Kalkulačka objemu kužele - Výpočet objemu kužele a komolého kužele

Co je kalkulačka objemu kužele?

Kalkulačka objemu kužele vypočítá objem kužele nebo komolého kužele (komolý kužel) z jeho poloměru a výšky. Kužel je těleso s jednou rovinnou kruhovou podstavou, které se plynule zužuje do jediného bodu zvaného vrchol. Komolý kužel je část kužele, která zůstane po odříznutí vrcholu řezem rovnoběžným s podstavou, takže má dvě kruhové podstavy.

Vzorec pro objem kužele

Objem celého kužele závisí na poloměru jeho podstavy a na jeho výšce. Rovná se třetině obsahu podstavy krát výška.

V = (1/3) × π × r² × h

• r je poloměr kruhové podstavy.
• h je výška měřená přímo od podstavy k vrcholu.
• π (pí) je přibližně 3,14159.

Příklad

Kužel s poloměrem podstavy 3 jednotky a výškou 4 jednotky má tento objem:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 krychlové jednotky

Jak vypočítat objem kužele pomocí kalkulačky

Kalkulačka přijímá tři vstupy:

1. Poloměr — poloměr podstavy.
2. Výška — výška kužele od podstavy k vrcholu.
3. Zkrácená výška (volitelné) — výška ponechané části komolého kužele, pokud je vrchol kužele odříznut.

Pokud zkrácenou výšku necháte prázdnou nebo zadáte 0, vyjde objem celého, neodříznutého kužele. Zadáte-li kladnou zkrácenou výšku menší než plná výška, vyjde objem komolého kužele, který po řezu zbude.

Vzorec pro objem komolého kužele

Objem komolého kužele závisí na poloměrech jeho dvou kruhových ploch a na jeho vlastní výšce. Standardní vzorec pro komolý kužel zní:

V = (1/3) × π × h × (R² + r² + R × r)

• R je poloměr větší spodní podstavy.
• r je poloměr menší horní podstavy.
• h je výška komolého kužele měřená mezi jeho dvěma podstavami.

Kalkulačka se neptá přímo na horní poloměr. Místo toho přijímá poloměr podstavy, výšku, kterou by kužel měl, kdyby nebyl odříznut, a zkrácenou výšku (výšku ponechané části). Horní poloměr pak vypočítá pomocí podobných trojúhelníků:

horní poloměr = poloměr podstavy × (1 − zkrácená výška ÷ plná výška)

Příklad

Předpokládejme, že poloměr podstavy je 3 jednotky, plná (neodříznutá) výška kužele je 12 jednotek a zkrácená výška je 4 jednotky.

Poloměr horní podstavy = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 jednotky

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 krychlové jednotky

Pokud je zkrácená výška rovna plné výšce nebo větší, nezbývá žádný vrchol k odstranění, a kalkulačka proto vrátí objem celého kužele.

Historie vzorce pro objem kužele

Starověcí řečtí matematici jako první spojili objem kužele s objemem válce. Démokritovi, činnému na konci 5. století př. n. l., se připisuje tvrzení, že objem kužele se rovná třetině objemu válce se stejnou podstavou a výškou. Nedokázal to. Eudoxos z Knidu, působící v následujícím století, podal první přísný důkaz technikou zvanou metoda vyčerpání, raným předchůdcem integrálního počtu. Vzorec V = (1/3)πr²h se od té doby nezměnil.

Použití výpočtů objemu kužele

Objemy kuželů a komolých kuželů se řeší vždy, když se těleso zužuje od široké podstavy do špičky nebo k menší horní podstavě. Inženýři tyto vzorce používají k navrhování kuželových nádrží, zásobníků a trychtýřů. Architekti je používají k odhadu množství materiálu pro kuželové střechy. Geologové pomocí nich odhadují objem sopečných kuželů a podobných tvarů reliéfu.

Často kladené otázky

Jak vypočítat objem kužele?

Vynásobte π druhou mocninou poloměru, výsledek vynásobte výškou a poté jej vydělte číslem 3: V = (1/3)πr²h. Kužel s poloměrem 5 cm a výškou 10 cm má objem přibližně 261,80 krychlového centimetru.

Jaký je vzorec pro objem komolého kužele?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), kde R a r jsou poloměry dvou kruhových podstav a h je vlastní výška komolého kužele měřená mezi těmito podstavami.

Jak kalkulačka zjistí poloměr horní podstavy komolého kužele?

Využívá podobné trojúhelníky. Horní poloměr se rovná poloměru podstavy vynásobenému (1 − zkrácená výška ÷ plná výška kužele). Předpokládá se, že komolý kužel vznikl z kužele s přímými stranami.

Co se stane, když je zkrácená výška větší nebo rovna výšce?

Kalkulačka považuje těleso za celý, neodříznutý kužel a vrátí V = (1/3)πr²h s použitím zadaného poloměru a výšky.

Co se stane, pokud je poloměr nebo výška nulová či záporná?

Kalkulačka vyžaduje, aby poloměr i výška byly větší než nula. Je-li některá z hodnot nulová, záporná nebo prázdná, zobrazí místo objemu chybovou zprávu.

Jak vypočítat objem kužele z průměru místo z poloměru?

Vydělte průměr číslem 2, abyste získali poloměr, a poté obvyklým způsobem použijte V = (1/3)πr²h.

Reference

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: kužel — objem kužele V = (1/3)πr²h, tedy třetina obsahu podstavy krát výška.
2. Weisstein, Eric W. Conical Frustum. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: komolý kužel — objem komolého kužele V = (1/3)πh(R₁² + R₁R₂ + R₂²).
3. O'Connor, J. J. a Robertson, E. F. Democritus of Abdera. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. MacTutor: Démokritos — Démokritos jako první vyslovil pravidlo jedné třetiny pro kužel; Eudoxos je později dokázal.