Калкулатор за хипотенуза - Инструмент за теорема на Питагор

Калкулатор за хипотенуза

Калкулаторът за хипотенуза намира дължината на най-дългата страна на правоъгълен триъгълник, наречена хипотенуза. Той използва Питагоровата теорема — правило, което свързва трите страни на всеки правоъгълен триъгълник.

Какво представлява хипотенузата?

Правоъгълният триъгълник има един ъгъл от 90 градуса, образуван там, където две страни се срещат под прав ъгъл. Тези две страни се наричат катети. Третата страна, срещуположна на правия ъгъл, е хипотенузата. Тя винаги е най-дългата страна на триъгълника.

Формула на Питагоровата теорема

Питагоровата теорема гласи, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на двата катета.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c е хипотенузата
• a и b са двата катета

За да се намери неизвестен катет вместо хипотенузата, формулата може да се преобразува:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Теоремата е наречена на гръцкия математик Питагор, живял приблизително от 570 до 495 г. пр.н.е. Тази зависимост е била известна и по-рано. Върху вавилонски глинени плочки, датирани приблизително от 1800 г. пр.н.е., се вижда, че вавилонските математици вече са я използвали — повече от хиляда години преди Питагор.

Как се изчислява хипотенузата

За да намерите хипотенузата на ръка, изпълнете четири стъпки.

1. Повдигнете на квадрат дължината на страна A (умножете я сама по себе си).
2. Повдигнете на квадрат дължината на страна B.
3. Съберете двете получени квадратни стойности.
4. Извлечете квадратен корен от тази сума.

Калкулаторът на тази страница изпълнява същите четири стъпки. От менюто изберете „Намиране на хипотенуза“, „Намиране на страна A“ или „Намиране на страна B“, след което въведете двете известни дължини. Резултатът се обновява веднага щом бъдат въведени валидни числа и се закръгля до два знака след десетичната запетая.

И двете страни трябва да са с една и съща мерна единица, например инчове или метри. Калкулаторът не преобразува мерни единици, затова стойност, въведена във футове, и стойност, въведена в инчове, няма да дадат смислен общ резултат.

Пример с решение

Правоъгълен триъгълник има страна A с дължина 3 фута (0,91 m) и страна B с дължина 4 фута (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 фута (1,52 m)

Моделът 3-4-5 е кратък метод, който дърводелците използват, за да проверят дали ъгълът е прав. Измерете 3 фута (0,91 m) по единия ръб и 4 фута (1,2 m) по перпендикулярния ръб. Диагоналното разстояние между тези две точки трябва да е точно 5 фута (1,5 m). Всеки кратен вариант на модела работи по същия начин, например 6-8-10 или 30-40-50.

Вторият пример използва десетични стойности. Правоъгълен триъгълник има страна A с дължина 2,5 инча (6,35 cm) и страна B с дължина 6,8 инча (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 инча (18,4 cm)

Размерите на телевизорите и мониторите се измерват по този начин. Посоченият размер на екрана е диагоналът, който представлява хипотенузата на правоъгълника, образуван от ширината и височината на екрана.

Намиране на неизвестна страна

Ако хипотенузата и единият катет са известни, калкулаторът може да намери другия катет. Изберете „Намиране на страна A“ или „Намиране на страна B“, след което въведете хипотенузата и известния катет.

Например правоъгълен триъгълник има хипотенуза с дължина 10 метра и страна B с дължина 6 метра.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 метра

Хипотенузата винаги трябва да е по-дълга от всеки от катетите, тъй като е най-дългата страна на триъгълника. Ако въведената стойност за хипотенузата не е по-голяма от известния катет, калкулаторът показва грешка вместо резултат, тъй като такъв правоъгълен триъгълник не съществува.

Обичайни приложения

Питагоровата теорема се използва винаги, когато трябва да се намери диагоналното разстояние по две перпендикулярни измервания.

• Строителство и дърводелство: проверка дали ъгълът на рамка или стена е прав и изчисляване на дължините на покривни ребра или странични греди на стълби.
• Геодезия: преобразуване на хоризонтални и вертикални разстояния в пряко разстояние по линията на визиране.
• Навигация и компютърна графика: формулата за разстоянието между две точки на графика, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], е същата теорема, приложена към координати.
• Образование: това е едно от първите геометрични доказателства, с които се срещат повечето ученици, и може да се провери с прости примери с цели числа, като 3-4-5 или 5-12-13.

Теоремата се прилага само към правоъгълни триъгълници. За триъгълник без ъгъл от 90 градуса се използва теоремата за косинусите.

Често задавани въпроси

Каква е формулата за хипотенузата? c = √(a² + b²), където a и b са двата катета на правоъгълен триъгълник, а c е хипотенузата.

Може ли това да се използва за триъгълници без прав ъгъл? Не. Питагоровата теорема се прилага само към правоъгълни триъгълници. За триъгълник без ъгъл от 90 градуса се използва теоремата за косинусите.

Какво представлява правилото 3-4-5? Това е кратък метод за проверка дали ъгълът е прав. Ако едната страна е с дължина 3 единици, прилежащата перпендикулярна страна е с дължина 4 единици, а диагоналът между крайните им точки е с дължина 5 единици, ъгълът е прав. Всеки кратен вариант на 3-4-5, например 6-8-10 или 30-40-50, работи по същия начин.

Трябва ли и двете страни да са с една и съща мерна единица? Да. И двата катета трябва да бъдат въведени в една и съща мерна единица, например и двата във футове или и двата в метри. Смесването на мерни единици, например футове и инчове, дава математически правилен, но физически безсмислен резултат.

Защо калкулаторът показва грешка при някои комбинации от хипотенуза и катет? Хипотенузата винаги е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник. Ако въведената стойност за хипотенузата не е по-голяма от известния катет, не съществува валиден правоъгълен триъгълник, затова калкулаторът връща грешка вместо резултат.

До колко знака след десетичната запетая се показва резултатът? До два. Калкулаторът запазва пълната точност вътрешно по време на изчислението и закръгля само показваното число.

Това същото ли е като формулата за разстояние? Да. Формулата за разстояние в координатната геометрия, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], е Питагоровата теорема, приложена към две точки на графика. Хоризонталните и вертикалните разлики между точките образуват двата катета на правоъгълен триъгълник.