Hypotenuse Beregner - Pythagoras Teorem Værktøj

Beregner til hypotenusen

En beregner til hypotenusen finder længden af den længste side i en retvinklet trekant, som kaldes hypotenusen. Den bruger Pythagoras' læresætning, en regel, der forbinder de tre sider i enhver retvinklet trekant.

Hvad er hypotenusen?

En retvinklet trekant har én vinkel på 90 grader, som dannes dér, hvor to sider mødes i et ret hjørne. Disse to sider kaldes kateter. Den tredje side, som ligger over for den rette vinkel, er hypotenusen. Den er altid trekantens længste side.

Formel for Pythagoras' læresætning

Pythagoras' læresætning siger, at kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på de to kateter.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c er hypotenusen
• a og b er de to kateter

Hvis man vil finde en ukendt katete i stedet for hypotenusen, kan formlen omformes:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Læresætningen er opkaldt efter den græske matematiker Pythagoras, som levede omkring 570 til 495 f.Kr. Sammenhængen var kendt tidligere. Babyloniske lertavler dateret til omkring 1800 f.Kr. viser, at babyloniske matematikere allerede brugte den, mere end tusind år før Pythagoras.

Sådan beregnes hypotenusen

Følg fire trin for at finde hypotenusen i hånden.

1. Beregn kvadratet på længden af side A (gang den med sig selv).
2. Beregn kvadratet på længden af side B.
3. Læg de to kvadrerede værdier sammen.
4. Tag kvadratroden af denne sum.

Beregneren på denne side udfører de samme fire trin. Vælg "Find hypotenuse", "Find side A" eller "Find side B" i menuen, og indtast derefter de to kendte længder. Resultatet opdateres, så snart gyldige tal er indtastet, og afrundes til to decimaler.

Begge sider skal bruge den samme måleenhed, f.eks. tommer eller meter. Beregneren omregner ikke mellem enheder, så en værdi angivet i fod og en værdi angivet i tommer giver ikke et meningsfuldt resultat sammen.

Regneeksempel

En retvinklet trekant har en side A på 3 fod (0,91 m) og en side B på 4 fod (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 fod (1,52 m)

Dette 3-4-5-mønster er en genvej, som tømrere bruger til at kontrollere, at et hjørne er vinkelret. Mål 3 fod langs den ene kant og 4 fod langs den vinkelrette kant. Den diagonale afstand mellem de to punkter skal være præcis 5 fod. Alle multipla af mønsteret fungerer på samme måde, f.eks. 6-8-10 eller 30-40-50.

Et andet eksempel bruger decimalværdier. En retvinklet trekant har en side A på 2,5 tommer (6,35 cm) og en side B på 6,8 tommer (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 tommer (18,4 cm)

Fjernsyns- og skærmstørrelser måles på denne måde. Den angivne skærmstørrelse er diagonalen, som er hypotenusen i det rektangel, der dannes af skærmens bredde og højde.

Sådan findes en ukendt side

Hvis hypotenusen og den ene katete allerede er kendt, kan beregneren finde den anden katete. Vælg "Find side A" eller "Find side B", og indtast derefter hypotenusen og den kendte katete.

For eksempel har en retvinklet trekant en hypotenuse på 10 meter og en side B på 6 meter.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 meter

Hypotenusen skal altid være længere end hver af kateterne, fordi den er trekantens længste side. Hvis en værdi, der er indtastet for hypotenusen, ikke er større end den kendte katete, viser beregneren en fejl i stedet for et resultat, fordi en sådan retvinklet trekant ikke findes.

Almindelige anvendelser

Pythagoras' læresætning bruges, når en lige diagonal afstand skal findes ud fra to vinkelrette målinger.

• Byggeri og tømrerarbejde: kontrol af, at et hjørne i en ramme eller væg er vinkelret, samt beregning af længder på spær eller trappevanger.
• Landmåling: omregning af vandrette og lodrette afstande til en direkte sigtelinjeafstand.
• Navigation og computergrafik: afstandsformlen for to punkter på en graf, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], er den samme læresætning anvendt på koordinater.
• Undervisning: Det er et af de første geometriske beviser, som de fleste elever møder, og det kan kontrolleres med enkle eksempler med hele tal som 3-4-5 eller 5-12-13.

Læresætningen gælder kun for retvinklede trekanter. For en trekant uden en vinkel på 90 grader bruges cosinusrelationen i stedet.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er formlen for hypotenusen? c = √(a² + b²), hvor a og b er de to kateter i en retvinklet trekant, og c er hypotenusen.

Kan dette bruges til trekanter uden en ret vinkel? Nej. Pythagoras' læresætning gælder kun for retvinklede trekanter. En trekant uden en vinkel på 90 grader kræver i stedet cosinusrelationen.

Hvad er 3-4-5-reglen? Det er en genvej til at kontrollere et ret hjørne. Hvis den ene side måler 3 enheder, en tilstødende vinkelret side måler 4 enheder, og diagonalen mellem deres endepunkter måler 5 enheder, er hjørnet retvinklet. Alle multipla af 3-4-5, f.eks. 6-8-10 eller 30-40-50, fungerer på samme måde.

Skal begge sider bruge den samme måleenhed? Ja. Begge kateter skal indtastes i den samme enhed, f.eks. begge i fod eller begge i meter. En blanding af enheder, f.eks. fod og tommer, giver et matematisk korrekt, men fysisk meningsløst resultat.

Hvorfor viser beregneren en fejl for nogle kombinationer af hypotenuse og katete? Hypotenusen er altid den længste side i en retvinklet trekant. Hvis den indtastede værdi for hypotenusen ikke er større end den kendte katete, findes der ingen gyldig retvinklet trekant, så beregneren returnerer en fejl i stedet for et resultat.

Hvor mange decimaler viser resultatet? To. Beregneren bevarer den fulde præcision internt under beregningen og afrunder først det viste tal.

Er dette det samme som afstandsformlen? Ja. Afstandsformlen i koordinatgeometri, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], er Pythagoras' læresætning anvendt på to punkter på en graf. Den vandrette og lodrette afstand mellem punkterne udgør de to kateter i en retvinklet trekant.