Т-Тест Калкулатор - Безплатен Онлайн Статистически Инструмент за Анализ

Какво представлява t-критерият?

t-критерият е статистически метод, който проверява дали средната стойност на набор от числа се различава съществено от друга средна стойност или от фиксирана стойност. Нарича се още t-критерий на Стюдънт. Изследователите го използват за сравняване на две групи, например експериментална и контролна група, или за сравняване на една група с известен стандарт.

Тестът дава число, наречено t-статистика. t-статистика, която е далеч от нулата, показва, че средните стойности вероятно наистина се различават. t-статистика, близка до нулата, показва, че разликата може да се дължи единствено на случаен шум.

Видове t-критерии

Този калкулатор поддържа три вида t-критерии.

• Едноизвадков t-критерий: сравнява средната стойност на една извадка с известна или хипотетична стойност.
• Двуизвадков t-критерий: сравнява средните стойности на две независими извадки, например две отделни групи хора. Този калкулатор използва t-критерия на Уелч, който не приема, че двете групи имат еднаква дисперсия.
• t-критерий за свързани извадки: сравнява два набора от измервания, направени върху едни и същи лица, например резултати преди и след лечение.

Как се използва този калкулатор за t-критерий

1. Изберете вида на теста: едноизвадков, двуизвадков или за свързани извадки.
2. Въведете данните.
   • Едноизвадков: въведете стойностите на извадката, разделени със запетаи, и средната стойност на генералната съвкупност, с която да бъдат сравнени.
   • Двуизвадков: въведете двете извадки като отделни списъци със стойности, разделени със запетаи.
   • За свързани извадки: въведете двойките във вида (x1,y1), (x2,y2) и така нататък.
3. Задайте ниво на значимост, обикновено 0,05. Калкулаторът не използва тази стойност. Той извежда p-стойността, а решението оставя на вас.
4. t-статистиката, степените на свобода и p-стойността се появяват веднага щом има достатъчно данни. Не е нужно да натискате бутон.

За да прецените статистическата значимост, сравнете p-стойността с нивото на значимост. Ако p-стойността е по-малка или равна на нивото на значимост, разликата се счита за статистически значима.

Формула на t-критерия

Формула на едноизвадковия t-критерий

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ е средната стойност на извадката, $\mu_0$ е стойността, с която се прави сравнението, $s$ е стандартното отклонение на извадката, а $n$ е обемът на извадката. Степени на свобода: $df = n - 1$.

Формула на двуизвадковия t-критерий (критерий на Уелч)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Степените на свобода се получават от уравнението на Уелч–Сатъртуейт:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Тази формула обикновено дава df, което не е цяло число.

Формула на t-критерия за свързани извадки

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ е средната стойност на разликите между всяка двойка, $s_d$ е стандартното отклонение на тези разлики, а $n$ е броят на двойките. Степени на свобода: $df = n - 1$.

Как се изчислява t-критерий: пример с решение

Производител твърди, че една батерия издържа средно 50 часа. Изпитвател проверява девет батерии и записва следните времена на работа в часове:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Стъпка 1: Формулирайте хипотезите. Нулева хипотеза: истинската средна стойност е 50 часа. Алтернативна хипотеза: истинската средна стойност не е 50 часа.

Стъпка 2: Намерете средната стойност на извадката.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Стъпка 3: Намерете стандартното отклонение на извадката. Отклоненията от средната стойност са 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. На квадрат те са 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, чиято сума е 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Стъпка 4: Намерете t-статистиката.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Стъпка 5: Намерете степените на свобода.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Стъпка 6: Намерете p-стойността. При $t = 0$ и $df = 8$ двустранната p-стойност е 1,00.

Стъпка 7: Направете заключение. Тъй като 1,00 е по-голямо от 0,05, няма достатъчно доказателства, че средната продължителност на работа на батериите се различава от 50 часа.

Предпоставки на t-критерия

t-критерият дава надеждни резултати само когато няколко условия са приблизително изпълнени.

• Нормалност: данните трябва да имат приблизително камбановидно разпределение, особено при малки извадки.
• Независимост: всяко наблюдение не трябва да влияе на което и да е друго наблюдение.
• Случайно избиране на извадката: данните трябва да произхождат от случайна извадка на изучаваната генерална съвкупност.

При t-критерий за свързани извадки тези условия се отнасят до разликите между двойките, а не до първичните резултати. При по-големи извадки, приблизително над 30, t-критерият обикновено остава точен дори когато данните не са идеално камбановидно разпределени, поради статистическо свойство, наречено централна гранична теорема.

Алтернативи на t-критерия

Когато горните предпоставки не са изпълнени, вместо него могат да се използват други тестове.

• U-критерий на Ман–Уитни: непараметрична алтернатива на двуизвадковия t-критерий.
• Критерий на Уилкоксън за знакови рангове: непараметрична алтернатива на t-критерия за свързани извадки.
• ANOVA: сравнява едновременно средните стойности на три или повече групи, а не само на две.

История на t-критерия

Уилям Сийли Госет разработва t-критерия през 1908, докато работи като химик в пивоварната „Гинес“ в Дъблин. „Гинес“ не разрешава на служителите да публикуват изследвания под собствените си имена, затова Госет използва псевдонима „Стюдънт“. Поради това методът често се нарича t-критерий на Стюдънт. Той го създава, за да преценява дали малки партиди пивоварни съставки отговарят на стандартите за качество, като използва само няколко проби наведнъж.

Често задавани въпроси

За какво се използва t-критерият?

t-критерият проверява дали средната стойност на извадка се различава значимо от друга средна стойност или от фиксирана стойност. Той се използва често в медицината, психологията, образованието и бизнес изследванията.

Кога трябва да използвам едноизвадков, двуизвадков t-критерий или t-критерий за свързани извадки?

Използвайте едноизвадков t-критерий, за да сравните средната стойност на извадка с известна стойност. Използвайте двуизвадков t-критерий, за да сравните две отделни, несвързани групи. Използвайте t-критерий за свързани извадки, когато едни и същи лица са измерени два пъти, например преди и след лечение.

Каква е разликата между t-критерий и z-критерий?

t-критерият се използва, когато извадката е малка или стандартното отклонение на генералната съвкупност е неизвестно. z-критерият се използва при големи извадки, когато стандартното отклонение на генералната съвкупност е известно. На практика t-критерият се използва много по-често, тъй като стандартното отклонение на генералната съвкупност рядко е известно предварително.

Как се интерпретира p-стойност от t-критерий?

p-стойността е вероятността да се наблюдава разлика с такъв или по-голям размер, ако в действителност няма реална разлика. Малка p-стойност, обикновено равна или по-малка от 0,05, показва, че наблюдаваната разлика вероятно не се дължи само на случайността.

Какво представлява t-критерият на Уелч?

t-критерият на Уелч е разновидност на двуизвадковия t-критерий, която не изисква двете групи да имат еднакви дисперсии. Този калкулатор винаги използва метода на Уелч за двуизвадкови тестове, тъй като той остава точен независимо от това дали двете групи имат еднаква дисперсия.

Какво са степените на свобода при t-критерий?

Степените на свобода са число, основано на обема на извадката, което определя точната форма на t-разпределението, използвано за намиране на p-стойността. При едноизвадков t-критерий или t-критерий за свързани извадки степените на свобода са равни на обема на извадката минус 1. Двуизвадковият t-критерий на Уелч използва формула, която обикновено дава стойност, която не е цяло число.

Източници

1. Госет, У. С. (1908). „Вероятната грешка на средната стойност.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
2. Електронен наръчник на NIST/SEMATECH по статистически методи, раздел 1.3.6.7.2, „Критични стойности на t-разпределението на Стюдънт“.