Andengradsligning Løser - Beregn Rødder af ax² + bx + c = 0

Hvad er en andengradsligning?

En andengradsligning er en ligning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, hvor $a$, $b$ og $c$ er tal, og $a$ ikke er nul. Andengradsløseren på denne side finder den eller de værdier af $x$, der gør ligningen sand, ved hjælp af koefficienterne $a$, $b$ og $c$, som brugeren indtaster.

Hvis $a$ var nul, ville leddet $x^2$ forsvinde, og ligningen ville blive lineær i stedet for kvadratisk. Derfor kræver beregneren $a \neq 0$ og viser en fejl, hvis $a = 0$.

Andengradsformlen

Alle andengradsligninger på formen $ax^2 + bx + c = 0$ kan løses med den kvadratiske formel:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tegnet $\pm$ står for to separate beregninger, én med plustegn og én med minustegn. Derfor kan en andengradsligning have to forskellige løsninger.

Udtrykket under kvadratroden, $b^2 - 4ac$, kaldes diskriminanten. Den skrives normalt som $\Delta$ (det græske bogstav delta). Alene fortæller diskriminanten, hvor mange reelle løsninger ligningen har, før resten af beregningen udføres.

Sådan beregnes rødderne

1. Skriv ligningen på standardform, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identificer koefficienterne $a$, $b$ og $c$.
3. Beregn diskriminanten: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Hvis $\Delta$ er positiv, beregnes begge rødder med $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Hvis $\Delta$ er nul, beregnes den ene rod med $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Hvis $\Delta$ er negativ, har ligningen ingen reelle rødder, fordi et negativt tal ikke har en reel kvadratrod.

Beregneren på denne side udfører disse trin automatisk. Den accepterer koefficienter mellem $-10^{10}$ og $10^{10}$ og afrunder resultaterne til et valgt antal decimaler, fra 0 til 10.

Hvad diskriminanten betyder

Denne beregner angiver "ingen reelle rødder", når $\Delta$ er negativ. Den beregner ikke komplekse rødder (tal, der indeholder $i = \sqrt{-1}$).

Regneeksempel

Løs $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Her er $a = 1$, $b = 5$ og $c = 6$.

Find først diskriminanten:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Da $\Delta$ er positiv, har ligningen to reelle rødder:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Dette kan kontrolleres ved faktorisering: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, som er nul, når $x = -2$ eller $x = -3$.

Et andet eksempel viser en negativ diskriminant. For $x^2 + x + 1 = 0$ er $a = 1$, $b = 1$ og $c = 1$, så $\Delta = 1 - 4 = -3$. Fordi $\Delta$ er negativ, har ligningen ingen reelle rødder.

Parablen, toppunktet og symmetriaksen

Grafen for $f(x) = ax^2 + bx + c$ er en kurve, der kaldes en parabel. Hvis $a$ er positiv, åbner parablen opad og har et laveste punkt. Hvis $a$ er negativ, åbner den nedad og har et højeste punkt. Dette laveste eller højeste punkt er toppunktet.

Toppunktet ligger i:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

En lodret linje gennem toppunktet, $x = -\dfrac{b}{2a}$, kaldes symmetriaksen, fordi parablens to halvdele er spejlbilleder af hinanden omkring den. Ligningens reelle rødder er de punkter, hvor parablen skærer x-aksen, så de ligger på hver sin side af symmetriaksen i samme afstand fra den.

Beregneren tegner denne parabel ved siden af resultatet. Den markerer toppunktet og eventuelle reelle rødder på kurven og udvider det viste område efter behov, så alle rødder forbliver synlige.

Hvor andengradsligninger bruges

Andengradsligninger beskriver mange virkelige situationer. I fysik følger højden af en kastet genstand over tid ligningen $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, og når den løses med hensyn til $t$, får man det tidspunkt, hvor genstanden lander. I ingeniørvidenskab optræder parabolformer i parabolantenner og brokabler på grund af den måde, de fokuserer eller fordeler kræfter på. I computergrafik løser raytracingprogrammer andengradsligninger for at finde det sted, hvor en linje skærer en kugle.

En kort historie

Babyloniske matematikere løste specifikke andengradsproblemer omkring 2000 f.Kr. ved hjælp af geometriske metoder i stedet for algebra. Græske matematikere som Euklid behandlede også andengradsligninger geometrisk. Omkring 600 e.Kr. angav den indiske matematiker Brahmagupta en eksplicit formel for rødderne, herunder negative løsninger. Omkring 800 e.Kr. beskrev den persiske matematiker al-Khwarizmi systematiske metoder til at løse andengradsligninger i en bog, hvis titel gav ophav til ordet "algebra". Den moderne symbolske form af løsningsformlen for andengradsligningen blev standard senere, efterhånden som den algebraiske notation udviklede sig under renæssancen.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad sker der, hvis jeg indtaster 0 for koefficienten a? Beregneren viser en fejl, fordi $a = 0$ gør ligningen lineær, $bx + c = 0$, og den løses på en anden måde.

Hvorfor har en ligning nogle gange ingen reelle rødder? Det sker, når diskriminanten, $b^2 - 4ac$, er negativ. Et negativt tal har ingen reel kvadratrod, så formlen kan ikke give en reel værdi af $x$. Ligningen har stadig to komplekse rødder, men denne beregner beregner dem ikke.

Hvad er forskellen mellem en rod og en løsning? Ingen. Begge ord henviser til en værdi af $x$, der gør ligningen lig med nul. "Rod" henviser til det sted, hvor grafen møder x-aksen; "løsning" henviser til algebraen.

Hvor mange decimalpladser kan jeg vælge? Mellem 0 og 10. To eller tre decimaler er normalt tilstrækkeligt til hverdagsproblemer.

Kan jeg indtaste meget store koefficienter? Koefficienter skal ligge mellem $-10^{10}$ og $10^{10}$. Værdier uden for dette interval kan medføre afrundingsfejl og afvises.

Kan denne beregner finde komplekse rødder? Nej. Når diskriminanten er negativ, angiver den "ingen reelle rødder" i stedet for at beregne komplekse tal.

Referencer

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Quadratic Equation