحداث النادرة في مجتمع كبير تتبع توزيع بواسون، مستخدمًا عدد الجنود البروسيين الذين قُتلوا بركلات الخيول في كل سنة.

الأسئلة الشائعة

ماذا تعني لامدا (λ) في توزيع بواسون؟ لامدا هي متوسط عدد الأحداث المتوقع في الفترة المدروسة. وهي أيضًا تباين التوزيع، لأن الانحراف المعياري يساوي √λ، ولذلك تعني λ الأكبر متوسط عدد أكبر وتشتتًا أكبر في النتائج الممكنة.

هل يمكن أن تكون k أو λ سالبة أو كسرية؟ يجب أن تكون λ أكبر من 0، لكنها قد تكون عددًا عشريًا، مثل 2.5 حدث في الساعة. أما k فيجب أن تكون عددًا صحيحًا يساوي 0 أو أكبر، لأنها تعدّ أحداثًا فعلية؛ فلا يمكن أن تكون سالبة أو كسرية. كما تحدّ الحاسبة λ عند 700 وk عند 1,000 للحفاظ على ثبات النتائج عدديًا.

كيف يختلف توزيع بواسون عن التوزيع ذي الحدين؟ يحتاج التوزيع ذو الحدين إلى عدد ثابت من المحاولات واحتمال نجاح ثابت لكل محاولة. أما توزيع بواسون فلا يحتاج إلا إلى معدل متوسط، ويصلح للأحداث التي يمكن، من حيث المبدأ، أن تحدث أي عدد من المرات.

متى يُستخدم التوزيع الطبيعي بدلًا من ذلك؟ عندما تكون λ كبيرة، يقرّب توزيع طبيعي له المتوسط والتباين نفسهما توزيع بواسون تقريبًا جيدًا، وغالبًا ما يكون أسهل في الحساب اليدوي.

لماذا تعرض الحاسبة أحيانًا رقمًا بالصيغة العلمية؟ عندما يقل الاحتمال عن 0.0001، تنتقل الحاسبة إلى الصيغة العلمية بست منازل عشرية (مثل 1.000000e-7). أما النتائج الأكبر فتُعرض بست منازل عشرية. ولو عُرض الناتج بست منازل ثابتة لظهرت النتائج الصغيرة جدًا على شكل 0.000000 ولاختفى مدى صغرها.

هل يسمح توزيع بواسون بحدوث أكثر من حدث واحد في الوقت نفسه؟ لا. يفترض النموذج أن الأحداث تحدث واحدًا تلو الآخر. وإذا حدث حدثان معًا بصورة منتظمة، فإن توزيعًا مختلفًا سيلائم البيانات بصورة أفضل.

المراجع

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution. NIST: توزيع بواسون — دالة الكتلة الاحتمالية، والمتوسط λ، والانحراف المعياري √λ.
2. MacTutor لتاريخ الرياضيات، جامعة سانت أندروز. Siméon-Denis Poisson. MacTutor: بواسون — يظهر التوزيع أول مرة في عام 1837 في كتاب Recherches؛ احتمال صغير، وعدد كبير من المحاولات؛ ولم يلق اهتمامًا يُذكر في ذلك الوقت.
3. MacTutor لتاريخ الرياضيات، جامعة سانت أندروز. Ladislaus Bortkiewicz. MacTutor: بورتكيفيتش — The Law of Small Numbers (1898) وبيانات ركلات الخيول البروسية.