Calculadora d'Àrea Superficial - Eina Gratuïta per a Totes les Formes 3D

Calculadora d’àrea superficial

L’àrea superficial d’una figura tridimensional és l’àrea total de totes les cares i superfícies corbes que en cobreixen l’exterior, mesurada en unitats quadrades, com ara metres quadrats o peus quadrats. Aquesta calculadora troba l’àrea superficial de set sòlids habituals: esfera, cub, cilindre, piràmide, con, prisma rectangular i prisma triangular.

Què significa l’àrea superficial

L’àrea superficial és la suma de les àrees de totes les superfícies exteriors d’un sòlid. L’àrea superficial d’un cub és l’àrea combinada de les seves sis cares planes quadrades. L’àrea superficial d’una esfera és l’àrea de la seva única superfície exterior corba. L’àrea superficial és diferent del volum, que mesura l’espai interior d’un sòlid i no pas l’àrea del seu límit. Totes dues magnituds es mesuren en unitats diferents: l’àrea superficial, en unitats quadrades (m²), i el volum, en unitats cúbiques (m³).

Com es calcula l’àrea superficial

1. Trieu una figura de la llista de set opcions.
2. Introduïu les mesures que necessita la figura:
   • Esfera: radi
   • Cub: longitud del costat
   • Cilindre: radi i altura
   • Piràmide: longitud de la base, amplada de la base i altura inclinada
   • Con: radi i altura
   • Prisma rectangular: longitud, amplada i altura
   • Prisma triangular: longitud de la base, altura de la cara triangular i longitud del prisma
3. El resultat apareix automàticament quan tots els camps obligatoris tenen un valor.
4. Llegiu l’àrea superficial en unitats quadrades. Un botó de còpia situat al costat del resultat el copia al porta-retalls.

Mentre un camp obligatori encara és buit, la calculadora mostra una indicació breu en lloc del resultat. Quan tots els camps tenen un valor, un nombre zero o negatiu produeix un missatge d’error.

En el cas d’una piràmide, s’aplica una regla addicional a qualsevol base, quadrada o rectangular: l’altura inclinada introduïda ha de ser més llarga que la meitat de l’amplada de la base. La meitat de l’amplada de la base és la distància entre el centre de la base i el punt mitjà d’una aresta de la base que té la longitud de la base. Una altura inclinada igual o més curta no deixa espai per a cap altura vertical, de manera que no existeix cap piràmide així i la calculadora retorna un error.

Fórmules de l’àrea superficial

En les fórmules següents, r és el radi, h és l’altura, l és la longitud, w és l’amplada, b és la longitud de la base i s és l’altura inclinada.

• Esfera: $SA = 4\pi r²$
• Cub: $SA = 6a²$, on a és la longitud del costat
• Cilindre: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, l’àrea dels dos extrems circulars més la superfície lateral corba
• Con: $SA = \pi r² + \pi rs$, on l’apotema és $s = \sqrt{r² + h²}$
• Piràmide de base quadrada: $SA = l² + 2ls$, on l és la longitud de la base i s és l’apotema d’una cara triangular
• Prisma rectangular: $SA = 2(lw + lh + wh)$
• Prisma triangular (secció transversal triangular amb base b, altura h i dos costats inclinats iguals $a = c$): $SA = bh + (a + b + c)L$, on L és la longitud del prisma i $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ en el cas d’un triangle simètric (isòsceles)

Una piràmide de base rectangular té dues altures inclinades diferents, una per a cada parell de cares triangulars. El quadre «Altura inclinada» rep l’altura inclinada s de les dues cares que es troben sobre les arestes de la base que tenen la longitud de la base. A partir d’aquest valor, la calculadora recupera l’altura vertical h amb $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ i després troba l’altre parell de cares:

Piràmide de base rectangular: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$, on l és la longitud de la base, w és l’amplada de la base i h és l’altura vertical derivada de s.

La fórmula anterior per a una base quadrada és un cas particular d’aquesta, que s’obté quan la longitud i l’amplada de la base són iguals (amb una diferència màxima de 0,001 de les unitats introduïdes).

Exemple resolt

Esfera, radi 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 m²

Cub, longitud del costat 3 m: SA = 6(3)² = 54 m²

Cilindre, radi 2 m, altura 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 m²

Con, radi 3 m, altura 4 m: apotema = √(3² + 4²) = 5 m, de manera que SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 m²

Piràmide de base quadrada, longitud de la base 4 m, apotema 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

Piràmide de base rectangular, longitud de la base 6 m, amplada de la base 8 m, apotema 5 m: la meitat de l’amplada de la base és 4 m, de manera que l’altura vertical és √(5² − 4²) = 3 m. L’altre parell de cares té un apotema √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 m²

Prisma rectangular, longitud 4 m, amplada 3 m, altura 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

Prisma triangular, base 3 m, altura del triangle 4 m, longitud del prisma 5 m: els dos costats inclinats iguals són √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 m²

Unitats i precisió

Totes les mesures introduïdes han d’utilitzar la mateixa unitat, com ara metres, peus o centímetres. El resultat es dona en aquesta unitat elevada al quadrat. La calculadora fa els càlculs interns amb tota la precisió de coma flotant i mostra el resultat arrodonit a dues xifres decimals.

Per què és important l’àrea superficial

L’àrea superficial s’utilitza per estimar la pintura o el recobriment necessaris per a una paret o un objecte, el material necessari per a l’embalatge i la xapa metàl·lica o el teixit necessaris per construir un recipient. En biologia i química, l’àrea superficial d’una cèl·lula o d’una partícula catalitzadora afecta la rapidesa amb què intercanvia material amb el seu entorn, ja que l’intercanvi es produeix a través de la superfície. En enginyeria, l’àrea superficial d’un radiador o d’un intercanviador de calor afecta la rapidesa amb què pot transferir calor.

Preguntes freqüents

Què és l’àrea superficial? L’àrea superficial és l’àrea total de totes les cares exteriors o superfícies corbes d’un objecte tridimensional, expressada en unitats quadrades.

Quina és la fórmula de l’àrea de la superfície d’una esfera? $SA = 4\pi r²$, on r és el radi. Una esfera de radi 5 m té una àrea de la superfície aproximada de 314,16 m².

Com es troba l’àrea superficial d’un cilindre? Sumeu l’àrea dels dos extrems circulars a l’àrea de la superfície lateral corba: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$, on r és el radi i h és l’altura.

Quina diferència hi ha entre l’àrea superficial i el volum? L’àrea superficial mesura el límit exterior d’una figura en unitats quadrades. El volum mesura l’espai tancat per aquest límit en unitats cúbiques. L’àrea superficial i el volum d’una figura solen créixer a ritmes diferents a mesura que augmenta la seva mida.

Aquesta calculadora admet una piràmide de base rectangular? Sí. Introduïu una longitud i una amplada de base diferents, a més de l’apotema de les dues cares que se sostenen sobre les arestes de la base que tenen la longitud de la base. La calculadora deriva l’altura vertical i el segon apotema a partir d’aquests tres nombres.

Per què de vegades la piràmide mostra un error? L’altura inclinada ha de ser més gran que la meitat de l’amplada de la base. Amb aquest valor o per sota, la piràmide tindria una altura nul·la o imaginària, de manera que no existeix cap sòlid així i no se’n pot informar l’àrea superficial.

Quines figures admet aquesta calculadora? Esfera, cub, cilindre, piràmide, con, prisma rectangular i prisma triangular.

Referències

1. "Surface Area." Viquipèdia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
2. Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — un recurs web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
3. "Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html