حاسبة التوزيع الجاما - أداة التحليل الإحصائي

ما حاسبة توزيع غاما؟

تحسب حاسبة توزيع غاما المتوسط والتباين والالتواء والتفرطح والمنوال لتوزيع غاما انطلاقًا من مُدخلين: معلمة الشكل ومعلمة المقياس. كما ترسم دالة كثافة الاحتمال للتوزيع على هيئة منحنى.

ما توزيع غاما؟

توزيع غاما توزيع احتمالي متصل للقيم الموجبة. ويُعرَّف بمعلمتين: معلمة الشكل، وتُكتب عادةً k، ومعلمة المقياس، وتُكتب عادةً θ (ثيتا). ويجب أن تكون كلتاهما أكبر من الصفر. ويُستخدم توزيع غاما لنمذجة الكميات التي لا يمكن أن تكون سالبة، مثل إجمالي هطول الأمطار، وأحجام مطالبات التأمين، والزمن حتى تعطل أحد أجزاء الآلة.

صيغة توزيع غاما

دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتوزيع غاما هي:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

هنا x هي القيمة التي تُقاس عندها الكثافة، وΓ(k) هي دالة غاما، وهي تعميم للمضروب على الأعداد غير الصحيحة. وتصح الصيغة فقط عندما x > 0؛ وتساوي الكثافة صفرًا في كل موضع آخر.

كيفية حساب خصائص توزيع غاما

انطلاقًا من معلمة الشكل k ومعلمة المقياس θ، تحسب الحاسبة ما يلي:

• المتوسط: k × θ
• التباين: k × θ²
• الالتواء: 2 / √k
• التفرطح: 3 + 6 / k
• المنوال: (k − 1) × θ عندما k ≥ 1، وإلا فيساوي 0

يقيس الالتواء مدى عدم تماثل المنحنى. وتؤدي قيمة k الأصغر إلى ذيل أيمن أطول. ويقيس التفرطح مدى ثقل الذيول مقارنةً بالتوزيع الطبيعي، الذي يبلغ تفرطحه 3. والمنوال هو قيمة x التي يبلغ عندها المنحنى ذروته. وعندما تكون k أقل من 1، تواصل الكثافة الارتفاع كلما اقتربت x من 0، فلا توجد ذروة داخلية، وتعرض الحاسبة منوالًا قدره 0.

مثال محلول

لنفترض معلمة شكل k = 2 ومعلمة مقياس θ = 3.

• المتوسط = 2 × 3 = 6
• التباين = 2 × 3² = 18
• الالتواء = 2 / √2 ≈ 1.4142
• التفرطح = 3 + 6 / 2 = 6
• المنوال = (2 − 1) × 3 = 3

عند المنوال، حيث x = 3، تساوي الكثافة f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0.3679) / 9 ≈ 0.1226. وترسم الحاسبة المنحنى كاملًا تلقائيًا بمجرد إدخال المعلمتين.

كيفية استخدام حاسبة توزيع غاما

1. أدخل معلمة الشكل (k)، وهي عدد موجب.
2. أدخل معلمة المقياس (θ)، وهي عدد موجب.
3. يظهر المتوسط والتباين والالتواء والتفرطح والمنوال بمجرد أن يحتوي الحقلان على أعداد صالحة. ولا يوجد زر حساب منفصل؛ إذ تتحدث النتائج تلقائيًا أثناء إدخال الأعداد.
4. يعرض الرسم البياني أسفل النتائج دالة كثافة الاحتمال على مدى من قيم x.

يجب أن تكون المعلمتان كلتاهما عددين موجبين ومحدودين. وتقبل الأداة قيمًا تصل إلى 1000 لكل معلمة.

مجالات استخدام توزيع غاما

يمثّل توزيع غاما كثيرًا من الكميات الواقعية التي تكون موجبة دائمًا وغالبًا ما تميل إلى اليمين:

• التأمين: أحجام المطالبات ومبالغ التعويضات
• الأرصاد الجوية: إجمالي هطول الأمطار خلال فترة محددة
• الهندسة: الزمن حتى تعطل أحد المكونات
• نظرية الصفوف: أزمنة الانتظار المكوّنة من عدة خطوات أسية
• الأحياء: مستويات التعبير الجيني وبيانات أعداد الأنواع

التوزيعات ذات الصلة

هناك توزيعان معروفان هما حالتان خاصتان من توزيع غاما:

• التوزيع الأسي: توزيع غاما عندما k = 1
• توزيع مربع كاي: توزيع غاما عندما k = n/2 وθ = 2، حيث n هي درجات الحرية

يُعدّ توزيعا ويبل واللوغاريتمي الطبيعي بديلين شائعين لنمذجة البيانات الموجبة الملتوية.

الأسئلة الشائعة

فيمَ يُستخدم توزيع غاما؟ يمثّل الكميات المتصلة الموجبة، مثل أزمنة الانتظار وكميات الأمطار ومطالبات التأمين، خاصةً عندما تميل البيانات نحو القيم الكبيرة.

كيف يُحسب متوسط توزيع غاما؟ اضرب معلمة الشكل في معلمة المقياس: المتوسط = k × θ. وعندما k = 2 وθ = 3، يكون المتوسط 6.

ما الفرق بين معلمة الشكل ومعلمة المقياس؟ تتحكم معلمة الشكل (k) في هيئة المنحنى، بما في ذلك التواؤه. أما معلمة المقياس (θ) فتمدّ المنحنى أو تضغطه على امتداد المحور x من دون تغيير شكله الأساسي.

ما علاقة توزيع غاما بالتوزيع الأسي؟ التوزيع الأسي هو توزيع غاما بمعلمة شكل k = 1.

هل يمكن أن يأخذ توزيع غاما قيمًا سالبة؟ لا. فهو معرَّف فقط عندما x > 0. أما البيانات التي قد تكون سالبة فتحتاج إلى توزيع مختلف، مثل التوزيع الطبيعي.

هل تحسب هذه الحاسبة دالة التوزيع التراكمي؟ لا. إنها تحسب المتوسط والتباين والالتواء والتفرطح والمنوال، وترسم دالة كثافة الاحتمال. ولا تعرض قيم الاحتمال التراكمي.

المراجع

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.11 Gamma Distribution. Gamma distribution — دالة كثافة الاحتمال لغاما، والالتواء 2/√γ، والتفرطح 3 + 6/γ، والمنوال γ − 1 عندما γ ≥ 1 (الصيغة القياسية).