Convertidor de Base Numèrica: Binari, Hexadecimal, Decimal i Octal

Convertidor de bases numèriques

Un convertidor de bases numèriques canvia la manera com s’escriu un nombre, d’un sistema de numeració posicional a un altre, sense canviar-ne el valor. Pot convertir nombres binaris en decimals, decimals en hexadecimals o convertir entre qualsevol dues bases de 2 a 36.

Què és una base numèrica?

Una base numèrica, també anomenada radix, és la quantitat de dígits diferents que utilitza un sistema abans de començar a repetir-los en una nova posició. El sistema decimal, que s’utilitza per comptar en la vida quotidiana, és de base 10. Utilitza deu dígits, del 0 al 9. El sistema binari és de base 2 i només utilitza 0 i 1. Quan una base supera 10, les lletres representen els dígits que falten: A representa 10, B representa 11, i així successivament fins a Z, que representa 35. Això permet que un sistema arribi a la base 36, la base més alta que admeten la majoria de convertidors, utilitzant només les 26 lletres de l’alfabet i els 10 dígits.

Cada dígit d’un nombre té un valor posicional basat en potències de la base. En el sistema decimal, el nombre escrit com a «205» significa 2 centenes, 0 desenes i 5 unitats, perquè 100 i 10 són potències de 10. La mateixa idea s’aplica a qualsevol base: el dígit més a la dreta es multiplica per base⁰, el següent per base¹, el següent per base², i així successivament.

Com convertir un nombre a una altra base

Convertir un nombre a decimal

Per convertir a decimal un nombre escrit en qualsevol base, multiplica cada dígit per la base elevada a la seva posició, comptant des de 0 a la dreta, i després suma els resultats.

Fórmula: valor = dₙ × baseⁿ + ... + d₁ × base¹ + d₀ × base⁰

Exemple: Converteix el nombre de base-5 101 a decimal.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Per tant, 101 en base 5 equival a 26 en decimal.

Convertir un nombre decimal a una altra base

Per convertir un nombre decimal a una altra base, divideix-lo repetidament per la base de destinació i conserva cada residu. Atura’t quan el nombre arribi a 0 i després llegeix els residus des de l’últim obtingut fins al primer.

Exemple: Converteix el nombre decimal 26 a base 5.

• 26 ÷ 5 = 5, residu 1
• 5 ÷ 5 = 1, residu 0
• 1 ÷ 5 = 0, residu 1
• Llegint els residus de baix a dalt: 101

Això confirma l’exemple anterior: 26 en decimal és 101 en base 5.

Exemple resolt

De binari a decimal: El nombre binari 1101 es converteix a decimal així: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

De decimal a hexadecimal: El nombre decimal 202 es converteix a hexadecimal així: 202 ÷ 16 = 12, residu 10; després, 12 ÷ 16 = 0, residu 12. En hexadecimal, 10 s’escriu A i 12 s’escriu C. Llegint els residus de baix a dalt s’obté CA. Per tant, 202 en decimal és CA en hexadecimal.

D’octal a binari: El nombre octal 17 es converteix primer a decimal: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Després, el decimal 15 es converteix a binari com a 1111. Per tant, 17 en octal equival a 1111 en binari.

Bases numèriques habituals

Nombres molt grans

Algunes conversions impliquen nombres massa grans perquè l’aritmètica estàndard de doble precisió els pugui tractar exactament, com ara un valor hexadecimal de 64 bits, com FFFFFFFFFFFFFFFF. Aquest convertidor treballa amb nombres enters de qualsevol mida mitjançant aritmètica entera de precisió arbitrària, de manera que no arrodoneix ni perd dígits en els valors llargs.

Què admet el convertidor

L’eina llegeix nombres enters no negatius, escrits amb els dígits de la base d’origen. Les lletres es poden escriure en majúscules o minúscules, de manera que ff i FF signifiquen 255 en base 16. Els espais anteriors o posteriors al nombre s’ignoren. Qualsevol altre caràcter, com ara un signe menys o un punt decimal, es rebutja amb el missatge «L’entrada conté caràcters no vàlids per a la base 16», on s’indica la base d’origen seleccionada.

Preguntes més freqüents

Quina diferència hi ha entre el binari i l’hexadecimal?

El sistema binari només utilitza dos dígits, 0 i 1. L’hexadecimal n’utilitza setze, del 0 al 9 i d’A a F. Com que 16 és 2⁴, cada dígit hexadecimal representa exactament quatre dígits binaris, i per això l’hexadecimal s’utilitza sovint com una manera abreujada d’escriure valors binaris.

Com es converteix manualment un nombre decimal a binari?

Divideix repetidament el nombre decimal per 2 i anota cada residu. Llegeix els residus en ordre invers, des de l’última divisió fins a la primera. Per exemple, 13 ÷ 2 = 6, residu 1; 6 ÷ 2 = 3, residu 0; 3 ÷ 2 = 1, residu 1; 1 ÷ 2 = 0, residu 1. Llegint de baix a dalt s’obté 1101, que és 13 en binari.

Quina és la base més alta que admet aquesta eina?

L’eina admet bases de 2 a 36. La base 36 és la més alta que es pot obtenir utilitzant només els deu dígits 0–9 i les vint-i-sis lletres A-Z, ja que això proporciona exactament 36 símbols diferents.

Aquesta eina pot convertir nombres negatius?

No. Només admet zero i nombres enters positius. Per convertir un nombre negatiu, converteix-ne el valor absolut i després afegeix manualment un signe menys al resultat.

Per què existeixen els sistemes hexadecimal i octal si els ordinadors utilitzen internament el sistema binari?

Les cadenes llargues de 1 i 0 són difícils de llegir i és fàcil comptar-les malament. Com que 16 i 8 són potències de 2, els dígits hexadecimals i octals es corresponen netament amb grups fixos de dígits binaris: quatre bits per al sistema hexadecimal i tres bits per a l’octal. Això fa que els valors binaris llargs siguin més curts i fàcils de comprovar a simple vista.

Hi ha un límit per a la mida del nombre que pot convertir aquesta eina?

No hi ha cap límit pràctic. L’eina utilitza aritmètica de precisió arbitrària en lloc de nombres de coma flotant estàndard, de manera que converteix valors molt llargs, inclosos els que són més grans del que una calculadora típica pot representar exactament, sense errors d’arrodoniment.