Krabicový graf - Bezplatný generátor krabicových a vousatých grafů

Co je krabicový graf?

Krabicový graf, nazývaný také krabicový diagram s vousy, je diagram, který shrnuje soubor čísel pomocí pěti hodnot: minima, prvního kvartilu, mediánu, třetího kvartilu a maxima. Ukazuje, kde se nachází většina dat, a označuje neobvyklé hodnoty, nazývané odlehlé hodnoty, aniž by uváděl každý datový bod.

Krabicové grafy jsou běžné ve statistice, vědě a obchodních zprávách, protože umožňují na první pohled porovnat několik skupin čísel.

Souhrn pěti čísel

Krabicový graf se vytváří z pěti čísel vypočtených po seřazení dat od nejmenšího po největší.

• Minimum: nejmenší hodnota, která není odlehlá.
• První kvartil (Q1): hodnota, pod kterou leží přibližně čtvrtina dat.
• Medián (Q2): prostřední hodnota souboru dat.
• Třetí kvartil (Q3): hodnota, pod kterou leží přibližně tři čtvrtiny dat.
• Maximum: největší hodnota, která není odlehlá.

Krabice v grafu sahá od Q1 do Q3. Čára uvnitř krabice označuje medián. Tenké čáry zvané vousy vybíhají z krabice směrem k minimu a maximu. Odlehlé hodnoty jsou zakresleny jako samostatné body za vousy.

Vzorec krabicového grafu

Pro soubor dat seřazený vzestupně s n hodnotami:

Medián

$$\text{Medián} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ je liché} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ je sudé} \end{cases}$$

Kvartily. Seřazená data rozdělte na dolní a horní polovinu. Je-li n liché, medián z obou polovin vynechte. Potom:

$$Q_1 = \text{medián dolní poloviny}, \qquad Q_3 = \text{medián horní poloviny}$$

Tato metoda se často nazývá exkluzivní metoda. Existují i jiné metody, které mohou u malých souborů dat dávat mírně odlišné hodnoty Q1 a Q3, ale tato kalkulačka používá exkluzivní metodu.

Mezikvartilové rozpětí (IQR)

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Hradby a vousy. Hradby vymezují hranici pro odlehlé hodnoty. Leží ve vzdálenosti 1,5 násobku IQR za kvartily:

$$\text{Dolní hradba} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{Horní hradba} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

Vous nekončí přesně u hradby. Končí u nejextrémnějšího datového bodu, který ještě leží uvnitř hradeb:

$$\text{Dolní vous} = \min\{x_i : x_i \geq \text{Dolní hradba}\}, \qquad \text{Horní vous} = \max\{x_i : x_i \leq \text{Horní hradba}\}$$

Odlehlé hodnoty. Každá hodnota pod dolní hradbou nebo nad horní hradbou je odlehlá a zakresluje se jako samostatný bod, nikoli jako součást vousu.

Jak vypočítat krabicový graf krok za krokem

1. Seřaďte data od nejmenšího po největší.
2. Najděte medián. Při lichém počtu je to prostřední hodnota. Při sudém počtu je to průměr dvou prostředních hodnot.
3. Najděte Q1: medián dolní poloviny dat (při lichém počtu se samotný medián vynechává).
4. Najděte Q3: medián horní poloviny dat podle stejného pravidla.
5. Vypočítejte IQR jako rozdíl Q3 minus Q1.
6. Vypočítejte dolní a horní hranici pomocí 1,5násobku IQR.
7. Označte každou hodnotu mimo hranice jako odlehlou.
8. Nastavte vousy na nejmenší a největší hodnotu, které zůstávají uvnitř hranic.

Příklad

Uvažujme tento soubor dat s 11 hodnotami: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Data jsou již seřazena.

Při 11 hodnotách (lichý počet) je medián 6. hodnota: 40.

Dolní polovina je 6, 7, 15, 36, 39 (pět hodnot, medián je vynechán). Jejím mediánem je prostřední hodnota: Q1 = 15.

Horní polovina je 41, 42, 43, 47, 49. Jejím mediánem je prostřední hodnota: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Dolní hradba = 15 − 1,5 × 28 = −27. Horní hradba = 43 + 1,5 × 28 = 85. Všechny hodnoty v souboru dat leží mezi −27 a 85, takže nejsou přítomny žádné odlehlé hodnoty a vousy sahají ke skutečnému minimu a maximu: min = 6, max = 49.

Nyní porovnejme soubor dat s odlehlou hodnotou: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Zde Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 a IQR = 6, což dává horní hradbu 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Hodnota 50 leží nad touto hradbou, takže se zakreslí jako odlehlá hodnota a horní vous končí u 11, největší hodnoty, která stále leží uvnitř hradeb, nikoli u 50.

Jak číst krabicový graf

Krabice pokrývá prostředních 50 % dat, takže široká krabice znamená, že prostřední část dat je více rozptýlená, zatímco úzká krabice znamená jejich těsné seskupení. Pokud je čára mediánu blíže k jednomu okraji krabice, data se vychylují neboli jsou zešikmená směrem k delší straně. Vous, který je výrazně delší než druhý, naznačuje, že data na této straně více ubývají. Body za vousy jsou odlehlé hodnoty a často si zaslouží bližší prozkoumání, protože mohou představovat skutečně krajní hodnoty nebo chyby v datech.

Běžné použití

Krabicové grafy se používají k porovnávání skupin vedle sebe, například výsledků testů v několika třídách, dodacích lhůt dvou dodavatelů nebo měření z experimentu s kontrolní skupinou. Protože krabicový graf zhušťuje celé rozdělení do pěti čísel, lze jich několik umístit do jednoho grafu, což usnadňuje porovnání rozptýlení a typických hodnot mezi skupinami více než tabulka nezpracovaných čísel.

Krabicové grafy ve srovnání s jinými grafy

Histogram zobrazuje úplný tvar rozdělení podrobněji, ale hůře se používá při současném porovnávání mnoha skupin. Violinový graf přidává kolem krabice křivku hustoty a přesněji ukazuje, kde se hodnoty shlukují. Bodový graf zobrazuje vztah mezi dvěma proměnnými, což krabicový graf nedokáže. Správná volba závisí na tom, zda je cílem porovnat skupiny (krabicový graf), podrobně zobrazit tvar jednoho rozdělení (histogram nebo violinový graf), nebo zkoumat vztah (bodový graf).

Dějiny

Statistik John Tukey představil krabicový graf v roce 1970 v předběžném vydání své knihy Exploratory Data Analysis. Široce známým se graf stal po formálním vydání knihy v roce 1977. Tukey svou verzi nazval schematickým grafem. Používal už hradby ve vzdálenosti 1,5 násobku rozpětí střední poloviny dat a body za nimi vykresloval zvlášť jako odlehlé hodnoty. V roce 1978 popsali statistici McGill, Tukey a Larsen vrubovou verzi, která zobrazuje interval spolehlivosti kolem mediánu.

Často kladené otázky

K čemu se krabicový graf používá? Ukazuje, jak jsou hodnoty v souboru čísel rozptýlené, a označuje pravděpodobné odlehlé hodnoty pomocí minima, Q1, mediánu, Q3 a maxima. Je zvláště užitečný pro porovnání několika skupin v jednom grafu.

Jak se čte krabicový graf? Krabice sahá od Q1 do Q3 a pokrývá prostřední polovinu dat. Čára uvnitř krabice představuje medián. Vousy sahají k nejkrajnějším hodnotám, které nejsou odlehlé, a hodnoty za vousy se zobrazují jako samostatné body.

Jak v krabicovém grafu identifikovat odlehlé hodnoty? Hodnota je odlehlá, pokud leží pod Q1 − 1,5 × IQR nebo nad Q3 + 1,5 × IQR.

Jaký je rozdíl mezi krabicovým grafem a histogramem? Krabicový graf zhušťuje rozdělení do pěti čísel a odlehlých hodnot, takže je kompaktní a vhodný pro porovnávání skupin. Histogram zobrazuje četnost hodnot v jednotlivých rozmezích, a poskytuje tak podrobnější informace o tvaru jednoho rozdělení.

Dokáže tato kalkulačka pracovat s malými soubory dat? Tato kalkulačka potřebuje alespoň pět čísel, aby vytvořila souhrn pěti čísel. Krabicové grafy jsou informativnější u větších souborů dat, protože několik málo hodnot poskytuje jen malou představu o rozptýlení nebo odlehlých hodnotách.

Co znamená, když krabicový graf vypadá zešikmeně? Pokud je medián blíže k Q1, mají data delší pravý ocas. Pokud je blíže k Q3, mají data delší levý ocas.

Reference

1. Národní institut standardů a technologie. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot. NIST e-Handbook: krabicový graf — krabice zahrnuje střední 50 % dat; při použití hradeb končí vousy v nejextrémnějších bodech uvnitř vnitřních hradeb.
2. Národní institut standardů a technologie. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?. NIST e-Handbook: odlehlé hodnoty — vnitřní hradby na úrovni Q1 − 1,5 × IQR a Q3 + 1,5 × IQR; body za nimi jsou odlehlé hodnoty.
3. Wickham, H. a Stryjewski, L. 40 years of boxplots (2011). 40 let krabicových grafů (PDF) — Tukey zavedl krabicový graf v roce 1970 a formálně jej publikoval v roce 1977; jeho schematický graf používal hradby 1,5 ×; vrubový krabicový graf McGilla, Tukeyho a Larsena z roku 1978 zobrazuje intervaly spolehlivosti kolem mediánu.