حاسبة توزيع ثنائي الحدين

مقدمة

توزيع ثنائي الحدين هو توزيع احتمالي منفصل يصف عدد النجاحات في عدد ثابت من تجارب برنولي المستقلة. يستخدم على نطاق واسع في مجالات مختلفة، بما في ذلك الإحصاء، نظرية الاحتمالات، وعلوم البيانات. تتيح لك هذه الحاسبة حساب الاحتمالات لتوزيعات ثنائي الحدين بناءً على المعلمات المقدمة من قبل المستخدم.

الصيغة

دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ثنائي الحدين تُعطى بواسطة:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

حيث:

• n هو عدد التجارب
• k هو عدد النجاحات
• p هو احتمال النجاح في كل تجربة
• $\binom{n}{k}$ هو معامل ثنائي الحدين، يُحسب كـ $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

كيفية استخدام هذه الحاسبة

1. أدخل عدد التجارب (n)
2. أدخل احتمال النجاح لكل تجربة (p)
3. أدخل عدد النجاحات (k)
4. انقر على زر "احسب" للحصول على الاحتمال
5. سيتم عرض النتيجة كاحتمال عشري

الحساب

تستخدم الحاسبة صيغة احتمال ثنائي الحدين لحساب الاحتمال بناءً على إدخال المستخدم. إليك شرح خطوة بخطوة للحساب:

1. حساب معامل ثنائي الحدين $\binom{n}{k}$
2. حساب $p^k$
3. حساب $(1-p)^{n-k}$
4. ضرب النتائج من الخطوات 1 و2 و3

تقوم الحاسبة بإجراء هذه الحسابات باستخدام حساب النقطة العائمة بدقة مزدوجة لضمان الدقة.

التحقق من صحة الإدخال

تقوم الحاسبة بإجراء الفحوصات التالية على إدخالات المستخدم:

• يجب أن يكون n عددًا صحيحًا موجبًا
• يجب أن يكون p عددًا بين 0 و 1 (شامل)
• يجب أن يكون k عددًا صحيحًا غير سالب لا يتجاوز n

إذا تم اكتشاف إدخالات غير صالحة، سيتم عرض رسالة خطأ، ولن يتم المضي قدمًا في الحساب حتى يتم تصحيحها.

حالات الاستخدام

لدى حاسبة توزيع ثنائي الحدين تطبيقات متنوعة عبر مجالات مختلفة:

1. مراقبة الجودة: تقدير احتمال وجود عناصر معيبة في دفعة إنتاج.
2. الطب: حساب احتمال نجاح العلاج في التجارب السريرية.
3. المالية: نمذجة احتمال تحركات أسعار الأسهم.
4. تحليلات الرياضة: توقع عدد المحاولات الناجحة في سلسلة من اللعبات.
5. علم الأوبئة: تقدير احتمال انتشار المرض في السكان.

البدائل

بينما يُستخدم توزيع ثنائي الحدين على نطاق واسع، هناك توزيعات ذات صلة قد تكون أكثر ملاءمة في بعض الحالات:

1. توزيع بواسون: عندما يكون n كبيرًا جدًا و p صغيرًا جدًا، يمكن أن يكون توزيع بواسون تقريبًا جيدًا.
2. التقريب الطبيعي: لتوزيع ثنائي الحدين الكبير، يمكن تقريبه بتوزيع طبيعي.
3. توزيع ثنائي سالب: عندما تكون مهتمًا بعدد التجارب المطلوبة لتحقيق عدد معين من النجاحات.
4. توزيع هايبرجيومتري: عندما يتم السحب بدون استبدال من مجموعة محدودة.

التاريخ

تعود جذور توزيع ثنائي الحدين إلى أعمال يعقوب برنولي، التي نُشرت بعد وفاته في كتابه "فن التخمين" في عام 1713. درس برنولي خصائص التجارب الثنائية الحدين واشتق قانون الأعداد الكبيرة لتوزيعات ثنائي الحدين.

في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، طور علماء الرياضيات مثل أبراهام دي مويفر، بيير-سيمون لابلاس، وسيميون دينيس بواسون نظرية توزيع ثنائي الحدين وتطبيقاته. كانت أعمال دي مويفر حول تقريب توزيع ثنائي الحدين بالتوزيع الطبيعي مهمة بشكل خاص.

اليوم، لا يزال توزيع ثنائي الحدين مفهومًا أساسيًا في نظرية الاحتمالات والإحصاء، حيث يلعب دورًا حيويًا في اختبار الفرضيات، فواصل الثقة، وتطبيقات متنوعة عبر تخصصات متعددة.

أمثلة

إليك بعض أمثلة الشيفرة لحساب احتمالات ثنائي الحدين:

1' دالة Excel VBA للاحتمال الثنائي الحدين
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' الاستخدام:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## مثال للاستخدام:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probability = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"الاحتمال: {probability:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// مثال للاستخدام:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probability = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`الاحتمال: ${probability.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probability = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("الاحتمال: %.6f%n", probability);
18    }
19}
20

توضح هذه الأمثلة كيفية حساب احتمالات ثنائي الحدين باستخدام لغات برمجة مختلفة. يمكنك تعديل هذه الدوال لتناسب احتياجاتك الخاصة أو دمجها في أنظمة تحليل إحصائي أكبر.

أمثلة عددية

1. رميات العملات:

   • n = 10 (رميات)
   • p = 0.5 (عملة عادلة)
   • k = 3 (وجه)
   • الاحتمال ≈ 0.1172

2. مراقبة الجودة:

   • n = 100 (عناصر تم فحصها)
   • p = 0.02 (احتمال العيب)
   • k = 0 (لا عيوب)
   • الاحتمال ≈ 0.1326

3. علم الأوبئة:

   • n = 1000 (حجم السكان)
   • p = 0.001 (معدل العدوى)
   • k = 5 (أفراد مصابين)
   • الاحتمال ≈ 0.0003

الحالات الحدية والاعتبارات

1. n كبير: عندما يكون n كبيرًا جدًا (مثل n > 1000)، تصبح كفاءة الحساب مصدر قلق. في مثل هذه الحالات، قد تكون التقريبات مثل التوزيع الطبيعي أكثر عملية.

2. قيم p المتطرفة: عندما يكون p قريبًا جدًا من 0 أو 1، قد تظهر مشاكل دقة عددية. قد تحتاج إلى معالجة خاصة لضمان نتائج دقيقة.

3. k = 0 أو k = n: يمكن حساب هذه الحالات بشكل أكثر كفاءة دون استخدام حساب معامل ثنائي الحدين الكامل.

4. الاحتمالات التراكمية: غالبًا ما يكون المستخدمون مهتمين بالاحتمالات التراكمية (P(X ≤ k) أو P(X ≥ k)). يمكن توسيع الحاسبة لتوفير هذه الحسابات.

5. التصور: يمكن أن يساعد إضافة تمثيل بصري لتوزيع ثنائي الحدين (مثل رسم دالة الكتلة الاحتمالية) المستخدمين في تفسير النتائج بشكل أكثر حداثة.

العلاقة بالتوزيعات الأخرى

1. التقريب الطبيعي: بالنسبة لـ n الكبير، يمكن تقريب توزيع ثنائي الحدين بتوزيع طبيعي بمتوسط np وتباين np(1-p).

2. التقريب بواسون: عندما يكون n كبيرًا و p صغيرًا، بحيث أن np معتدل، يمكن أن يقارب توزيع بواسون توزيع ثنائي الحدين.

3. توزيع برنولي: يعد توزيع ثنائي الحدين مجموعًا لتجارب برنولي المستقلة.

الافتراضات والقيود

1. عدد ثابت من التجارب (n)
2. احتمال ثابت للنجاح (p) لكل تجربة
3. استقلال التجارب
4. نتيجتان محتملتان فقط لكل تجربة (نجاح أو فشل)

فهم هذه الافتراضات أمر حيوي لتطبيق نموذج توزيع ثنائي الحدين بشكل صحيح على المشاكل الواقعية.

تفسير النتائج

عند تفسير نتائج توزيع ثنائي الحدين، ضع في اعتبارك:

1. القيمة المتوقعة: E(X) = np
2. التباين: Var(X) = np(1-p)
3. الانحراف: بالنسبة لـ p ≠ 0.5، يكون التوزيع منحرفًا؛ يصبح أكثر تماثلًا مع زيادة n
4. احتمال النتائج الدقيقة مقابل النطاقات: غالبًا ما تكون النطاقات (مثل P(X ≤ k)) أكثر إفادة من الاحتمالات الدقيقة

من خلال تقديم هذه المعلومات الشاملة، يمكن للمستخدمين فهم وتطبيق توزيع ثنائي الحدين بشكل أفضل على مشاكلهم المحددة.

المراجع

1. "توزيع ثنائي الحدين." ويكيبيديا، مؤسسة ويكيميديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. تم الوصول إليه في 2 أغسطس 2024.
2. روس، شيلدون م. "مقدمة في نماذج الاحتمالات." أكاديميك برس، 2014.
3. جونسون، نورمان ل.، وآخرون. "التوزيعات المنفصلة." سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء، 2005.