Калкулатор за критични стойности | Z-тест, t-тест, Хи-квадрат

Критичната стойност е граничната точка в разпределението на вероятностите, която обозначава края на „областта на отхвърляне“ при проверка на хипотеза. Ако тестовата статистика надхвърля критичната стойност, резултатът се приема за статистически значим и нулевата хипотеза се отхвърля. Този калкулатор намира критични стойности за трите най-разпространени теста: Z-теста, t-теста и теста хи-квадрат.

Какво представлява критичната стойност?

В статистиката изследователите често започват с нулева хипотеза — просто предположение, че не се случва нищо необичайно (например, че ново лекарство няма ефект). Тестовата статистика се изчислява от данни от извадката и се сравнява с критична стойност, за да се определи дали данните предоставят достатъчно доказателства срещу нулевата хипотеза.

Критичната стойност зависи от три неща: избрания тест, нивото на значимост (означавано с α, гръцката буква алфа) и това дали тестът е едностранен или двустранен. Нивото на значимост е вероятността погрешно да бъде отхвърлена вярна нулева хипотеза; често се задава като 0,05 (5%) или 0,01 (1%).

Едностранният тест проверява за ефект в една посока, например „по-голямо от“. Той има една критична стойност. Двустранният тест проверява за ефект в която и да е посока и има две критични стойности — по една от всяка страна на разпределението.

Как се изчислява критична стойност

1. Изберете тест: Z-тест (за големи извадки или известна дисперсия на генералната съвкупност), t-тест (за малки извадки с неизвестна дисперсия) или тест хи-квадрат (за категорийни данни или проверка на съответствието).
2. Изберете типа на опашката: едностранен или двустранен.
3. Изберете нивото на значимост α — число между 0 и 1. Често се използват 0,10, 0,05 и 0,01.
4. При t-тест или тест хи-квадрат въведете степените на свобода (df). При t-тест df е равно на размера на извадката минус 1. При проверка на съответствието с тест хи-квадрат df е равно на броя категории минус 1.
5. Намерете (или изчислете) стойността, която отсява избраната площ на опашката под кривата на разпределението. Това е критичната стойност.

Формули за критичната стойност

Всяка формула използва обратната функция на кумулативното разпределение: стойността на x, за която площта под кривата до x е равна на целева вероятност p.

Формула за Z-теста

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(едностранен)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(двустранен)}$

Φ⁻¹ е обратната функция на стандартното нормално кумулативно разпределение.

Формула за t-теста

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(едностранен)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(двустранен)}$

t⁻¹(p, df) е обратната функция на кумулативната функция на t-разпределението с df степени на свобода.

Формула за теста хи-квадрат

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(едностранен)}$ $\chi^2_{\text{долна}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{горна}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(двустранен)}$

Разпределението хи-квадрат приема само положителни стойности, затова и двете критични стойности са положителни, а долната е по-малка от горната.

Пример: критична стойност при Z-тест

Екип за контрол на качеството иска критична стойност за едностранен Z-тест при α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Всяка тестова статистика над 1,6449 попада в областта на отхвърляне.

Пример: критична стойност при t-тест

Изследовател провежда експеримент с 20 участници, така че df = 19. Той иска двустранна критична стойност при α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Областите на отхвърляне са t < -2,8609 и t > 2,8609.

Пример: критични стойности при тест хи-квадрат

Анализатор сравнява наблюдаваните и очакваните честоти в 5 категории, така че df = 4. Той иска двустранни критични стойности при α = 0,05.

$\chi^2_{\text{долна}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{горна}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Статистика хи-квадрат под 0,4844 или над 11,1433 би попаднала в областта на отхвърляне.

Често използвани критични стойности

С увеличаването на степените на свобода критичните стойности на t-разпределението се доближават до съответните стойности при Z-теста, тъй като t-разпределението се приближава до нормалното разпределение.

Често задавани въпроси

За какво се използва критичната стойност? Тя определя границата, по която се решава дали тестовата статистика е достатъчно екстремна, за да бъде отхвърлена нулевата хипотеза. Ако статистиката премине критичната стойност, резултатът е статистически значим при избраното ниво α.

Каква е разликата между едностранна и двустранна критична стойност? Едностранният тест търси ефект в една посока и има една критична стойност. Двустранният тест търси ефект в която и да е посока и има две критични стойности, разположени симетрично около центъра при Z-теста и t-теста. При едно и също α двустранната критична стойност е по-голяма по абсолютна стойност от едностранната, тъй като същата обща вероятност е разделена между две опашки вместо между една.

Кога трябва да се използва Z-тест вместо t-тест? Z-тест се използва, когато дисперсията на генералната съвкупност е известна или извадката е голяма, обикновено 30 или повече наблюдения. t-тест се използва за по-малки извадки с неизвестна дисперсия на генералната съвкупност. С увеличаването на размера на извадката критичните стойности при t-теста се доближават до критичните стойности при Z-теста.

Може ли критичната стойност да бъде отрицателна? Да. Разпределенията при Z-теста и t-теста са симетрични около нулата, така че двустранният тест има една отрицателна и една положителна критична стойност. Критичните стойности при теста хи-квадрат винаги са положителни, тъй като разпределението хи-квадрат е дефинирано само за стойности, равни на нула или по-големи от нула.

Как степените на свобода влияят върху критичната стойност? Степените на свобода измерват количеството независима информация в данните и обикновено са размерът на извадката минус броя на вече оценените параметри. По-малкият брой степени на свобода води до по-широки разпределения с по-тежки опашки и по-големи критични стойности. При по-голям брой степени на свобода t-разпределението и разпределението хи-квадрат се доближават до нормалното разпределение.

Коя критична стойност съответства на доверително ниво 95%? При доверително ниво 95% се използва α = 0,05. При двустранен Z-тест критичните стойности са ±1,9600. При едностранен Z-тест критичната стойност е 1,6449.

История

Карл Пиърсън въвежда теста хи-квадрат през 1900 г. Уилям Сийли Госет, публикуващ под името „Стюдънт“, разработва t-разпределението през 1908 г., за да работи с малки извадки в пивоварната „Гинес“. Роналд Фишър формализира тестването на статистическата значимост и критичните стойности през 1920-те години в книгата си Статистически методи за изследователи. Преди появата на компютрите изследователите са намирали критичните стойности в печатни таблици; днес калкулаторите и софтуерът ги изчисляват директно чрез формулите на разпределенията.

Източници

1. Пиърсън, K. (1900). „За критерия, че дадена система от отклонения... е такава, че може разумно да се приеме, че е възникнала от случайна извадка.“ Philosophical Magazine, серия 5, 50(302), 157–175.
2. Стюдънт [Госет, W. S.] (1908). „Вероятната грешка на средната стойност.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Фишър, R. A. (1925). Статистически методи за изследователи. Единбург: Oliver & Boyd.
4. Електронен наръчник по статистически методи на NIST/SEMATECH, „Критични стойности“.