آلة حاسبة لتوزيع لابلاس

مقدمة

توزيع لابلاس، المعروف أيضًا بتوزيع الأسي المزدوج، هو توزيع احتمالي مستمر سُمّي على اسم بيير-سيمون لابلاس. إنه متماثل حول متوسطه (معامل الموقع) وله ذيول أثقل مقارنة بالتوزيع الطبيعي. تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حساب دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) لتوزيع لابلاس للمعلمات المعطاة وتصور شكلها.

كيفية استخدام هذه الآلة الحاسبة

1. أدخل معامل الموقع (μ)، الذي يمثل متوسط التوزيع.
2. أدخل معامل المقياس (b)، الذي يحدد انتشار التوزيع (b > 0).
3. ستعرض الآلة الحاسبة قيمة دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) عند x = 0 وتظهر رسمًا بيانيًا للتوزيع.

ملاحظة: يجب أن يكون معامل المقياس إيجابيًا بشكل صارم (b > 0).

الصيغة

تُعطى دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) لتوزيع لابلاس بواسطة:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

حيث:

• x هو المتغير
• μ (مو) هو معامل الموقع
• b هو معامل المقياس (b > 0)

الحساب

تستخدم الآلة الحاسبة هذه الصيغة لحساب قيمة PDF عند x = 0 بناءً على إدخال المستخدم. إليك شرح خطوة بخطوة:

1. تحقق من صحة المدخلات: تأكد من أن معامل المقياس b إيجابي.
2. احسب |x - μ|: في هذه الحالة، هي ببساطة |0 - μ| = |μ|.
3. احسب الحد الأسي: $\exp(-|μ| / b)$
4. احسب النتيجة النهائية: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

حالات الحافة التي يجب مراعاتها:

• إذا كانت b ≤ 0، عرض رسالة خطأ.
• بالنسبة لقيم |μ| الكبيرة جدًا أو b الصغيرة جدًا، قد تكون النتيجة قريبة جدًا من الصفر.
• بالنسبة لـ μ = 0، ستصل PDF إلى قيمتها القصوى 1/(2b) عند x = 0.

حالات الاستخدام

لدى توزيع لابلاس تطبيقات متنوعة في مجالات مختلفة:

1. معالجة الإشارات: يُستخدم في نمذجة وتحليل إشارات الصوت والصورة.

2. المالية: يُطبق في نمذجة العوائد المالية وتقييم المخاطر.

3. تعلم الآلة: يُستخدم في آلية لابلاس للخصوصية التفاضلية وفي بعض نماذج الاستدلال بايزي.

4. معالجة اللغة الطبيعية: يُطبق في نماذج اللغة ومهام تصنيف النصوص.

5. الجيولوجيا: يُستخدم في نمذجة توزيع أحجام الزلازل (قانون غوتنبرغ-ريختر).

البدائل

بينما يعتبر توزيع لابلاس مفيدًا في العديد من السيناريوهات، هناك توزيعات احتمالية أخرى قد تكون أكثر ملاءمة في بعض الحالات:

1. التوزيع الطبيعي (غاوسي): يُستخدم بشكل أكثر شيوعًا لنمذجة الظواهر الطبيعية وأخطاء القياس.

2. توزيع كوشي: له ذيول أثقل من توزيع لابلاس، مفيد لنمذجة البيانات المعرضة للقيم الشاذة.

3. التوزيع الأسي: يُستخدم لنمذجة الوقت بين الأحداث في عملية بواسون.

4. توزيع t لستودنت: يُستخدم غالبًا في اختبار الفرضيات ونمذجة العوائد المالية.

5. التوزيع اللوجستي: مشابه في الشكل للتوزيع الطبيعي ولكنه ذو ذيول أثقل.

التاريخ

تم تقديم توزيع لابلاس من قبل بيير-سيمون لابلاس في مذكرته عام 1774 "حول احتمال أسباب الأحداث". ومع ذلك، اكتسب التوزيع مزيدًا من البروز في أوائل القرن العشرين مع تطوير الإحصاءات الرياضية.

المعالم الرئيسية في تاريخ توزيع لابلاس:

1. 1774: بيير-سيمون لابلاس يقدم التوزيع في عمله حول نظرية الاحتمالات.
2. ثلاثينيات القرن العشرين: يُعاد اكتشاف التوزيع ويُطبق في مجالات مختلفة، بما في ذلك الاقتصاد والهندسة.
3. ستينيات القرن العشرين: يكتسب توزيع لابلاس أهمية في الإحصاءات القوية كبديل للتوزيع الطبيعي.
4. من التسعينيات إلى الحاضر: زيادة الاستخدام في تعلم الآلة، معالجة الإشارات، ونمذجة المالية.

أمثلة

إليك بعض الأمثلة البرمجية لحساب PDF لتوزيع لابلاس:

1' دالة Excel VBA لتوزيع لابلاس PDF
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' الاستخدام:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("يجب أن يكون معامل المقياس إيجابيًا")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## مثال على الاستخدام:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"قيمة PDF عند x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("يجب أن يكون معامل المقياس إيجابيًا");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// مثال على الاستخدام:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`قيمة PDF عند x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("يجب أن يكون معامل المقياس إيجابيًا");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("قيمة PDF عند x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

توضح هذه الأمثلة كيفية حساب PDF لتوزيع لابلاس للمعلمات المعطاة. يمكنك تعديل هذه الوظائف لتناسب احتياجاتك الخاصة أو دمجها في أنظمة تحليل إحصائي أكبر.

أمثلة عددية

1. توزيع لابلاس القياسي:

   • الموقع (μ) = 0
   • المقياس (b) = 1
   • PDF عند x = 0: 0.500000

2. توزيع لابلاس المنقول:

   • الموقع (μ) = 2
   • المقياس (b) = 1
   • PDF عند x = 0: 0.183940

3. توزيع لابلاس المقياس:

   • الموقع (μ) = 0
   • المقياس (b) = 3
   • PDF عند x = 0: 0.166667

4. توزيع لابلاس المنقول والمقياس:

   • الموقع (μ) = -1
   • المقياس (b) = 0.5
   • PDF عند x = 0: 0.367879

المراجع

1. كوتز، س.، كوزوبوفسكي، ت.، وبودغورسكي، ك. (2001). توزيع لابلاس والتعميمات. بيركهوزر، بوسطن، ماساتشوستس.
2. كينز، ج. م. (1911). المتوسطات الرئيسية وقوانين الخطأ التي تؤدي إليها. مجلة الجمعية الملكية للإحصاء، 74(3)، 322-331.
3. بينغ، ل.، وشي، إكس. (2019). آلية لابلاس في الخصوصية التفاضلية. الوصول إلى IEEE، 7، 39891-39900.
4. نورتون، م. ب.، وكارزوب، د. ج. (2003). أساسيات تحليل الضوضاء والاهتزاز للمهندسين. مطبعة جامعة كامبريدج.
5. "توزيع لابلاس." ويكيبيديا، مؤسسة ويكيميديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. تم الوصول إليه في 2 أغسطس 2024.