Young-Laplace Ligningssolver | Grænsefladetrykberegning

Hvad er Young-Laplace-ligningen?

Young-Laplace-ligningen er en formel i fluidmekanik, der angiver trykforskellen over en krum grænseflade mellem to fluider, f.eks. overfladen på en vanddråbe eller en sæbeboble. Den viser, at denne trykforskel afhænger af væskens overfladespænding og af, hvor kraftigt grænsefladen krummer. Ligningen forklarer, hvorfor der opbygges tryk inde i dråber og bobler, og hvorfor mindre dråber og bobler har højere indre tryk end større.

Den er opkaldt efter Thomas Young og Pierre-Simon Laplace, som hver især beskrev sammenhængen i 1805.

Formel for Young-Laplace-ligningen

Ligningens generelle form er:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ er trykforskellen over grænsefladen, målt i pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) er væskens overfladespænding, målt i newton pr. meter (N/m)
• $R_1$ og $R_2$ er overfladens to hovedkrumningsradier, målt i meter (m)

En overflade krummer forskelligt i forskellige retninger. $R_1$ og $R_2$ beskriver krumningen langs to retninger, der står vinkelret på hinanden. For en kugle, f.eks. en dråbe eller en boble, er $R_1$ lig med $R_2$, så formlen forenkles til:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Fortegnskonvention

Trykket er altid højere på den konkave side af en krum grænseflade, altså den side, som overfladen buler væk fra. For en dråbe eller boble betyder det, at trykket indeni er højere end trykket udenfor. Når en overflade krummer den modsatte vej i én retning, som på en sadelform, regnes denne radius som negativ i den generelle formel. Denne beregner accepterer kun positive radier, så den dækker overflader, der krummer samme vej i begge retninger.

Særlige tilfælde

• Plan overflade: Når en radius vokser mod uendelig, nærmer dens led i formlen sig nul. En fuldstændig plan grænseflade har slet ingen trykforskel.
• Cylinder: inde i et smalt rør, for eksempel et kapillarrør, er den ene radius rørets radius, og den anden er reelt uendelig langs rørets længde. Formlen reduceres til $\Delta P = \gamma / R$.
• Meget små skalaer: på en skala af nogle få nanometer får yderligere effekter som linjespænding betydning, og den simple ligning mister nøjagtighed.

Sådan beregnes trykforskel med Young-Laplace-ligningen

1. Find væskens overfladespænding i N/m ved den temperatur, der er relevant. Overfladespændingen falder, når temperaturen stiger.
2. Mål eller anslå den første hovedkrumningsradius, $R_1$, i meter.
3. Mål eller estimer den anden hovedkrumningsradius, $R_2$, i meter. For en kugle bruges samme værdi som for $R_1$. For en cylinder bruges et meget stort tal som erstatning for uendelig (beregneren accepterer ikke selve uendelig).
4. Gang overfladespændingen med summen af $1/R_1$ og $1/R_2$. Resultatet er trykforskellen i pascal.

Hold alle værdier i SI-enheder. Hvis millimeter blandes med meter, bliver svaret f.eks. forkert med en faktor på tusind.

Regneeksempel

Tag en kugleformet vanddråbe med en radius på 1 millimeter (0,001 m) og en overfladespænding på 0,072 N/m. Dette er beregnerens standardværdi og svarer til vand ved 25 °C, 71,98 mN/m.

Da dråben er en kugle, er $R_1 = R_2 = R$, så:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Trykket inde i dråben er 144 Pa over det omgivende lufttryk. Det er lidt i forhold til normalt atmosfærisk tryk, 101.325 Pa, men effekten vokser hurtigt, når en dråbe bliver mindre. En dråbe, der er en tiendedel så stor, med en radius på 0,1 mm, har ti gange så stor trykforskel: 1.440 Pa. En dråbe med en radius på 0,01 mm når op på 14.400 Pa, mere end 14 % af atmosfærens tryk.

Hvor ligningen anvendes

• Dråber og bobler: Det højere tryk inde i små dråber driver Ostwald-modning, den proces hvor små dråber i en emulsion skrumper, mens større dråber vokser, fordi deres indhold diffunderer fra højt til lavt tryk.
• Kapillarvirkning: Den krumme overflade i et smalt rør trækker væsken opad. Det er grunden til, at vand stiger i køkkenrulle og smalle glasrør.
• Vejrtrækning: de bittesmå luftsække i lungerne, kaldet alveoler, opfører sig som små bobler. En belægning kaldet lungesurfaktant sænker overfladespændingen, så små alveoler ikke klapper sammen under det tryk, som ligningen forudsiger. For tidligt fødte babyer, der mangler nok surfaktant, kan udvikle respiratorisk distress-syndrom, fordi lungerne uden det klapper sammen.
• Inkjetprint: printerdyser danner meget små dråber, hvor trykket fra krumningen er stort nok til at påvirke, hvordan blækket forlader dysen.
• Materialevidenskab: Instrumenter, der måler, hvordan væsker væder en overflade, og hvordan tynde belægninger opfører sig, bruger ligningen til at forbinde en dråbes form med dens overfladeenergi.

Historie

Folk iagttog væsker, der steg op i smalle rør, længe før nogen forklarede hvorfor. Forsøg af Francis Hauksbee og James Jurin ved Royal Society i London målte, hvordan væske stiger i smalle rør og mellem plader. Jurins lov, som knytter stighøjden til rørets bredde, er opkaldt efter ham.

I 1805 udgav Thomas Young et essay om væskers kohæsion, og Laplace udgav et supplement til sin afhandling om himmelmekanik. Youngs behandling var for det meste beskrivende, mens Laplace udarbejdede den matematiske form. Deres samlede arbejde blev til Young-Laplace-ligningen. Carl Friedrich Gauss forfinede senere teorien, og Joseph Plateau udvidede den gennem forsøg med sæbehinder.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad beregner Young-Laplace-ligningen? Den beregner trykforskellen over en krum grænseflade mellem to fluider ud fra væskens overfladespænding og grænsefladens krumning.

Hvorfor er trykket højere inde i en mindre dråbe? Overfladespændingen trækker overfladen indad med samme iboende styrke uanset størrelse, men trækket virker over et mindre areal på en mindre dråbe, så virkningen koncentreres til et højere tryk. Trykket er omvendt proportionalt med radius: halveres radius, fordobles trykforskellen.

Hvordan påvirker temperaturen ligningen? Temperaturen ændrer værdien af overfladespændingen, og overfladespændingen falder, når temperaturen stiger. For vand falder overfladespændingen fra 0,0727 N/m ved 20 °C til 0,0627 N/m ved 80 °C, et fald på omkring 0,17 mN/m for hver grad Celsius. Bruges en overfladespænding ved stuetemperatur til et varmt system, undervurderes den reelle trykforskel.

Gælder ligningen for andre former end kugler? Ja. Den generelle form med to separate radier $R_1$ og $R_2$ dækker enhver krum overflade, herunder ellipsoider og sadelformede grænseflader. Kun den forenklede $2\gamma/R$-version er begrænset til kugler. Denne beregner tager kun positive radier, så den håndterer ikke sadelformer.

Hvordan adskiller Young-Laplace-ligningen sig fra Youngs ligning? Young-Laplace-ligningen angiver den trykforskel, der skyldes en krum grænseflade. Youngs ligning, en separat sammenhæng, der også stammer fra Thomas Young, angiver den kontaktvinkel, en dråbe danner, hvor den møder en fast overflade, ud fra overfladeenergierne for de tre involverede materialer. De beskriver forskellige ting og bruges nogle gange sammen til at analysere en dråbe, der hviler på en overflade.

Hvor lille kan en dråbe være, før ligningen holder op med at virke? Ligningen virker godt for dråber og bobler i hverdagen. På en skala af nogle få nanometer bliver yderligere kræfter, som ligningen ser bort fra, herunder linjespænding og kræfter mellem overflader på molekylært niveau, store nok til at have betydning, og mere detaljerede modeller er nødvendige.

Referencer

1. Physics Today (American Institute of Physics). Two hundred years of capillarity research. Two hundred years of capillarity research — Youngs essay og Laplaces supplement i 1805; forsøg af Hauksbee og Jurin; Young kvalitativ, Laplace matematisk.
2. International Association for the Properties of Water and Steam. Revised Release on Surface Tension of Ordinary Water Substance (2014). IAPWS-udgivelse om overfladespænding — vands overfladespænding 72,74 mN/m ved 20 °C, 71,98 ved 25 °C, 62,68 ved 80 °C.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Guide to the SI, Appendix B.8. NIST SP 811 Appendix B.8 — standardatmosfære = 1,013 25 × 10⁵ Pa.
4. National Heart, Lung, and Blood Institute. Respiratory Distress Syndrome. NHLBI om respiratorisk distress-syndrom — RDS skyldes mangel på surfaktant; uden det klapper lungerne sammen.