Kalkulačka Z-skóre - Nástroj pro standardní skóre a pravděpodobnost

Co je z-skóre?

Z-skóre, nazývané také standardní skóre, udává, o kolik směrodatných odchylek se datový bod odchyluje od průměru datového souboru. Z-skóre 0 znamená, že hodnota se rovná průměru. Kladné z-skóre znamená, že hodnota leží nad průměrem, záporné z-skóre znamená, že leží pod ním.

Vzorec pro z-skóre

Z-skóre datového bodu se vypočítá podle tohoto vzorce:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Kde:

• $z$ je z-skóre
• $x$ je datový bod
• $\mu$ je průměr datového souboru
• $\sigma$ je směrodatná odchylka datového souboru

Směrodatná odchylka nemůže být nulová, protože dělení nulou nemá definovaný výsledek. Nemůže být ani záporná, protože směrodatná odchylka je z definice vždy nulová nebo kladná.

Jak vypočítat z-skóre

1. Vypočítejte průměr datového souboru tak, že sečtete všechny hodnoty a vydělíte je jejich počtem, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Vypočítejte směrodatnou odchylku. Nejprve vypočítejte rozptyl, tedy průměr čtverců odchylek od průměru, a poté z něj určete druhou odmocninu.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. Od datového bodu odečtěte průměr a výsledek vydělte směrodatnou odchylkou.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Praktický příklad

Student získal v testu 85 bodů. Průměr třídy je 75 bodů a směrodatná odchylka výsledků třídy je 10.

• Datový bod: $x = 85$
• Průměr: $\mu = 75$
• Směrodatná odchylka: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Studentovo z-skóre je 1,0. Jeho výsledek je jednu směrodatnou odchylku nad průměrem třídy.

Z-skóre a kumulativní pravděpodobnost

Z-skóre lze převést na kumulativní pravděpodobnost, tedy pravděpodobnost, že náhodně vybraná hodnota z normálního rozdělení bude rovna danému bodu nebo menší. Jde o plochu pod křivkou standardního normálního rozdělení nalevo od $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Pro z-skóre studenta 1,0 je kumulativní pravděpodobnost přibližně 0,8413, tedy 84,1 %. Kalkulačka zobrazuje z-skóre na čtyři desetinná místa a pravděpodobnost v procentech na dvě desetinná místa, takže tento příklad zobrazí 1,0000 a 84,13 %. To znamená, že student dosáhl lepšího výsledku než zhruba 84 % třídy, za předpokladu, že skóre mají normální rozdělení.

Několik referenčních bodů:

Interpretace z-skóre

V normálním rozdělení leží asi 95 % hodnot do vzdálenosti 2 směrodatných odchylek od průměru a asi 99,7 % do vzdálenosti 3. Toto se nazývá empirické pravidlo nebo pravidlo 68-95-99,7. Z-skóre za hranicí +3 nebo -3 jsou proto vzácná a často se kontrolují jako možné odlehlé hodnoty, tedy hodnoty, které se výrazně liší od ostatních dat.

Z-skóre také umožňují porovnávat hodnoty měřené na různých škálách. Výsledek testu a měření výšky nelze porovnávat přímo, ale jejich z-skóre ano, protože obě vyjadřují vzdálenost od průměru ve stejných jednotkách směrodatné odchylky.

Z-skóre versus t-skóre

Z-skóre používá směrodatnou odchylku základního souboru, takže předpokládá, že je tato hodnota známa. T-skóre se používá tehdy, když směrodatná odchylka základního souboru není známa a místo ní se použije výběrová směrodatná odchylka. Starší pravidlo doporučovalo používat t-rozdělení jen pro výběry o velikosti 30 a méně, ale současná praxe je používat je vždy, když výběrová směrodatná odchylka odhaduje hodnotu základního souboru. T-rozdělení má těžší chvosty než normální křivka, což odpovídá vyšší nejistotě.

Běžné použití z-skóre

• Standardizované testování. Porovnání hrubého skóre studenta s celkovým rozdělením výsledků.
• Detekce odlehlých hodnot. Označení datových bodů, které jsou v datovém souboru daleko od průměru.
• Kontrola kvality. Ověření, zda vyrobený předmět spadá do přijatelného rozmezí.
• Testování hypotéz. Z-testy používají z-skóre k posouzení, zda se průměr výběru významně liší od známého průměru základního souboru.

Dějiny

Z-skóre vychází z normálního rozdělení. Abraham de Moivre odvodil normální křivku v roce 1733 jako aproximaci binomického rozdělení. Carl Friedrich Gauss a Pierre-Simon Laplace ji dále rozpracovali.

Často kladené otázky

Co je z-skóre ve statistice? Z-skóre je počet směrodatných odchylek, o které se datový bod liší od průměru svého datového souboru. Vypočítá se podle vzorce z = (x − μ) / σ.

Jak interpretovat výsledek z-skóre? Z-skóre 0 znamená, že hodnota se rovná průměru. Kladná hodnota je nad průměrem a záporná hodnota je pod ním. Hodnoty vyšší než +3 nebo nižší než -3 jsou neobvyklé.

Může být z-skóre záporné? Ano. Záporné z-skóre jednoduše znamená, že datový bod je pod průměrem. Z-skóre -2 znamená, že hodnota je 2 směrodatné odchylky pod průměrem.

Jaký je rozdíl mezi z-skóre a t-skóre? Z-skóre se používá, když je směrodatná odchylka základního souboru známa. T-skóre se používá, když známa není a místo ní se použije výběrová směrodatná odchylka, bez ohledu na velikost výběru.

Co znamená kumulativní pravděpodobnost u z-skóre? Jde o pravděpodobnost, že náhodně vybraná hodnota z normálního rozdělení bude menší nebo rovna danému z-skóre. Odpovídá ploše pod křivkou normálního rozdělení nalevo od daného bodu.

Co se stane, když je směrodatná odchylka nulová? Z-skóre není definováno, protože vzorec by vyžadoval dělení nulou. Směrodatná odchylka rovná nule znamená, že všechny hodnoty v datovém souboru jsou stejné.

Reference

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. Standardní normální rozdělení — vzorec pro z-skóre z = (x − μ)/σ a empirické pravidlo 68-95-99,7.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabulka standardního normálního rozdělení — plocha pod normální křivkou od 0 do z (0,34134 při z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. Studentovo t-rozdělení — kdy použít t místo z a jeho těžší chvosty.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. Životopis Abrahama de Moivrea — de Moivreovo odvození normální křivky z roku 1733.