Generátor aritmetické posloupnosti a kalkulačka

Co je aritmetická posloupnost?

Aritmetická posloupnost je seznam čísel, v němž se každý člen získá přičtením pevné hodnoty k předchozímu členu. Tato pevná hodnota se nazývá společný rozdíl. V posloupnosti 2, 5, 8, 11, 14 je každý člen o 3 větší než předchozí, takže společný rozdíl je 3. Aritmetické posloupnosti se také nazývají aritmetické posloupnosti.

Generátor aritmetické posloupnosti vytváří tento typ seznamu ze tří hodnot:

• První člen (a₁): počáteční číslo.
• Společný rozdíl (d): pevná hodnota přičítaná ke každému členu za účelem získání následujícího členu. Kladná hodnota posloupnost zvětšuje. Záporná hodnota ji zmenšuje.
• Počet členů (n): kolik čísel se v posloupnosti objeví.

Po rozepsání vypadá aritmetická posloupnost takto: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d atd. až po a₁ + (n − 1)d.

Vzorec aritmetické posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti je:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ je hodnota členu na pozici n.
• a₁ je první člen.
• n je pozice členu, počítaná od 1.
• d je společný rozdíl.

Výraz (n − 1) se objevuje proto, že k prvnímu členu ještě nebyl společný rozdíl přičten. U druhého členu byl přičten jednou, u třetího dvakrát a tak dále. U n-tého členu byl společný rozdíl přičten (n − 1)-krát.

Vzorec pro součet aritmetické posloupnosti

Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti je:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ je součet prvních n členů a aₙ je poslední člen zahrnutý v tomto součtu. Tento vzorec funguje proto, že spárováním prvního a posledního členu, druhého a předposledního členu atd. vždy získáme stejný součet dvojice. Vynásobením tohoto součtu dvojice polovinou počtu členů získáme celkový součet.

Ekvivalentní tvar, který nevyžaduje předem znát poslední člen, je:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

Tento vzorec se připisuje matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi, který údajně jako dítě použil metodu párování k sečtení čísel od 1 do 100 během několika sekund: 50 dvojic, z nichž každá měla součet 101, tedy celkem 5 050.

Příklad výpočtu

Zvolme první člen 5, společný rozdíl 3 a 6 členů.

Posloupnost je 5, 8, 11, 14, 17, 20. Její součet je (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

Jak používat kalkulačku aritmetické posloupnosti

1. Zadejte první člen (a₁). Může být kladný, záporný nebo nulový a může obsahovat desetinná místa.
2. Zadejte společný rozdíl (d). Může být také kladný, záporný, nulový nebo desetinný.
3. Zadejte počet členů (n). Musí jít o celé číslo od 1 do 10 000. Desetinné číslo se zaokrouhlí na nejbližší celé číslo.
4. Posloupnost, počet jejích členů a její součet se zobrazí, jakmile jsou vyplněna všechna tři pole. Není třeba stisknout žádné samostatné tlačítko.
5. Zvolte Kopírovat posloupnost, chcete-li zkopírovat celý seznam členů.
6. Zvolte Vymazat, chcete-li vyprázdnit všechna tři pole a začít znovu.

Pravidla pro zadávání

První člen a společný rozdíl mohou být libovolná reálná čísla včetně desetinných a záporných čísel. Počet členů se počítá v celých jednotkách, takže posloupnost nemůže mít polovinu členu. Pole zaokrouhlí desetinnou hodnotu na nejbližší celé číslo: zadáním 10,5 získáte 11 členů. Výsledný počet pak musí být mezi 1 a 10 000. Nula, záporný počet nebo počet vyšší než 10 000 zobrazí chybu místo posloupnosti. Limit 10 000 existuje proto, že vytváření a zobrazování delšího seznamu může zpomalit webový prohlížeč.

Použití aritmetických posloupností

Aritmetické posloupnosti popisují cokoli, co se v pravidelných krocích mění o pevnou hodnotu. Spořicí plán, který začíná na 100 US$ a každý měsíc přidává 25 US$, se řídí aritmetickou posloupností: 100, 125, 150, 175 atd. Stejný vzorec následuje odpočítávací časovač, soubor rovnoměrně rozložených časů schůzek i indexy řádků a sloupců používané v počítačových programech. Studenti běžně používají aritmetické posloupnosti ke studiu vzorců v úvodní algebře, protože díky konstantnímu rozdílu lze pravidlo skryté v seznamu snadno rozpoznat a ověřit.

Souvisejícím vzorcem je geometrická posloupnost, v níž se každý člen získá násobením pevným poměrem namísto přičítání pevné hodnoty, například 2, 6, 18, 54. Geometrické posloupnosti modelují růst, který se v čase zrychluje, například složené úročení, na rozdíl od stálé lineární změny aritmetické posloupnosti.

Historie

Aritmetické posloupnosti patří mezi nejstarší matematické vzorce, které byly studovány. Rhindův matematický papyrus, egyptský dokument z doby kolem 1650 př. n. l., obsahuje úlohy využívající aritmetické posloupnosti k rozdělování zboží. Podobné vzorce se objevují ještě dříve ve starověkých babylonských textech. Řečtí matematici včetně Euklida, který působil kolem 300 př. n. l., později podali formální důkazy o těchto posloupnostech, které se vyučují dodnes.

Často kladené otázky

Co je aritmetická posloupnost jednoduše řečeno?

Je to seznam čísel, v němž se při každém kroku přičítá stejná hodnota, aby vzniklo další číslo. V posloupnosti 2, 5, 8, 11 je touto hodnotou 3.

Jak lze najít n-tý člen bez vypisování všech předchozích členů?

Vzorec aₙ = a₁ + (n − 1) × d udává kterýkoli člen přímo. U posloupnosti začínající na 3 se společným rozdílem 7 je 50. člen roven 3 + (49 × 7) = 346.

Jaký je rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností?

Aritmetická posloupnost při každém kroku přičítá stejnou hodnotu, například 2, 5, 8, 11. Geometrická posloupnost při každém kroku násobí stejnou hodnotou, například 2, 6, 18, 54.

Může aritmetická posloupnost používat záporná čísla?

Ano. První člen, společný rozdíl nebo obojí mohou být záporné. Posloupnost -10, -6, -2, 2, 6 má společný rozdíl 4. Odpočítávání, například 100, 90, 80, 70, má společný rozdíl -10.

Jak se z číselného seznamu určí společný rozdíl?

Odečtěte libovolný člen od následujícího členu: d = a₂ − a₁. V posloupnosti 7, 12, 17, 22 je to 12 − 7 = 5 a také 17 − 12 = 5, což potvrzuje, že jde o aritmetickou posloupnost.

Jaký je maximální počet členů, které může tato kalkulačka vytvořit?

Až 10 000 členů. Limit existuje proto, že vykreslování mnohem delšího seznamu může zpomalit webový prohlížeč.