Kalkulačka kritických hodnot | Z-test, t-test, Chi-Square test

Kritická hodnota je mezní bod v rozdělení pravděpodobnosti, který v testu hypotéz označuje hranici „oblasti zamítnutí“. Pokud testová statistika překročí kritickou hodnotu, je výsledek považován za statisticky významný a nulová hypotéza se zamítá. Tato kalkulačka určuje kritické hodnoty pro tři nejběžnější testy: Z-test, t-test a chí-kvadrát test.

Co je kritická hodnota?

Ve statistice výzkumníci často vycházejí z nulové hypotézy, což je jednoduchý předpoklad, že se neděje nic neobvyklého (například že nový lék nemá žádný účinek). Z výběrových údajů se vypočítá testová statistika a porovná se s kritickou hodnotou, aby se určilo, zda údaje poskytují dostatek důkazů proti nulové hypotéze.

Kritická hodnota závisí na třech věcech: volbě testu, hladině významnosti (značené jako α, řecké písmeno alfa) a na tom, zda je test jednostranný, nebo dvoustranný. Hladina významnosti je pravděpodobnost chybného zamítnutí pravdivé nulové hypotézy; často se nastavuje na 0,05 (5 %) nebo 0,01 (1 %).

Jednostranný test ověřuje účinek v jediném směru, například „větší než“. Má jednu kritickou hodnotu. Dvoustranný test ověřuje účinek v obou směrech a má dvě kritické hodnoty, po jedné na každé straně rozdělení.

Jak vypočítat kritickou hodnotu

1. Zvolte test: Z-test (velké výběry nebo známý rozptyl populace), t-test (malé výběry s neznámým rozptylem) nebo chí-kvadrát test (kategoriální údaje nebo test dobré shody).
2. Zvolte typ testu podle počtu stran: jednostranný, nebo dvoustranný.
3. Zvolte hladinu významnosti α, číslo mezi 0 a 1. Běžné hodnoty jsou 0,10, 0,05 a 0,01.
4. U t-testu nebo chí-kvadrát testu zadejte počet stupňů volnosti (df). U t-testu se df rovná velikosti výběru minus 1. U chí-kvadrát testu dobré shody se df rovná počtu kategorií minus 1.
5. Vyhledejte (nebo vypočítejte) hodnotu, která odřízne zvolenou plochu chvostu pod křivkou rozdělení. To je kritická hodnota.

Vzorce pro kritickou hodnotu

Každý vzorec používá inverzní distribuční funkci: hodnotu x, pro kterou se plocha pod křivkou až do x rovná cílové pravděpodobnosti p.

Vzorec pro Z-test

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(jednostranný)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(dvoustranný)}$

Φ⁻¹ je inverzní distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Vzorec pro t-test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(jednostranný)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(dvoustranný)}$

t⁻¹(p, df) je inverzní distribuční funkce t-rozdělení s df stupni volnosti.

Vzorec pro chí-kvadrát test

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(jednostranný)}$ $\chi^2_{\text{dolní}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{horní}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(dvoustranný)}$

Chí-kvadrát rozdělení nabývá pouze kladných hodnot, takže obě kritické hodnoty jsou kladné a dolní hodnota je menší než horní.

Příklad: kritická hodnota Z-testu

Tým kontroly kvality chce kritickou hodnotu jednostranného Z-testu pro α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Každá testová statistika nad 1,6449 spadá do oblasti zamítnutí.

Příklad: kritická hodnota t-testu

Výzkumník provádí experiment s 20 účastníky, takže df = 19. Chce dvoustrannou kritickou hodnotu pro α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Oblasti zamítnutí jsou t < -2,8609 a t > 2,8609.

Příklad: kritické hodnoty chí-kvadrát testu

Analytik porovnává pozorované a očekávané četnosti v 5 kategoriích, takže df = 4. Chce dvoustranné kritické hodnoty pro α = 0,05.

$\chi^2_{\text{dolní}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{horní}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Chí-kvadrát statistika pod 0,4844 nebo nad 11,1433 by spadala do oblasti zamítnutí.

Běžné kritické hodnoty

S rostoucím počtem stupňů volnosti se kritické hodnoty t-rozdělení přibližují odpovídajícím hodnotám Z-testu, protože t-rozdělení se blíží normálnímu rozdělení.

Často kladené otázky

K čemu se kritická hodnota používá? Stanovuje hranici pro rozhodnutí, zda je testová statistika natolik extrémní, aby bylo možné zamítnout nulovou hypotézu. Pokud statistika překročí kritickou hodnotu, je výsledek statisticky významný při zvolené hladině α.

Jaký je rozdíl mezi jednostrannou a dvoustrannou kritickou hodnotou? Jednostranný test hledá účinek v jednom směru a má jedinou kritickou hodnotu. Dvoustranný test hledá účinek v obou směrech a má dvě kritické hodnoty, které jsou u Z-testu a t-testu umístěny symetricky kolem středu. Při stejné hodnotě α je dvoustranná kritická hodnota v absolutní hodnotě větší než jednostranná, protože stejná celková pravděpodobnost se rozděluje mezi dva chvosty místo jednoho.

Kdy se má použít Z-test místo t-testu? Z-test se používá, když je znám rozptyl populace nebo je výběr velký, obvykle 30 či více pozorování. T-test se používá u menších výběrů s neznámým rozptylem populace. S rostoucí velikostí výběru se kritické hodnoty t-testu přibližují kritickým hodnotám Z-testu.

Může být kritická hodnota záporná? Ano. Rozdělení Z-testu a t-testu jsou symetrická kolem nuly, takže dvoustranný test má jednu zápornou a jednu kladnou kritickou hodnotu. Kritické hodnoty chí-kvadrát testu jsou vždy kladné, protože chí-kvadrát rozdělení je definováno pouze pro hodnoty nula nebo větší.

Jak stupně volnosti ovlivňují kritickou hodnotu? Stupně volnosti vyjadřují, kolik nezávislých informací je v údajích, obvykle velikost výběru minus počet již odhadnutých parametrů. Menší počet stupňů volnosti vede k širším rozdělením s výraznějšími chvosty a většími kritickými hodnotami. S větším počtem stupňů volnosti se t-rozdělení a chí-kvadrát rozdělení přibližují normálnímu rozdělení.

Která kritická hodnota odpovídá hladině spolehlivosti 95 %? Hladina spolehlivosti 95 % odpovídá α = 0,05. U dvoustranného Z-testu jsou kritické hodnoty ±1,9600. U jednostranného Z-testu je kritická hodnota 1,6449.

Dějiny

Karl Pearson zavedl chí-kvadrát test v 1900. William Sealy Gosset, který publikoval pod jménem „Student“, vyvinul t-rozdělení v 1908 pro práci s malými výběry v pivovaru Guinness. Ronald Fisher formalizoval testování významnosti a kritické hodnoty ve 1920. letech ve své knize Statistical Methods for Research Workers. Před nástupem počítačů výzkumníci vyhledávali kritické hodnoty v tištěných tabulkách; kalkulačky a software je nyní počítají přímo ze vzorců rozdělení.

Reference

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.“ Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, „Critical Values“.