حاسبة توزيع غاما

مقدمة

توزيع غاما هو توزيع احتمالي مستمر يُستخدم على نطاق واسع في مجالات مختلفة من العلوم والهندسة والمالية. يتميز بمعاملين: معامل الشكل (k أو α) ومعامل المقياس (θ أو β). تتيح لك هذه الحاسبة حساب خصائص مختلفة لتوزيع غاما بناءً على هذه المعاملات المدخلة.

الصيغة

دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتوزيع غاما تُعطى بواسطة:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

حيث:

• x > 0 هو المتغير العشوائي
• k > 0 هو معامل الشكل
• θ > 0 هو معامل المقياس
• Γ(k) هي دالة غاما

دالة التوزيع التراكمي (CDF) هي:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

حيث γ(k, x/θ) هي دالة غاما غير المكتملة السفلية.

تشمل الخصائص الرئيسية لتوزيع غاما:

1. المتوسط: $E[X] = k\theta$
2. التباين: $Var[X] = k\theta^2$
3. الانحراف: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. الكورتوس: $3 + \frac{6}{k}$

كيفية استخدام هذه الحاسبة

1. أدخل معامل الشكل (k أو α)
2. أدخل معامل المقياس (θ أو β)
3. انقر على "احسب" لحساب خصائص مختلفة لتوزيع غاما
4. ستظهر النتائج المتوسط، التباين، الانحراف، الكورتوس، ومعلومات أخرى ذات صلة
5. سيتم عرض تصور لدالة كثافة الاحتمال

الحساب

تستخدم الحاسبة الصيغ المذكورة أعلاه لحساب خصائص مختلفة لتوزيع غاما. إليك شرح خطوة بخطوة:

1. تحقق من صحة المعاملات المدخلة (يجب أن تكون كل من k و θ موجبة)
2. احسب المتوسط: $k\theta$
3. احسب التباين: $k\theta^2$
4. احسب الانحراف: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. احسب الكورتوس: $3 + \frac{6}{k}$
6. احسب الوضع: $(k-1)\theta$ عندما يكون k ≥ 1، وإلا 0
7. أنشئ نقاطًا لمنحنى PDF باستخدام الصيغة المعطاة أعلاه
8. ارسم منحنى PDF

اعتبارات عددية

عند تنفيذ حسابات توزيع غاما، يجب أخذ عدة اعتبارات عددية في الاعتبار:

1. بالنسبة لمعاملات الشكل الصغيرة جدًا (k < 1)، يمكن أن تقترب PDF من اللانهاية عندما تقترب x من 0، مما قد يسبب عدم استقرار عددي.
2. بالنسبة لمعاملات الشكل الكبيرة، يمكن أن تصبح دالة غاما Γ(k) كبيرة جدًا، مما قد يؤدي إلى تجاوز السعة. في مثل هذه الحالات، يُنصح بالعمل مع لوغاريتم دالة غاما.
3. عند حساب CDF، غالبًا ما يكون من الأكثر استقرارًا عدديًا استخدام خوارزميات متخصصة لدالة غاما غير المكتملة بدلاً من التكامل المباشر لـ PDF.
4. بالنسبة للقيم المتطرفة للمعاملات، قد يكون من الضروري استخدام حساب دقيق موسع للحفاظ على الدقة.

حالات الاستخدام

لدى توزيع غاما العديد من التطبيقات عبر مجالات مختلفة:

1. المالية: نمذجة توزيعات الدخل، ومبالغ مطالبات التأمين، وعوائد الأصول
2. الأرصاد الجوية: تحليل أنماط هطول الأمطار وغيرها من الظواهر المتعلقة بالطقس
3. الهندسة: تحليل الموثوقية ونمذجة أوقات الفشل
4. الفيزياء: وصف أوقات الانتظار بين أحداث التحلل الإشعاعي
5. علم الأحياء: نمذجة وفرة الأنواع ومستويات التعبير الجيني
6. بحوث العمليات: نظرية الطوابير وإدارة المخزون

البدائل

بينما يُعتبر توزيع غاما متعدد الاستخدامات، هناك توزيعات ذات صلة قد تكون أكثر ملاءمة في بعض الحالات:

1. توزيع أسي: حالة خاصة من توزيع غاما عندما k = 1
2. توزيع كاي-مربع: حالة خاصة من توزيع غاما مع k = n/2 و θ = 2
3. توزيع ويبول: غالبًا ما يُستخدم كبديل في تحليل الموثوقية
4. توزيع لوغاريتمي طبيعي: خيار شائع آخر لنمذجة البيانات الموجبة المنحرفة

تقدير المعاملات

عند العمل مع بيانات العالم الحقيقي، غالبًا ما يكون من الضروري تقدير معاملات توزيع غاما. تشمل الطرق الشائعة:

1. طريقة اللحظات: معادلة لحظات العينة مع اللحظات النظرية
2. تقدير الاحتمالية العظمى (MLE): العثور على المعاملات التي تعظم احتمال ملاحظة البيانات
3. التقدير البايزي: دمج المعرفة السابقة حول المعاملات

اختبار الفرضيات

يمكن استخدام توزيع غاما في اختبارات فرضيات مختلفة، بما في ذلك:

1. اختبارات جودة المطابقة لتحديد ما إذا كانت البيانات تتبع توزيع غاما
2. اختبارات لمساواة معاملات المقياس بين توزيعين غاما
3. اختبارات لمساواة معاملات الشكل بين توزيعين غاما

التاريخ

يمتلك توزيع غاما تاريخًا غنيًا في الرياضيات والإحصاء:

• القرن الثامن عشر: قدم ليونهارد أويلر دالة غاما، التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بتوزيع غاما
• 1836: استخدم سيميون دينيس بواسون حالة خاصة من توزيع غاما في عمله على نظرية الاحتمالات
• عشرينيات القرن الماضي: جعل رونالد فيشر استخدام توزيع غاما شائعًا في التحليل الإحصائي
• منتصف القرن العشرين: أصبح توزيع غاما مستخدمًا على نطاق واسع في هندسة الموثوقية واختبار الحياة
• أواخر القرن العشرين حتى الحاضر: جعلت التقدم في قوة الحوسبة من الأسهل العمل مع توزيعات غاما في تطبيقات مختلفة

أمثلة

إليك بعض الأمثلة البرمجية لحساب خصائص توزيع غاما:

1' دالة Excel VBA لتوزيع غاما PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' الاستخدام:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'توزيع غاما (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('كثافة الاحتمال')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## مثال للاستخدام:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## حساب الخصائص
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"المتوسط: {mean}")
29print(f"التباين: {variance}")
30print(f"الانحراف: {skewness}")
31print(f"الكورتوس: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`المتوسط: ${mean}`);
19    console.log(`التباين: ${variance}`);
20    console.log(`الانحراف: ${skewness}`);
21    console.log(`الكورتوس: ${kurtosis}`);
22}
23
24// مثال للاستخدام:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// رسم PDF (باستخدام مكتبة رسم افتراضية)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

توضح هذه الأمثلة كيفية حساب خصائص توزيع غاما وتصوير دالة كثافة الاحتمال باستخدام لغات برمجة مختلفة. يمكنك تعديل هذه الدوال لتناسب احتياجاتك الخاصة أو دمجها في أنظمة تحليل إحصائي أكبر.

المراجع

1. "توزيع غاما." ويكيبيديا، مؤسسة ويكيميديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. تم الوصول إليه في 2 أغسطس 2024.
2. جونسن، ن. ل.، كوتز، س.، & بالاكريشنان، ن. (1994). توزيعات مستمرة أحادية المتغير، المجلد 1 (المجلد 1). جون وايلي وأولاده.
3. فوربس، س.، إيفانز، م.، هاستينغز، ن.، & بيكوك، ب. (2011). توزيعات إحصائية. جون وايلي وأولاده.
4. ثوم، هـ. ج. س. (1958). ملاحظة حول توزيع غاما. مراجعة الطقس الشهرية، 86(4)، 117-122.
5. ستايسي، إ. و. (1962). تعميم توزيع غاما. إحصائيات الرياضيات، 33(3)، 1187-1192.