Převodník číselných soustav: Binární, Hex, Decimální & Oktální

Převodník číselných soustav

Převodník číselných soustav mění způsob zápisu čísla z jedné poziční číselné soustavy na jinou, aniž by se změnila jeho hodnota. Dokáže převést binární číslo na desítkové, desítkové na šestnáctkové nebo převádět mezi libovolnými dvěma soustavami od 2 do 36.

Co je číselná soustava?

Číselná soustava, nazývaná také radix, je počet různých číslic, které soustava používá, než je začne opakovat na nové pozici. Desítková soustava používaná pro každodenní počítání má základ 10. Používá deset číslic, od 0 do 9. Binární soustava má základ 2 a používá pouze 0 a 1. Jakmile základ překročí 10, zastupují chybějící číslice písmena: A představuje 10, B představuje 11 a tak dále až po Z, které představuje 35. Díky tomu může soustava dosáhnout základu 36, což je nejvyšší základ podporovaný většinou převodníků, a používá k tomu pouze 26 písmen abecedy a 10 číslic.

Každá číslice v čísle má poziční hodnotu založenou na mocninách základu. V desítkové soustavě číslo zapsané jako „205“ znamená 2 stovky, 0 desítek a 5 jednotek, protože 100 a 10 jsou mocniny 10. Stejná myšlenka platí v každé soustavě: číslice úplně vpravo se násobí základem⁰, další základem¹, další druhou mocninou základu a tak dále.

Jak převést číslo do jiné soustavy

Převod čísla do desítkové soustavy

Chcete-li převést číslo z libovolné soustavy do desítkové, vynásobte každou číslici základem umocněným na její pozici, přičemž zprava začněte od 0, a potom výsledky sečtěte.

Vzorec: hodnota = dₙ × základⁿ + ... + d₁ × základ¹ + d₀ × základ⁰

Příklad: Převeďte číslo se základem 5, 101, do desítkové soustavy.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Číslo 101 v soustavě se základem 5 se tedy rovná číslu 26 v desítkové soustavě.

Převod desítkového čísla do jiné soustavy

Chcete-li převést desítkové číslo do jiné soustavy, opakovaně je dělte cílovým základem a zapisujte si každý zbytek. Jakmile číslo dosáhne 0, skončete a zbytky přečtěte od posledního získaného po první.

Příklad: Převeďte desítkové číslo 26 do soustavy se základem 5.

• 26 ÷ 5 = 5, zbytek 1
• 5 ÷ 5 = 1, zbytek 0
• 1 ÷ 5 = 0, zbytek 1
• Čtením zbytků zdola nahoru: 101

Tím se potvrzuje předchozí příklad: desítkové číslo 26 je v soustavě se základem 5 rovno číslu 101.

Příklad výpočtu

Převod z binární do desítkové soustavy: Binární číslo 1101 se převede do desítkové takto: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Převod z desítkové do šestnáctkové soustavy: Desítkové číslo 202 se převede do šestnáctkové takto: 202 ÷ 16 = 12, zbytek 10, poté 12 ÷ 16 = 0, zbytek 12. V šestnáctkové soustavě se 10 zapisuje jako A a 12 jako C. Čtením zbytků zdola nahoru získáme CA. Desítkové číslo 202 je tedy v šestnáctkové soustavě CA.

Převod z osmičkové do binární soustavy: Osmičkové číslo 17 se nejprve převede do desítkové soustavy: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Desítkové číslo 15 se poté převede do binární soustavy jako 1111. Číslo 17 v osmičkové soustavě se tedy rovná číslu 1111 v binární soustavě.

Běžné číselné soustavy

Velmi velká čísla

Některé převody zahrnují čísla příliš velká na to, aby je standardní aritmetika s dvojnásobnou přesností dokázala přesně zpracovat, například šestnáctkovou hodnotu o velikosti 64 bitů, jako je FFFFFFFFFFFFFFFF. Tento převodník pracuje s celými čísly libovolné velikosti pomocí celočíselné aritmetiky s libovolnou přesností, takže u dlouhých hodnot nezaokrouhluje ani neztrácí číslice.

Co převodník přijímá

Nástroj načítá celá čísla větší nebo rovná nule zapsaná číslicemi zdrojové soustavy. Písmena lze zadávat v obou velikostech, takže ff i FF znamenají 255 v soustavě se základem 16. Mezery před číslem i za ním se ignorují. Jakýkoli jiný znak, například znaménko minus nebo desetinná tečka, je odmítnut zprávou „Vstup obsahuje neplatné znaky pro soustavu se základem 16“, která uvádí nastavený zdrojový základ.

Často kladené otázky

Jaký je rozdíl mezi binární a šestnáctkovou soustavou?

Binární soustava používá pouze dvě číslice, 0 a 1. Šestnáctková soustava používá šestnáct číslic, od 0 do 9 a A až F. Protože 16 je 2⁴, každá jednotlivá šestnáctková číslice představuje přesně čtyři binární číslice, a šestnáctková soustava se proto často používá jako zkrácený zápis binárních hodnot.

Jak ručně převést desítkové číslo do binární soustavy?

Desítkové číslo opakovaně dělte 2 a zapisujte si každý zbytek. Zbytky přečtěte v opačném pořadí, od posledního dělení k prvnímu. Například 13 ÷ 2 = 6, zbytek 1, 6 ÷ 2 = 3, zbytek 0, 3 ÷ 2 = 1, zbytek 1, 1 ÷ 2 = 0, zbytek 1. Čtením zdola nahoru získáme 1101, což je binární zápis čísla 13.

Jaký je nejvyšší základ, který tento nástroj podporuje?

Nástroj podporuje základy od 2 do 36. Základ 36 je nejvyšší základ dosažitelný pouze pomocí deseti číslic 0–9 a dvaceti šesti písmen A–Z, protože dohromady poskytují přesně 36 různých symbolů.

Dokáže tento nástroj převádět záporná čísla?

Ne. Přijímá pouze celá čísla větší nebo rovná nule. Chcete-li převést záporné číslo, převeďte jeho absolutní hodnotu a potom k výsledku ručně přidejte znaménko minus.

Proč existují šestnáctková a osmičková soustava, když počítače interně používají binární soustavu?

Dlouhé řetězce 1 a 0 se lidem obtížně čtou a snadno se v nich spletou při počítání. Protože 16 a 8 jsou obě mocninami 2, šestnáctkové a osmičkové číslice se přesně mapují na pevné skupiny binárních číslic: čtyři bity pro šestnáctkovou a tři bity pro osmičkovou soustavu. Dlouhé binární hodnoty jsou tak kratší a snáze se kontrolují pouhým pohledem.

Existuje omezení velikosti čísla, které může tento nástroj převést?

Neexistuje praktické omezení. Nástroj používá aritmetiku s libovolnou přesností namísto standardních čísel s pohyblivou řádovou čárkou, takže převádí velmi dlouhé hodnoty, včetně těch větších, než dokáže typická kalkulačka přesně reprezentovat, bez chyb zaokrouhlení.