حاسبة التوزيع اللابلاسي - أداة PDF والتصور المجانية

ما هو توزيع لابلاس؟

توزيع لابلاس، ويُسمّى أيضًا التوزيع الأُسّي المزدوج، هو توزيع احتمالي مستمر يأخذ شكل منحنيين أُسّيين ملتصقين ظهرًا بظهر عند قمتهما. وهو متماثل حول قيمة مركزية، وله ذيول أثقل من التوزيع الطبيعي، ولذلك يُسنِد احتمالًا أكبر إلى القيم المتطرفة. وتُحدّد حاسبة توزيع لابلاس في هذه الصفحة كثافة الاحتمال القصوى للتوزيع انطلاقًا من معلمة الموقع ومعلمة القياس، وترسم منحنى الكثافة كاملًا.

سُمّي التوزيع نسبةً إلى بيير-سيمون لابلاس، عالم الرياضيات الفرنسي الذي وصفه أول مرة في 1774.

صيغة توزيع لابلاس

دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتوزيع لابلاس هي:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x هي أي نقطة على خط الأعداد.
• μ (مو)، وهي معلمة الموقع، تمثل مركز التوزيع. وهي أيضًا المتوسط والوسيط.
• b، وهي معلمة القياس، تتحكم في مدى تشتت التوزيع. ويجب أن تكون أكبر من 0.
• |x − μ| هي المسافة بين x والمركز، مع تجاهل الاتجاه.

يبلغ المنحنى أعلى نقطة له تمامًا عند x = μ. وعند تلك النقطة، تُبسَّط الصيغة لأن |μ − μ| = 0 و exp(0) = 1، فنحصل على:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

هذه القيمة القصوى، 1/(2b)، هي العدد الذي تعرضه الحاسبة.

كيفية استخدام حاسبة توزيع لابلاس

1. أدخل معلمة الموقع (μ). يحدد ذلك موضع تمركز التوزيع.
2. أدخل معلمة القياس (b). يجب أن تكون هذه قيمة موجبة؛ فكلما زادت القيمة، أصبح المنحنى أكثر تسطحًا وانتشارًا.
3. تعرض الحاسبة كثافة القمة، 1/(2b)، وترسم منحنى الكثافة f(x) من μ − 4b إلى μ + 4b. ويمثل المحور الرأسي للرسم كثافة الاحتمال، ويمكن تنزيل المنحنى في صورة جدول لقيم x وf(x).

لا تتطلب الحاسبة إدخال قيمة منفصلة لـ x. فهي تعرض دائمًا الكثافة عند قمة التوزيع نفسها، x = μ، لأن ذلك هو العدد الموجز الأكثر فائدة لمقارنة التوزيعات ذات مقاييس مختلفة. ولإيجاد الكثافة عند نقطة أخرى، استخدم الصيغة أعلاه مع قيمة x المطلوبة، أو اقرأ الارتفاع من الرسم البياني.

مثال محلول

لنأخذ موقعًا μ = 4 ومقياسًا b = 2.

1. تحقق من أن b موجبة: 2 > 0، ولذلك فإن المدخلات صالحة.
2. تقع القمة عند x = μ = 4، حيث |x − μ| = 0.
3. احسب كثافة القمة: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0.25.

تعرض الحاسبة 0.250000. وتبلغ القمة في المنحنى المرسوم النقطة (4، 0.25)، ثم ينخفض المنحنى بشكل متماثل على الجانبين، ممتدًا من μ − 4b إلى μ + 4b، أي من −4 إلى 12 في هذه الحالة.

بما أن صيغة كثافة القمة، 1/(2b)، لا تتضمن μ، فإن تغيير الموقع لا يؤدي إلا إلى إزاحة المنحنى إلى اليسار أو اليمين. ولا يغير ذلك ارتفاعه. ومعلمة القياس وحدها هي التي تغير الارتفاع.

أمثلة أخرى

المتوسط والتباين والانحراف المعياري

لتوزيع لابلاس ذي الموقع μ والمقياس b:

• المتوسط = μ
• الوسيط = μ
• التباين = 2b²
• الانحراف المعياري = b√2

توزيع لابلاس في مقابل التوزيع الطبيعي

كلا التوزيعين متماثل وجرسي الشكل، وكلاهما يُوصف بالكامل بمعلمة للمركز وأخرى للانتشار. ويكمن الاختلاف في الذيول. ففي التوزيع الطبيعي، تتناقص الكثافة مع مربع المسافة من المتوسط، ولذلك تصبح القيم المتطرفة نادرة جدًا بسرعة. أما في توزيع لابلاس، فتتناقص الكثافة مع المسافة نفسها، ولذلك تظل القيم المتطرفة أكثر احتمالًا نسبيًا. وهذا يجعل توزيع لابلاس مفيدًا كلما احتوت البيانات الحقيقية على قيم شاذة أكثر مما يتنبأ به التوزيع الطبيعي.

الاستخدامات الشائعة

• معالجة الإشارات والصور: نمذجة الضوضاء وضغط الصور، لأن الفروق بين وحدات البكسل أو الإشارات غالبًا ما تتجمع قرب الصفر مع حدوث قفزات كبيرة أحيانًا.
• الخصوصية التفاضلية: تضيف آلية لابلاس ضوضاء موزعة وفق توزيع لابلاس إلى نتائج الاستعلامات لحماية البيانات الفردية مع الحفاظ على الدقة العامة.
• الإحصاء والانحدار المتينان: يستخدم انحدار لاسو توزيعًا قبليًا على شكل لابلاس، مما يفضل الحلول التي تكون فيها معاملات كثيرة مساوية للصفر تمامًا.
• التمويل: نمذجة عوائد الأصول، التي تميل إلى امتلاك ذيول أثقل مما يوحي به التوزيع الطبيعي.
• علم الزلازل: يظهر في نماذج أنماط مقادير الزلازل المرتبطة بقانون غوتنبرغ-ريختر.

الأسئلة الشائعة

ماذا تعني نتيجة الحاسبة؟

إنها قيمة القمة، أو القيمة العظمى، لدالة كثافة الاحتمال، وتساوي 1/(2b). وهي ارتفاع المنحنى عند مركزه، x = μ.

لماذا لا تطلب الحاسبة قيمة لـ x؟

تكون كثافة القمة، 1/(2b)، نفسها عند كل قيمة x تساوي μ، ولذلك لا يلزم إدخال قيمة منفصلة لـ x لإيجادها. وهذا هو العدد المعياري المفرد المستخدم لمقارنة مدى ارتفاع وضيق توزيعي لابلاس، أو انخفاض واتساعهما. أما المنحنى الكامل، الذي يوضح الكثافة عند كل قيمة x، فمتاح في الرسم البياني.

كيف أجد الكثافة عند نقطة غير القمة؟

استخدم الصيغة $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ مع قيمة x المطلوبة، أو اقرأ الارتفاع مباشرةً من المنحنى المرسوم.

كيف يختلف توزيع لابلاس عن التوزيع الأُسّي؟

يمكن بناء توزيع لابلاس من توزيعين أُسّيين. فإذا كان X وY متغيرين عشوائيين أُسّيين مستقلين لهما المعدل نفسه، فإن X − Y يتبع توزيع لابلاس متمركزًا عند 0.

ما الاستخدامات المعتادة لتوزيع لابلاس؟

يُستخدم في معالجة الإشارات، وضغط الصور، والخصوصية التفاضلية، والإحصاء المتين، وانحدار لاسو، ونمذجة العوائد المالية ومقادير الزلازل، حيثما تُظهر البيانات الحقيقية قيمًا متطرفة أكثر مما يتنبأ به التوزيع الطبيعي.

هل يمكن أن يكون توزيع لابلاس سالبًا، أم أنه مخصص للقيم الموجبة فقط؟

يُعرَّف لجميع الأعداد الحقيقية، الموجبة والسالبة على حد سواء، بخلاف التوزيع الأُسّي الذي لا يأخذ إلا قيمًا غير سالبة.

المراجع

1. كوتز، س.، وكوزوبوفسكي، ت.، وبوغورسكي، ك. (2001). توزيع لابلاس والتعميمات. بيركهاوزر، بوسطن، ماساتشوستس.
2. "Laplace distribution." ويكيبيديا، مؤسسة ويكيميديا. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution