Kalkulačka Z-skóre - Nástroj pro standardní skóre a pravděpodobnost

Co je z-skóre?

Z-skóre, nazývané také standardizované skóre, vyjadřuje, kolik směrodatných odchylek se hodnota datového bodu nachází od průměru datového souboru. Z-skóre 0 znamená, že hodnota se rovná průměru. Kladné z-skóre znamená, že hodnota je nad průměrem, a záporné z-skóre znamená, že je pod ním.

Vzorec pro z-skóre

Z-skóre datového bodu se vypočítá podle tohoto vzorce:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Kde:

• $z$ je z-skóre
• $x$ je datový bod
• $\mu$ je průměr datového souboru
• $\sigma$ je směrodatná odchylka datového souboru

Směrodatná odchylka nemůže být nulová, protože dělení nulou nemá definovaný výsledek. Nemůže být ani záporná, protože směrodatná odchylka je z definice vždy nulová nebo kladná.

Jak vypočítat z-skóre

1. Vypočítejte průměr datového souboru tak, že sečtete všechny hodnoty a vydělíte je jejich počtem, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Vypočítejte směrodatnou odchylku. Nejprve vypočítejte rozptyl, tedy průměr čtverců odchylek od průměru, a poté z něj určete druhou odmocninu.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Jde o směrodatnou odchylku základního souboru, která se dělí hodnotou $n$. Pokud jsou čísla výběrem z větší skupiny, dělte místo toho hodnotou $n - 1$.

3. Od datového bodu odečtěte průměr a výsledek vydělte směrodatnou odchylkou.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Příklad výpočtu

Student získal v testu 85 bodů. Průměr třídy je 75 bodů a směrodatná odchylka výsledků třídy je 10.

• Datový bod: $x = 85$
• Průměr: $\mu = 75$
• Směrodatná odchylka: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Studentovo z-skóre je 1,0. Jeho výsledek je jednu směrodatnou odchylku nad průměrem třídy.

Z-skóre a kumulativní pravděpodobnost

Z-skóre lze převést na kumulativní pravděpodobnost, tedy pravděpodobnost, že náhodně vybraná hodnota z normálního rozdělení bude rovna danému bodu nebo menší. Jde o plochu pod křivkou standardního normálního rozdělení nalevo od $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

U studentova z-skóre 1,0 je kumulativní pravděpodobnost přibližně 0,8413 neboli 84,13 %. To znamená, že student dosáhl lepšího výsledku než přibližně 84 % třídy, pokud výsledky odpovídají normálnímu rozdělení. Kalkulačka zobrazuje z-skóre na čtyři desetinná místa a kumulativní pravděpodobnost jako procento na dvě desetinná místa.

Několik referenčních bodů:

Interpretace z-skóre

Většina hodnot v normálním rozdělení leží v rozmezí 2 směrodatných odchylek od průměru. Z-skóre vyšší než +3 nebo nižší než -3 jsou vzácná a často se považují za odlehlé hodnoty, tedy hodnoty, které se výrazně liší od ostatních dat.

Z-skóre také umožňují porovnávat hodnoty měřené na různých škálách. Výsledek testu a měření výšky nelze porovnávat přímo, ale jejich z-skóre ano, protože obě vyjadřují vzdálenost od průměru ve stejných jednotkách směrodatné odchylky.

Z-skóre versus t-skóre

Z-skóre předpokládá, že směrodatná odchylka základního souboru je známá, a nejlépe se používá u velkých výběrů. T-skóre se používá místo něj, když směrodatná odchylka základního souboru není známá a výběr je malý, obvykle s méně než 30 pozorováními. Obě skóre vyjadřují vzdálenost od průměru, ale t-skóre vychází z t-rozdělení, které má pro zohlednění dodatečné nejistoty u malého výběru těžší konce.

Běžné použití z-skóre

• Standardizované testování. Porovnání hrubého skóre studenta s celkovým rozdělením výsledků.
• Detekce odlehlých hodnot. Označení datových bodů, které jsou v datovém souboru daleko od průměru.
• Kontrola kvality. Ověření, zda vyrobený předmět spadá do přijatelného rozmezí.
• Testování hypotéz. Z-testy používají z-skóre k posouzení, zda se průměr výběru významně liší od známého průměru základního souboru.

Dějiny

Z-skóre vychází z normálního rozdělení, které popsal Abraham de Moivre v roce 1733 a dále rozvinuli Carl Friedrich Gauss a Pierre-Simon Laplace na počátku 19. století. Standardizace hodnot na jednotky směrodatné odchylky se stala běžnou praxí v psychologickém testování a kontrole kvality během 20. století.

Často kladené otázky

Co je z-skóre ve statistice? Z-skóre je počet směrodatných odchylek, o které se datový bod liší od průměru svého datového souboru. Vypočítá se podle vzorce z = (x − μ) / σ.

Jak interpretovat výsledek z-skóre? Z-skóre 0 znamená, že hodnota se rovná průměru. Kladná hodnota je nad průměrem a záporná hodnota je pod ním. Hodnoty vyšší než +3 nebo nižší než -3 jsou neobvyklé.

Může být z-skóre záporné? Ano. Záporné z-skóre jednoduše znamená, že datový bod je pod průměrem. Z-skóre -2 znamená, že hodnota je 2 směrodatné odchylky pod průměrem.

Jaký je rozdíl mezi z-skóre a t-skóre? Z-skóre se používá u velkých výběrů, když je známá směrodatná odchylka základního souboru. T-skóre se používá u malých výběrů, obecně s méně než 30 pozorováními, když tato odchylka není známá.

Co znamená kumulativní pravděpodobnost u z-skóre? Jde o pravděpodobnost, že náhodně vybraná hodnota z normálního rozdělení bude menší nebo rovna danému z-skóre. Odpovídá ploše pod křivkou normálního rozdělení nalevo od daného bodu.

Co se stane, když je směrodatná odchylka nulová? Z-skóre není definováno, protože vzorec by vyžadoval dělení nulou. Směrodatná odchylka rovná nule znamená, že všechny hodnoty v datovém souboru jsou stejné.

Reference

1. Standardizované skóre, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normální rozdělení a z-skóre, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review