Buekalkulator - Beregn Radius, Spænd & Stigning

Hvad er en bueregner?

En bueregner finder målene for en cirkelbue — dens radius, spændvidde og pilhøjde — ud fra to af disse værdier. Den beregner også buelængden og buearealet. Arkitekter, bygningshåndværkere og hobbyfolk bruger den til at planlægge døråbninger, vinduer, broer og haveelementer med buet form.

Vigtige mål for en bue

En cirkelbue er et stykke skåret fra kanten af en cirkel. Fem mål beskriver dens form:

• Radius: afstanden fra cirklens centrum til ethvert punkt på buens kurve.
• Spændvidde: den vandrette, rette afstand mellem buens to nederste ender, også kaldet bredden.
• Pilhøjde: den lodrette afstand fra vederlagslinjen (den rette linje, der forbinder de to ender) op til buens højeste punkt.
• Buelængde: afstanden langs buens krumme linje fra den ene ende til den anden.
• Bueareal: arealet af det krumme område mellem buen og vederlagslinjen.

Formler for buens mål

Disse formler gælder for en cirkelbue, der er bygget ud fra et segment af en enkelt cirkel. De gælder for enhver pilhøjde op til det dobbelte af radius. Dette interval dækker de dør-, vindues- og brobuer, som de fleste beregner, og det omfatter også hesteskobuer, hvor kurven fortsætter forbi en halvcirkel.

Formel for pilhøjde (ud fra radius og spændvidde)

$\text{Højde} = \text{Radius} - \sqrt{\text{Radius}^2 - \left(\frac{\text{Spændvidde}}{2}\right)^2}$

Gælder, når radius og spændvidde er positive, og spændvidden ≤ 2 × radius.

Formel for radius (ud fra spændvidde og pilhøjde)

$\text{Radius} = \frac{\text{Spændvidde}^2}{8 \times \text{Højde}} + \frac{\text{Højde}}{2}$

Gælder, når spændvidde og pilhøjde er positive.

Formel for spændvidde (ud fra radius og pilhøjde)

$\text{Spændvidde} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radius} \times \text{Højde} - \text{Højde}^2}$

Gælder, når radius og pilhøjde er positive, og pilhøjden ≤ 2 × radius.

Formel for buelængde

$\text{Buelængde} = \text{Radius} \times \theta$

Her er θ (theta) den centrale vinkel i radianer, som buens kurve danner i cirklens centrum. Når pilhøjden ikke er større end radius, er buen højst en halvcirkel, og θ er:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spændvidde}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Når pilhøjden er større end radius, er buen mere end en halvcirkel, og θ er resten af vejen rundt:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spændvidde}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Beregneren dækker begge tilfælde i ét trin: θ = 2 × atan2(Spændvidde ÷ 2, Radius − Pilhøjde), hvilket også bevarer nøjagtigheden ved en halvcirkel.

Formel for bueareal

$\text{Bueareal} = \frac{1}{2} \times \text{Radius}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Spændvidde} \times (\text{Radius} - \text{Højde})$

Sådan bruges bueregneren

Beregneren har tre tilstande, én for hvert mål, der kan mangle.

Beregn pilhøjde, når radius og spændvidde er kendt: indtast radius og spændvidde. Værktøjet returnerer pilhøjde, buelængde og bueareal.

Beregn radius, når spændvidde og pilhøjde er kendt: indtast spændvidde og pilhøjde. Værktøjet returnerer radius, buelængde og bueareal.

Beregn spændvidde, når radius og pilhøjde er kendt: indtast radius og pilhøjde. Værktøjet returnerer spændvidde, buelængde og bueareal.

Beregneren afviser input, der ikke kan danne en reel bue. Spændvidden må ikke overstige det dobbelte af radius, pilhøjden må ikke overstige det dobbelte af radius, og alle mål skal være positive tal. Den viser en fejlmeddelelse, når en værdi bryder en af disse regler.

Regneeksempel

Eksempel 1: Dørbue

En dørbue har en spændvidde på 36 tommer (91,4 cm) og en pilhøjde på 12 tommer (30,5 cm).

Radius = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 tommer (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianer

Buelængde = 19,5 × 2,352 = 45,86 tommer (116 cm)

Bueareal = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 kvadrattommer (2.010 cm²)

Eksempel 2: Havebue

En havebue har en radius på 4 fod (1,2 m) og en spændvidde på 6 fod (1,8 m).

Pilhøjde = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 fod (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianer

Buelængde = 4 × 1,696 = 6,78 fod (2,07 m)

Bueareal = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 kvadratfod (0,523 m²)

Eksempel 3: Brobue

En brobue har en spændvidde på 50 fod (15 m) og en pilhøjde på 15 fod (4,57 m).

Radius = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 fod (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianer

Buelængde = 28,33 × 2,162 = 61,25 fod (18,7 m)

Bueareal = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 kvadratfod (49,6 m²)

Almindelige anvendelser af bue-beregninger

Bygningshåndværkere bruger buemål til at skære forskalling til betonbuer, opstille skabeloner af mursten eller sten til murede buer og planlægge krumningen af hvælvede lofter. Brokonstruktører bruger spændvidde, pilhøjde og radius til at afveje lastfordeling mod frihøjde. Ved restaurering bruges de samme formler til at genskabe den nøjagtige geometri for en historisk bue under reparation eller genopbygning. Gartnere og gør-det-selv-byggere bruger dem til buede espalierer, indgangsporte og dekorative åbninger.

Denne beregner dækker kun cirkelbuer, der er dannet af en enkelt cirkels bue. Elliptiske, parabolske, gotiske buer og kædelinjebuer følger andre kurver og kræver andre formler.

En kort historie om buen

Bygherrer i det gamle Mesopotamien brugte tidlige bueagtige former så langt tilbage som 2500 f.Kr., selv om de fleste blev bygget ved udkragning — ved at stable sten, så hvert lag rager ud over laget nedenunder — snarere end som en ægte krum bue. Romerne udviklede den halvcirkelformede bue til en standardmetode i byggeriet og brugte den i akvædukter, broer og bygninger som Colosseum. Middelalderens bygherrer i Europa udviklede den spidse gotiske bue, som gjorde det muligt at bygge højere og lettere konstruktioner. Senere vendte arkitekter tilbage til halvcirkelformede former baseret på præcise proportioner, og moderne materialer som stål og armeret beton gør det nu muligt for buer at spænde over langt større afstande.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er forskellen på pilhøjde og højde i en bue?

Pilhøjden er den lodrette afstand fra vederlagslinjen til toppen af buens kurve. Højde henviser undertiden til en åbningens samlede højde, inklusive en eventuel lige væg under vederlagslinjen.

Virker denne beregner til alle buetyper?

Nej. Den virker kun til cirkelbuer, der har form som et segment af en cirkel. Elliptiske, parabolske, gotiske buer og kædelinjebuer følger andre kurver og kræver separate formler.

Hvad er forholdet mellem spændvidde og radius i en halvcirkelformet bue?

I en halvcirkelformet bue er radius lig med halvdelen af spændvidden, og pilhøjden er lig med radius. Buen udgør præcis halvdelen af en cirkel.

Hvorfor kan spændvidden ikke være større end det dobbelte af radius?

En spændvidde, der er lig med det dobbelte af radius, danner allerede en halvcirkel, som er den bredest mulige bue med denne radius. En større spændvidde ville slet ikke kunne ligge på cirklen.

Hvorfor kan pilhøjden ikke være større end det dobbelte af radius (i tilstanden Beregn spændvidde)?

Pilhøjden måles fra vederlagslinjen op til buens højeste punkt på den samme cirkel. Det dobbelte af radius er hele cirklens højde, så en større pilhøjde ville placere buens top uden for cirklen. En pilhøjde mellem radius og det dobbelte af radius er tilladt. Buen er da mere end en halvcirkel, hvilket er den form, der bruges til hesteskobuer.

Hvilke enheder bruger beregneren?

Alle ensartede enheder kan bruges — inches, feet, meter eller centimeter. Indtast alle værdier i den samme enhed, så bliver resultaterne angivet i den samme enhed, med arealet i den pågældende enhed i anden.