Тригонометричен функционален графикатор - Визуализация на Синус, Косинус, Тангенс
Интерактивен графикатор на тригонометрични функции. Регулирайте амплитудата, честотата и фазовото отместване в реално време, за да визуализирате синусови, косинусови и тангентни вълни мигновено.
Графика на тригонометрични функции
Параметри на функцията
Графика на функцията
Документация
Какво представлява графиката на тригонометрична функция?
Графиката на тригонометрична функция е инструмент, който изчертава кривата на функция синус, косинус или тангенс и позволява на потребителя да променя формата ѝ чрез настройване на няколко числа, наречени параметри. Преместването на плъзгач прерисува графиката незабавно, което улеснява виждането как амплитудата, честотата и фазовото отместване променят вълната.
Трите основни тригонометрични функции
Синусът, косинусът и тангенсът произлизат от отношенията между страните на правоъгълен триъгълник. При окръжност с радиус 1, центрирана в началото на координатната система (единичната окръжност), sin(x) е височината на точка с ъгъл x, а cos(x) е хоризонталната координата на тази точка. Тангенсът е отношението sin(x) / cos(x).
| Функция | Област на дефиниция | Област от стойности | Период |
|---|---|---|---|
| sin(x) | всички реални числа | от −1 до 1 | 2π |
| cos(x) | всички реални числа | от −1 до 1 | 2π |
| tan(x) | всички реални числа с изключение на π/2 + nπ | всички реални числа | π |
Синусът е нечетна функция: sin(−x) = −sin(x). Косинусът е четна функция: cos(−x) = cos(x). Косинусът е просто синус, отместен наляво с π/2 радиана (90 градуса).
Тангенсът има вертикални асимптоти: прави, към които кривата се приближава все повече, но никога не ги докосва. Те се намират при x = π/2 + nπ, където n е произволно цяло число. Тъй като tan(x) = sin(x) / cos(x), а cos(x) е равен на 0 в тези точки, отношението не е дефинирано там.
Формула на тригонометрична функция
Графиката изобразява функциите във вида:
f(x) = A sin(Bx + C)
Същият вид се използва за косинус и тангенс, като sin се заменя съответно с cos или tan. Всяка буква е параметър, който може да се настройва:
- A (амплитуда) задава височината на вълната, измерена от средната ѝ линия до връх. Графиката позволява стойности от 0,1 до 5 за синус и косинус и от 0,1 до 2 за тангенс.
- B (честота) задава колко пълни цикъла се побират в даден участък от оста x. По-голяма стойност на B свива вълната. Графиката позволява стойности от 0,1 до 5.
- C (фазово отместване) премества цялата крива наляво или надясно, без да променя формата ѝ. Графиката позволява стойности от −π до π, приблизително от −3,14 до 3,14.
Положителното фазово отместване премества графиката наляво, а отрицателното я премества надясно.
Как се използва графика на тригонометрична функция
- Изберете функция — синус, косинус или тангенс — от селектора.
- Преместете плъзгача за амплитудата, за да промените височината на вълната.
- Преместете плъзгача за честотата, за да свиете или разтегнете вълната.
- Преместете плъзгача за фазовото отместване, за да преместите кривата настрани.
- Прочетете формулата, показана под плъзгачите, и натиснете „Copy“, за да я копирате като текст.
Графиката се обновява веднага щом плъзгачът бъде преместен. При тангенса на всяка асимптота в линията се появяват малки прекъсвания. Това е очаквано, а не грешка.
Изпробване на крайните стойности на плъзгачите
За да видите колко висока може да стане една вълна, задайте амплитудата на най-високата стойност, която инструментът позволява: 5 за синус или косинус и 2 за тангенс. За да видите почти изравнена вълна, задайте честотата на най-ниската ѝ стойност, 0,1. Променянето на по един плъзгач улеснява определянето кой параметър е причинил дадена промяна.
Как се изчислява стойност на ръка
Нека разгледаме функция синус с амплитуда A = 2, честота B = 3 и фазово отместване C = π/4:
f(x) = 2 sin(3x + π/4)
За да намерим f(π/6), първо изчисляваме ъгъла в аргумента на синуса:
3 × (π/6) = π/2
π/2 + π/4 = 3π/4
След това намираме синуса и умножаваме по амплитудата:
f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414
Къде се срещат тригонометричните вълни
Много явления, които се повтарят по плавен, редуващ се начин, следват крива, близка до синусоида: звукът, променливият електрически ток, морските приливи, люлеенето на махало и продължителността на дневната светлина през годината. Инженерите използват синус и косинус, за да описват и предсказват такива закономерности. Компютърните аниматори използват същите криви, за да изглежда движението плавно, например при цикъл на ходене с подскачане или плавно движение на камера.
Често задавани въпроси
Каква е разликата между синус, косинус и тангенс?
Синусът и косинусът се изменят между −1 и 1 с период 2π, но косинусът достига всяка точка от своя цикъл с една четвърт оборот (π/2) по-рано от синуса. Тангенсът е равен на синуса, разделен на косинуса. Той има период π, не е ограничен и има вертикални асимптоти навсякъде, където косинусът е равен на 0.
Какво определя амплитудата?
Амплитудата (A) задава докъде се простира вълната над и под средната си линия. В тази графика тя варира от 0,1 до 5 за синус и косинус и от 0,1 до 2 за тангенс.
Какво определя честотата?
Честотата (B) задава колко цикъла на вълната се появяват в даден участък от оста x. По-високата честота събира повече цикли в същото пространство. Графиката позволява стойности от 0,1 до 5.
Защо положителното фазово отместване премества графиката наляво, а не надясно?
Защото фазовото отместване C се добавя преди измерването на ъгъла, вътре във функцията: f(x) = sin(Bx + C). Положителното C означава, че дадена стойност на ъгъла се достига при по-малка стойност на x, така че същата точка от кривата се появява по-рано — отместена наляво, а не надясно.
Защо в графиката на тангенса има прекъсвания?
Тангенсът не е дефиниран навсякъде, където косинусът е равен на 0, което се случва при x = π/2 + nπ. Графиката прекъсва линията в тези точки, вместо да начертае невярна връзка направо през прекъсването.
Използва ли графиката градуси или радиани?
Радиани. Един пълен оборот е равен на 2π радиана, което е същото като 360 градуса. За да преобразувате градуси в радиани, умножете по π/180.