Převodník číselných soustav: Binární, Hex, Decimální & Oktální

Převodník číselných soustav

Převodník číselných soustav mění způsob zápisu čísla z jedné poziční číselné soustavy na jinou, aniž by se změnila jeho hodnota. Dokáže převést binární číslo na desítkové, desítkové na šestnáctkové nebo převádět mezi libovolnými dvěma soustavami od 2 do 36.

Co je číselná soustava?

Číselná soustava, nazývaná také radix, je počet různých číslic, které soustava používá, než je začne opakovat na nové pozici. Desítková soustava používaná pro každodenní počítání má základ 10. Používá deset číslic, od 0 do 9. Binární soustava má základ 2 a používá pouze 0 a 1. Jakmile základ překročí 10, zastupují chybějící číslice písmena: A představuje 10, B představuje 11 a tak dále až po Z, které představuje 35. Díky tomu může soustava dosáhnout základu 36, což je nejvyšší základ podporovaný většinou převodníků, a používá k tomu pouze 26 písmen abecedy a 10 číslic.

Každá číslice v čísle má poziční hodnotu založenou na mocninách základu. V desítkové soustavě číslo zapsané jako „205“ znamená 2 stovky, 0 desítek a 5 jednotek, protože 100 a 10 jsou mocniny 10. Stejná myšlenka platí v každé soustavě: číslice úplně vpravo se násobí základem⁰, další základem¹, další druhou mocninou základu a tak dále.

Jak převést číslo do jiné soustavy

Převod čísla do desítkové soustavy

Chcete-li převést číslo z libovolné soustavy do desítkové, vynásobte každou číslici základem umocněným na její pozici, přičemž zprava začněte od 0, a potom výsledky sečtěte.

Vzorec: hodnota = dₙ × základⁿ + ... + d₁ × základ¹ + d₀ × základ⁰

Příklad: Převeďte číslo se základem 5, 101, do desítkové soustavy.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Číslo 101 v soustavě se základem 5 se tedy rovná číslu 26 v desítkové soustavě.

Převod desítkového čísla do jiné soustavy

Chcete-li převést desítkové číslo do jiné soustavy, opakovaně je dělte cílovým základem a zapisujte si každý zbytek. Jakmile číslo dosáhne 0, skončete a zbytky přečtěte od posledního získaného po první.

Příklad: Převeďte desítkové číslo 26 do soustavy se základem 5.

• 26 ÷ 5 = 5, zbytek 1
• 5 ÷ 5 = 1, zbytek 0
• 1 ÷ 5 = 0, zbytek 1
• Čtením zbytků zdola nahoru: 101

Tím se potvrzuje předchozí příklad: desítkové číslo 26 je v soustavě se základem 5 rovno číslu 101.

Praktické příklady

Z binární do desítkové soustavy: Binární číslo 1101 se převede na desítkové takto: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Převod z desítkové do šestnáctkové soustavy: Desítkové číslo 202 se převede do šestnáctkové takto: 202 ÷ 16 = 12, zbytek 10, poté 12 ÷ 16 = 0, zbytek 12. V šestnáctkové soustavě se 10 zapisuje jako A a 12 jako C. Čtením zbytků zdola nahoru získáme CA. Desítkové číslo 202 je tedy v šestnáctkové soustavě CA.

Z osmičkové do binární soustavy: Osmičkové číslo 17 se nejprve převede na desítkové: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Desítkové číslo 15 se pak převede na binární jako 1111. Osmičkové číslo 17 se tedy rovná binárnímu číslu 1111.

Běžné číselné soustavy

Velmi velká čísla

Některé převody pracují s čísly, která jsou příliš velká na to, aby je standardní aritmetika s dvojitou přesností zvládla přesně, tedy s celými čísly nad 2⁵³ − 1 (9,007,199,254,740,991), například s 64bitovou šestnáctkovou hodnotou, jako je FFFFFFFFFFFFFFFF. Tento převodník pracuje s celými čísly libovolné velikosti pomocí celočíselné aritmetiky s libovolnou přesností, takže u dlouhých hodnot nezaokrouhluje ani neztrácí číslice.

Často kladené otázky

Jaký je rozdíl mezi binární a šestnáctkovou soustavou?

Binární soustava používá pouze dvě číslice, 0 a 1. Šestnáctková soustava používá šestnáct číslic, od 0 do 9 a A až F. Protože 16 je 2⁴, každá jednotlivá šestnáctková číslice představuje přesně čtyři binární číslice, a šestnáctková soustava se proto často používá jako zkrácený zápis binárních hodnot.

Jak ručně převést desítkové číslo do binární soustavy?

Desítkové číslo opakovaně dělte 2 a zapisujte si každý zbytek. Zbytky přečtěte v opačném pořadí, od posledního dělení k prvnímu. Například 13 ÷ 2 = 6, zbytek 1, 6 ÷ 2 = 3, zbytek 0, 3 ÷ 2 = 1, zbytek 1, 1 ÷ 2 = 0, zbytek 1. Čtením zdola nahoru získáme 1101, což je binární zápis čísla 13.

Jaký je nejvyšší základ, který tento nástroj podporuje?

Nástroj podporuje soustavy se základem od 2 do 36. Základ 36 je nejvyšší, kterého lze dosáhnout jen s deseti číslicemi 0-9 a šestadvaceti písmeny A-Z, protože to dává přesně 36 různých symbolů.

Dokáže tento nástroj převádět záporná čísla?

Ne. Nástroj pracuje pouze s kladnými celými čísly. Chcete-li převést záporné číslo, převeďte jeho absolutní hodnotu a k výsledku pak ručně připojte znaménko minus.

Proč existují šestnáctková a osmičková soustava, když počítače interně používají binární soustavu?

Dlouhé řetězce 1 a 0 se lidem obtížně čtou a snadno se v nich spletou při počítání. Protože 16 a 8 jsou obě mocninami 2, šestnáctkové a osmičkové číslice se přesně mapují na pevné skupiny binárních číslic: čtyři bity pro šestnáctkovou a tři bity pro osmičkovou soustavu. Dlouhé binární hodnoty jsou tak kratší a snáze se kontrolují pouhým pohledem.

Existuje omezení velikosti čísla, které může tento nástroj převést?

Neexistuje praktické omezení. Nástroj používá aritmetiku s libovolnou přesností namísto standardních čísel s pohyblivou řádovou čárkou, takže převádí velmi dlouhé hodnoty, včetně těch větších, než dokáže typická kalkulačka přesně reprezentovat, bez chyb zaokrouhlení.

Reference

1. Ecma International. ECMAScript Language Specification (ECMA-262), Number.MAX_SAFE_INTEGER. TC39 ECMA-262 — u celých čísel nad 2⁵³ − 1 není zaručeno, že je lze přesně vyjádřit jako hodnoty typu Number s dvojitou přesností.
2. The Open Group. chmod: change the file modes (POSIX). Základní specifikace Open Group — operandem režimu příkazu chmod může být "a non-negative octal integer".
3. World Wide Web Consortium. CSS Color Module Level 4. W3C CSS Color 4 — šestnáctkový zápis barvy sRGB "represents the RGB and alpha components in hexadecimal notation".