Калкулатор на Z-оценка - Инструмент за стандартна оценка и вероятност

Какво представлява z-оценката?

Z-оценката, наричана още стандартна оценка, измерва на колко стандартни отклонения се намира дадена стойност от средната на набор от данни. Z-оценка 0 означава, че стойността е равна на средната. Положителна z-оценка означава, че стойността е над средната, а отрицателна z-оценка означава, че е под средната.

Формула за z-оценка

Z-оценката на дадена стойност се изчислява по следната формула:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Където:

$z$ е z-оценката
$x$ е стойността от данните
$\mu$ е средната стойност на набора от данни
$\sigma$ е стандартното отклонение на набора от данни

Стандартното отклонение не може да бъде нула, защото делението на нула няма определен резултат. То не може да бъде и отрицателно, тъй като по дефиниция стандартното отклонение винаги е нула или положително число.

Как се изчислява z-оценка

Намерете средната стойност на набора от данни, като съберете всички стойности и разделите сбора на броя им, $n$ .

\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

Намерете стандартното отклонение. Първо изчислете дисперсията — средната стойност на квадратите на разликите от средната — и след това извлечете квадратен корен от нея.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}

Извадете средната стойност от дадената стойност и разделете на стандартното отклонение.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Пример с изчисление

Ученик получава 85 точки на тест. Средната стойност за класа е 75, а стандартното отклонение на резултатите на класа е 10.

Стойност от данните: $x = 85$
Средна стойност: $\mu = 75$
Стандартно отклонение: $\sigma = 10$

z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0

Z-оценката на ученика е 1,0. Резултатът му е с едно стандартно отклонение над средния резултат за класа.

Z-оценка и кумулативна вероятност

Z-оценката може да се преобразува в кумулативна вероятност — вероятността случайно избрана стойност от нормално разпределение да бъде равна на или по-малка от тази стойност. Това е площта под кривата на стандартното нормално разпределение вляво от $z$ .

P(Z \leq z) = \Phi(z)

При z-оценка на ученика 1,0 кумулативната вероятност е около 0,8413, или 84,1%. Калкулаторът показва z-оценката с четири знака след десетичната запетая, а вероятността като процент с два знака, така че този пример показва 1,0000 и 84,13%. Това означава, че ученикът е постигнал по-добър резултат от приблизително 84% от класа, ако се приеме, че резултатите следват нормално разпределение.

Няколко ориентировъчни стойности:

z-оценка	Кумулативна вероятност
-2,0	2,3%
-1,0	15,9%
0,0	50,0%
1,0	84,1%
2,0	97,7%

Интерпретиране на z-оценка

При нормалното разпределение около 95% от стойностите попадат в границите на 2 стандартни отклонения от средната, а около 99,7% – в границите на 3. Това се нарича емпирично правило или правило 68-95-99,7. Затова z-оценките отвъд +3 или -3 са редки и често се проверяват като възможни извънредни (аномални) стойности, които се различават рязко от останалите данни.

Z-оценките позволяват също да се сравняват стойности, измерени по различни скали. Резултат от тест и измерване на ръст не могат да се сравняват пряко, но техните z-оценки могат, защото и двете описват разстоянието от средната стойност в едни и същи единици — стандартни отклонения.

Z-оценка и t-оценка

Z-оценката използва стандартното отклонение на генералната съвкупност, затова предполага, че тази стойност е известна. T-оценка се използва, когато стандартното отклонение на генералната съвкупност е неизвестно и вместо него се използва стандартното отклонение на извадката. По-старо практическо правило използва t-разпределението само за извадки от 30 или по-малко наблюдения, но днешната практика е то да се използва винаги, когато стандартното отклонение на извадката оценява стойността за генералната съвкупност. T-разпределението има по-плътни опашки от нормалната крива, което отчита допълнителната несигурност.

Обичайни приложения на z-оценките

Стандартизирани тестове. Сравняване на необработения резултат на ученик с общото разпределение на резултатите.
Откриване на отклоняващи се стойности. Маркиране на стойности от набор данни, които са далеч от средната стойност.
Контрол на качеството. Проверка дали произведен артикул попада в допустим диапазон.
Проверка на хипотези. Z-тестовете използват z-оценки, за да определят дали средната стойност на извадка се различава съществено от известната средна стойност на генералната съвкупност.

История

Z-оценката се основава на нормалното разпределение. Абрахам дьо Моавър извежда нормалната крива през 1733 г. като приближение на биномното разпределение. Карл Фридрих Гаус и Пиер-Симон Лаплас я развиват допълнително.

Често задавани въпроси

Какво представлява z-оценката в статистиката? Z-оценката е броят стандартни отклонения, на които дадена стойност се намира от средната стойност на своя набор от данни. Тя се изчислява по формулата z = (x − μ) / σ.

Как се интерпретира резултатът от z-оценката? Z-оценка от 0 означава, че стойността е равна на средната. Положителна стойност е над средната, а отрицателна — под нея. Стойности извън +3 или -3 са необичайни.

Може ли z-оценката да бъде отрицателна? Да. Отрицателната z-оценка просто означава, че дадената стойност е под средната. Z-оценка от -2 означава, че стойността е на 2 стандартни отклонения под средната.

Каква е разликата между z-оценка и t-оценка? Z-оценка се използва, когато стандартното отклонение на генералната съвкупност е известно. T-оценка се използва, когато то не е известно и вместо него се използва стандартното отклонение на извадката, независимо от размера на извадката.

Какво означава кумулативна вероятност при z-оценка? Това е вероятността случайно избрана стойност от нормално разпределение да бъде по-малка или равна на дадената z-оценка. Тя е равна на площта под кривата на нормалното разпределение вляво от тази точка.

Какво се случва, ако стандартното отклонение е нула? Z-оценката е неопределена, защото формулата изисква деление на нула. Стандартно отклонение, равно на нула, означава, че всички стойности в набора от данни са идентични.

Източници

OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. Стандартното нормално разпределение — формулата за z-оценка z = (x − μ)/σ и емпиричното правило 68-95-99,7.
NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Таблица на стандартното нормално разпределение — площ под нормалната крива от 0 до z (0,34134 при z = 1).
OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. t-разпределение на Стюдънт — кога се използва t вместо z и по-плътните му опашки.
MacTutor History of Mathematics, Университет на Сейнт Андрюс. Abraham de Moivre. Биография на Абрахам дьо Моавър — извеждането на нормалната крива от дьо Моавър през 1733 г.