Kalkulačka objemu kužele - Výpočet objemu kužele a komolého kužele

Co je kalkulačka objemu kužele?

Kalkulačka objemu kužele vypočítá objem kužele nebo komolého kužele (komolý kužel) z jeho poloměru a výšky. Kužel je těleso s jednou rovinnou kruhovou podstavou, které se plynule zužuje do jediného bodu zvaného vrchol. Komolý kužel je část kužele, která zůstane po odříznutí vrcholu řezem rovnoběžným s podstavou, takže má dvě kruhové podstavy.

Vzorec pro objem kužele

Objem celého kužele závisí na poloměru jeho podstavy a na jeho výšce.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V je objem kužele.
• r je poloměr kruhové podstavy.
• h je výška měřená přímo od podstavy k vrcholu.
• π (pí) je přibližně 3,14159.

Příklad výpočtu

Kužel s poloměrem podstavy 3 jednotek a výškou 4 jednotek má tento objem:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 krychlových jednotek

Jak vypočítat objem kužele pomocí kalkulačky

Kalkulačka přijímá tři vstupy:

1. Poloměr — poloměr podstavy.
2. Výška — výška kužele od podstavy k vrcholu.
3. Výška řezu od podstavy (volitelné) — vzdálenost řezu od podstavy, pokud je vrchol odříznutý.

Pokud výšku řezu ponecháte prázdnou nebo zadáte 0, vypočítá se objem celého, neodříznutého kužele. Zadáním výšky řezu menší než celková výška se vypočítá objem komolého kužele pod řezem. Obrázek pod vstupy označuje na tělese stejné tři rozměry.

Kalkulačka odmítne poloměr nebo výšku, které jsou nulové, záporné, prázdné nebo příliš velké na zpracování jako běžné číslo. V takových případech zobrazí upozornění místo objemu, takže nikdy nezobrazí smyšlenou hodnotu.

Vzorec pro objem komolého kužele

Objem komolého kužele závisí na poloměrech jeho dvou kruhových podstav a na jeho vlastní výšce.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R je poloměr větší spodní podstavy.
• r je poloměr menší horní podstavy.
• h je výška komolého kužele měřená mezi jeho dvěma podstavami.

Kalkulačka nepožaduje poloměr horní podstavy přímo. Místo toho přijímá poloměr podstavy, výšku, kterou by kužel měl, kdyby nebyl odříznutý, a výšku řezu. Poté pomocí podobnosti trojúhelníků vypočítá poloměr horní podstavy:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

kde c je výška řezu nad základnou a f celková výška neodříznutého kužele.

Příklad výpočtu

Předpokládejme, že poloměr podstavy je 3 jednotek, celková výška celého (neodříznutého) kužele je 12 jednotek a výška řezu je 4 jednotek.

Poloměr horní podstavy = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 jednotek

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 krychlových jednotek

Pokud je výška řezu rovna celkové výšce nebo je větší, řez prochází vrcholem nebo nad ním, takže se nic neodřízne. Kalkulačka v takovém případě vrátí objem celého kužele a na obrázku zobrazí celý kužel.

Historie vzorce pro objem kužele

Staří řečtí matematici jako první spojili objem kužele s objemem válce. Démokritos, působící na konci 5. století př. n. l., je připisován výrok, že objem kužele se rovná jedné třetině objemu válce se stejnou podstavou a výškou. Tento výrok nedokázal. Eudoxos z Knidu, který působil v následujícím století, podal první rigorózní důkaz pomocí metody vyčerpání, raného předchůdce integrálního počtu. Vzorec V = (1/3)πr²h se od té doby nezměnil.

Použití výpočtů objemu kužele

Objemy kuželů a komolých kuželů se řeší vždy, když se těleso zužuje od široké podstavy do špičky nebo k menší horní podstavě. Inženýři tyto vzorce používají k navrhování kuželových nádrží, zásobníků a trychtýřů. Architekti je používají k odhadu množství materiálu pro kuželové střechy. Geologové pomocí nich odhadují objem sopečných kuželů a podobných tvarů reliéfu.

Často kladené otázky

Jak vypočítat objem kužele?

Vynásobte π druhou mocninou poloměru, výsledek vynásobte výškou a poté jej vydělte číslem 3: V = (1/3)πr²h. Kužel s poloměrem 5 cm a výškou 10 cm má objem přibližně 261,80 krychlových centimetrů.

Jaký je vzorec pro objem komolého kužele?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), kde R a r jsou poloměry dvou kruhových podstav a h je vlastní výška komolého kužele měřená mezi těmito podstavami.

Jak kalkulačka zjistí poloměr horní podstavy komolého kužele?

Používá podobnost trojúhelníků. Poloměr horní podstavy je roven součinu poloměru podstavy a výrazu (1 − výška řezu ÷ celková výška kužele). To předpokládá, že komolý kužel vznikl z kužele s přímými stranami.

Co se stane, pokud je výška řezu větší nebo rovna výšce?

Kalkulačka považuje těleso za celý, neodříznutý kužel a vrátí V = (1/3)πr²h s použitím zadaného poloměru a výšky.

Co se stane, pokud je poloměr nebo výška nulová či záporná?

Kalkulačka vyžaduje, aby poloměr i výška byly větší než nula. Pokud je některá z těchto hodnot nulová, záporná, prázdná nebo příliš velká na zpracování jako běžné číslo, zobrazí upozornění místo objemu.

Jak vypočítat objem kužele z průměru místo z poloměru?

Vydělte průměr číslem 2, abyste získali poloměr, a poté obvyklým způsobem použijte V = (1/3)πr²h.

Reference

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — webový zdroj společnosti Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld — webový zdroj společnosti Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html