حاسبة التوزيع الجاما - أداة التحليل الإحصائي
احسب خصائص التوزيع الجاما باستخدام معلمات الشكل والمقياس. احصل على دالة الكثافة الاحتمالية، دالة التوزيع التراكمي، المتوسط، التباين، الالتواء والتفرطح بشكل فوري للتحليل الإحصائي.
حاسبة التوزيع جاما
التوثيق
ما هي حاسبة توزيع غاما؟
تحسب حاسبة توزيع غاما الوسط الحسابي والتباين والالتواء والتفلطح والمنوال لتوزيع غاما اعتمادًا على مدخلين: معامل الشكل ومعامل المقياس. كما ترسم دالة كثافة الاحتمال للتوزيع على شكل منحنى.
ما هو توزيع غاما؟
توزيع غاما هو توزيع احتمالي متصل للقيم الموجبة. يُعرَّف بمعاملين: معامل شكل، يُكتب عادةً بالرمز k، ومعامل مقياس، يُكتب عادةً بالرمز θ (ثيتا). ويجب أن يكون كلاهما أكبر من صفر. يُستخدم توزيع غاما لنمذجة الكميات التي لا يمكن أن تكون سالبة، مثل إجمالي كميات الأمطار، وأحجام مطالبات التأمين، والوقت حتى يتعطل أحد أجزاء الآلة.
معادلة توزيع غاما
دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتوزيع غاما هي:
f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))
هنا x هي القيمة التي تُقاس عندها الكثافة، وΓ(k) هي دالة غاما، وهي تعميم لدالة المضروب على الأعداد غير الصحيحة. لا تصح هذه المعادلة إلا عندما x > 0؛ وتكون الكثافة صفرًا في أي مكان آخر.
كيفية حساب خصائص توزيع غاما
انطلاقًا من معامل الشكل k ومعامل المقياس θ، تحسب الحاسبة:
- الوسط الحسابي: k × θ
- التباين: k × θ²
- الالتواء: 2 / √k
- التفلطح: 3 + 6 / k
- المنوال: (k − 1) × θ عندما k ≥ 1، وإلا فيكون 0
يقيس الالتواء مدى عدم تناظر المنحنى. كلما صغُر k، طال الذيل الأيمن للمنحنى. ويقيس التفلطح مدى ثقل الذيلين مقارنةً بالتوزيع الطبيعي، الذي تفلطحه يساوي 3. والمنوال هو قيمة x التي يبلغ عندها المنحنى ذروته. عندما يكون k أقل من 1، تستمر الكثافة في الارتفاع كلما اقترب x من 0، فلا توجد ذروة داخلية، وتُظهر الحاسبة منوالًا يساوي 0.
مثال محلول
خذ معامل شكل k = 2 ومعامل مقياس θ = 3.
- الوسط الحسابي = 2 × 3 = 6
- التباين = 2 × 3² = 18
- الالتواء = 2 / √2 ≈ 1.4142
- التفلطح = 3 + 6 / 2 = 6
- المنوال = (2 − 1) × 3 = 3
عند المنوال، حيث x = 3، تكون الكثافة f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0.3679) / 9 ≈ 0.1226. ترسم الحاسبة المنحنى الكامل تلقائيًا بمجرد إدخال كلا المعاملين.
كيفية استخدام حاسبة توزيع غاما
- أدخل معامل الشكل (k)، وهو رقم موجب.
- أدخل معامل المقياس (θ)، وهو رقم موجب.
- تظهر قيم الوسط الحسابي والتباين والالتواء والتفلطح والمنوال بمجرد أن يحمل الحقلان كلاهما رقمين صالحين. لا يوجد زر حساب منفصل؛ تتحدّث النتائج فور إدخال الأرقام.
- يعرض الرسم البياني أسفل النتائج دالة كثافة الاحتمال. يُرسم من نقطة أعلى من x = 0 بقليل إلى أكبر القيمتين التاليتين: ثلاثة أضعاف الوسط الحسابي، أو خمسة أضعاف معامل المقياس.
يجب أن يكون كلا المعاملين رقمين محدودين أكبر من 0، ولا يجوز أن يتجاوز أي منهما 1000. كما تُرفض القيم الأصغر من نحو 2 × 10⁻¹⁶، لأن الأرقام الملخصة تفقد معناها عند هذا الحجم. وأي قيمة خارج النطاق المقبول تُنتج رسالة خطأ بدلًا من النتائج.
أين يُستخدم توزيع غاما
يُستخدم توزيع غاما لنمذجة كثير من الكميات الواقعية التي تكون موجبة دائمًا وغالبًا ما تكون ملتوية نحو اليمين:
- التأمين: أحجام المطالبات ومبالغ التعويضات
- الأرصاد الجوية: إجمالي كميات الأمطار خلال فترة محددة
- الهندسة: الوقت حتى يتعطل أحد المكونات
- نظرية الطوابير: أوقات الانتظار المكوّنة من عدة خطوات أسّية
- علم الأحياء: مستويات التعبير الجيني وبيانات عدد الأنواع
توزيعات ذات صلة
هناك توزيعان معروفان يُعدّان حالتين خاصتين من توزيع غاما:
- التوزيع الأسي: توزيع غاما عندما k = 1
- توزيع كاي تربيع: توزيع غاما عندما k = n/2 وθ = 2، حيث n هي درجات الحرية
يُعدّ توزيعا ويبل واللوغاريتمي الطبيعي بديلين شائعين لنمذجة البيانات الموجبة والملتوية.
الأسئلة الشائعة
فيمَ يُستخدم توزيع غاما؟ يُستخدم لنمذجة الكميات المتصلة والموجبة مثل أوقات الانتظار وكميات الأمطار ومطالبات التأمين، خاصةً عندما تميل البيانات نحو القيم الكبيرة.
كيف تجد الوسط الحسابي لتوزيع غاما؟ اضرب معامل الشكل في معامل المقياس: الوسط الحسابي = k × θ. عندما k = 2 وθ = 3، يكون الوسط الحسابي 6.
ما الفرق بين معامل الشكل ومعامل المقياس؟ يتحكم معامل الشكل (k) في هيئة المنحنى، بما في ذلك التوائه. أما معامل المقياس (θ) فيمدد المنحنى أو يضغطه على طول محور x دون تغيير شكله الأساسي.
كيف يرتبط توزيع غاما بالتوزيع الأسي؟ التوزيع الأسي هو توزيع غاما بمعامل شكل k = 1.
هل يمكن أن يأخذ توزيع غاما قيمًا سالبة؟ لا. فهو مُعرَّف فقط عندما x > 0. أما البيانات التي يمكن أن تكون سالبة فتحتاج إلى توزيع مختلف، مثل التوزيع الطبيعي.
هل تحسب هذه الحاسبة دالة التوزيع التراكمي؟ لا. فهي تحسب الوسط الحسابي والتباين والالتواء والتفلطح والمنوال، وترسم دالة كثافة الاحتمال. ولا تُخرج قيم الاحتمال التراكمي.
المراجع
- "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
- Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.