حاسبة التوزيع الثنائي الحدود - أداة احتمالات مجانية

ما حاسبة التوزيع ذي الحدين؟

تحسب حاسبة التوزيع ذي الحدين احتمال الحصول على عدد محدد تمامًا من النجاحات في عدد ثابت من التجارب المستقلة، عندما يكون لكل تجربة الاحتمال نفسه للنجاح. وتُستخدم في الإحصاء، وضبط الجودة، والطب، وأي مجال يدرس الأحداث المتكررة ذات النتيجتين: نعم أو لا.

الفكرة الأساسية هي التوزيع ذي الحدين، وهو نموذج احتمالي لعدّ النجاحات في تجارب متكررة لا تملك كل واحدة منها سوى نتيجتين، تُسمّيان عادةً النجاح والفشل.

صيغة التوزيع ذي الحدين

احتمال الحصول على k نجاحات بالضبط في n تجارب هو:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

يعني كل رمز ما يلي:

• n — عدد التجارب.
• k — عدد النجاحات المطلوب حساب احتمالها.
• p — احتمال النجاح في تجربة واحدة، وهو عدد بين 0 و1.
• $\binom{n}{k}$ — معامل ذي الحدين، أي عدد الطرق المختلفة لاختيار k نجاحات من بين n تجارب. ويساوي $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

يجب أن تكون كل تجربة مستقلة، أي إن نتيجة تجربة ما لا تغيّر احتمال نتيجة تجربة أخرى، كما يجب أن يظل احتمال النجاح p ثابتًا في جميع التجارب. وتُسمّى التجربة الواحدة ذات النتيجتين المحتملتين، مثل رمية قطعة نقدية، تجربة برنولي. والتوزيع ذي الحدين هو ما ينتج عن جمع n من تجارب برنولي.

كيفية حساب احتمال التوزيع ذي الحدين

1. دوّن قيم n وk وp.
2. احسب معامل ذي الحدين $\binom{n}{k}$، أي عدد طرق ترتيب k نجاحات ضمن n تجارب.
3. ارفع p إلى القوة k.
4. ارفع (1 − p) إلى القوة (n − k).
5. اضرب الأعداد الثلاثة معًا.

تنفّذ الحاسبة في هذه الصفحة هذه الخطوات تلقائيًا. أدخل قيم n وp وk، فتحسب P(X = k) وتعرض مخططًا شريطيًا يبيّن احتمال كل نتيجة ممكنة من 0 نجاحًا إلى n نجاحات.

مثال محلول

المثال 1: رميات قطعة نقدية

ارمِ قطعة نقدية عادلة 10 مرات. ما احتمال الحصول على 3 صور بالضبط؟

• n = 10، p = 0.5، k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• النتيجة: 120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172، أي نحو 11.72%

المثال 2: ضبط الجودة

يفحص مصنع 100 قطعة. ولكل قطعة احتمال قدره 2% أن تكون معيبة. ما احتمال ألا تكون أيٌّ من القطع 100 معيبة؟

• n = 100، p = 0.02، k = 0
• بما أن k = 0، تختزل الصيغة إلى $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• النتيجة: ≈ 0.1326، أي نحو 13.26%

المثال 3: اختبار الأمراض

تختبر مدينة 1,000 شخصًا بحثًا عن مرض يصيب 0.1% من السكان (p = 0.001). ما احتمال أن يكون 5 من الأشخاص 1,000 مصابين بالمرض بالضبط؟

• n = 1000، p = 0.001، k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• النتيجة: 8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305، أي نحو 0.30% (القيمة الدقيقة 0.0030488، أي 0.30488%)

المتوسط والتباين

لتوزيع ذي حدين بمعلمتي n وp:

• المتوسط (القيمة المتوقعة): E(X) = np
• التباين: Var(X) = np(1 − p)
• الانحراف المعياري: σ = √[np(1 − p)]

يبيّن المتوسط العدد المتوقع من النجاحات في المتوسط عبر العديد من التكرارات. في المثال 1، المتوسط هو 10 × 0.5 = 5 صور.

ما تقبله الحاسبة

• يجب أن يكون n عددًا صحيحًا قدره 1 أو أكثر. ويُقرَّب الإدخال العشري إلى أقرب عدد صحيح من التجارب، لذا تُعامل 10.9 على أنها 11.
• يجب أن تكون p بين 0 و1، شاملًا الحدين.
• يجب أن يكون k عددًا صحيحًا قدره 0 أو أكثر، ولا يمكن أن يكون أكبر من n. فالحصول على 8 نجاحات في 5 تجارب مستحيل، ولذلك تعرض الحاسبة خطأً بدلًا من رقم.

إذا تُرك أي مربع فارغًا، فلا تعرض الحاسبة نتيجة ولا مخططًا، بدلًا من تخمين قيمة.

متى ينطبق التوزيع ذي الحدين؟

يلائم التوزيع ذي الحدين موقفًا ما فقط عند تحقق الشروط الأربعة جميعها:

1. يكون عدد التجارب n محددًا مسبقًا.
2. لا تملك كل تجربة سوى نتيجتين: النجاح أو الفشل.
3. يكون احتمال النجاح p نفسه في كل تجربة.
4. تكون التجارب مستقلة بعضها عن بعض.

يؤدي سحب البطاقات من رزمة من دون إعادتها إلى الإخلال بشرط الاستقلال، لأن إزالة بطاقة تغيّر احتمال السحب التالي. وتستدعي هذه الحالة التوزيع فوق الهندسي بدلًا من ذلك.

التوزيعات ذات الصلة

• توزيع بواسون: يُستخدم لتقريب التوزيع ذي الحدين عندما تكون n كبيرة وp صغيرة، بحيث يظل متوسط عدد النجاحات (np) معتدلًا. وهو شائع في نمذجة الأحداث النادرة، مثل حالة المرض في المثال 3.
• التوزيع الطبيعي: عندما تكون n كبيرة، ولا تكون p قريبة جدًا من 0 أو 1، يبدو التوزيع ذي الحدين شبيهًا تقريبًا بشكل الجرس، ويمكن تقريبه بتوزيع طبيعي ذي متوسط np وتباين np(1 − p).
• التوزيع فوق الهندسي: يُستخدم بدلًا من التوزيع ذي الحدين عندما تُجرى المعاينة من مجتمع محدود من دون إرجاع العناصر.

الأسئلة الشائعة

ما وظيفة حاسبة التوزيع ذي الحدين؟

تحسب احتمال الحصول على k نجاحات بالضبط في n تجارب مستقلة، لكل منها احتمال نجاح p، باستخدام الصيغة P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

ما الفرق بين التوزيع ذي الحدين والتوزيع الطبيعي؟

التوزيع ذي الحدين متقطع، أي إنه ينتج أعدادًا صحيحة فقط لعدد النجاحات. أما التوزيع الطبيعي فهو مستمر. وعندما تكون n كبيرة، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بمنحنى طبيعي ذي متوسط np وتباين np(1 − p).

هل يمكن أن تكون قيمة p هي 0 أو 1؟

نعم. إذا كانت p = 0، فلا يمكن أن تنجح أي تجربة، لذا فإن P(X = 0) = 1. وإذا كانت p = 1، تنجح كل تجربة، لذا فإن P(X = n) = 1. وتكون قيمة احتمال جميع القيم الأخرى لـ k هي 0 في هاتين الحالتين.

ما العلاقة بين توزيعي ذي الحدين وبرنولي؟

يصف توزيع برنولي تجربة واحدة ذات نتيجتين (n = 1). أما التوزيع ذي الحدين فهو مجموع n من تجارب برنولي المستقلة، ولذلك فإن توزيع برنولي ليس إلا توزيعًا ذا حدين تكون فيه n = 1.

ما أكبر قيمة يمكن أن تبلغها n قبل أن تصبح الحاسبة غير دقيقة؟

تعمل الحاسبة باستخدام الحساب القياسي ذي الدقة المزدوجة. فهي تضرب أجزاء الصيغة الثلاثة مباشرةً، وتتحول إلى استخدام اللوغاريتمات عندما يتجاوز معامل ذي الحدين أكبر عدد يمكن لنوع البيانات ذي الدقة المزدوجة تخزينه، ويحدث ذلك قرب n = 1,000 عندما تكون k قريبة من n/2. وتظل النتائج صحيحة بعد تلك النقطة. ويُبلَّغ عن أي احتمال أصغر من نحو 1e-308 على أنه 0، لأن أي عدد ذي دقة مزدوجة لا يستطيع تخزينه.

كيف يُحسب معامل ذي الحدين؟

يحسب معامل ذي الحدين C(n, k) عدد طرق اختيار k عنصرًا من n عناصر، بغض النظر عن الترتيب. ويساوي n! / (k! × (n − k)!). وتبنيه الحاسبة خطوةً خطوة، إذ تضرب في عامل وتقسم على العامل التالي، ولذلك لا تحتاج إلى تخزين مضروب كامل. أما بالنسبة إلى قيم n الكبيرة جدًا، فتجمع لوغاريتمات تلك العوامل بدلًا من ذلك.

المراجع

1. "Binomial Distribution." ويكيبيديا، مؤسسة ويكيميديا. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. روس، شيلدون م. مقدمة إلى نماذج الاحتمالات. Academic Press، 2014.
3. جونسون، نورمان ل. وآخرون. التوزيعات المتقطعة. سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء، 2005.