Young-Laplace Ligningssolver | Grænsefladetrykberegning

Hvad er Young-Laplace-ligningen?

Young-Laplace-ligningen er en formel i fluidmekanik, der angiver trykforskellen over en krum grænseflade mellem to væsker, f.eks. overfladen på en vanddråbe eller en sæbeboble. Den viser, at denne trykforskel afhænger af væskens overfladespænding og af, hvor kraftigt grænsefladen krummer. Ligningen forklarer, hvorfor der opbygges tryk inde i dråber og bobler, og hvorfor mindre dråber og bobler har højere indre tryk end større.

Den er opkaldt efter Thomas Young og Pierre-Simon Laplace, som hver især beskrev sammenhængen i begyndelsen af 1800erne.

Formel for Young-Laplace-ligningen

Ligningens generelle form er:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ er trykforskellen over grænsefladen, målt i pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) er væskens overfladespænding, målt i newton pr. meter (N/m)
• $R_1$ og $R_2$ er overfladens to hovedkrumningsradier, målt i meter (m)

En overflade krummer forskelligt i forskellige retninger. $R_1$ og $R_2$ beskriver krumningen langs to retninger, der står vinkelret på hinanden. For en kugle, f.eks. en dråbe eller en boble, er $R_1$ lig med $R_2$, så formlen forenkles til:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Fortegnkonvention

Trykket er altid højere på den konkave side af en krum grænseflade, altså den side som overfladen buer væk fra. For en dråbe eller boble betyder det, at trykket inden i er højere end trykket udenfor. En radius regnes som positiv, når dens krumningscentrum ligger på den side, hvor trykket er højere. Hvis overfladen krummer den modsatte vej i én retning, regnes denne radius som negativ. En sadelformet grænseflade, f.eks. væskehalsen mellem to berørende korn, har én positiv og én negativ radius, og de to led ophæver delvist hinanden.

Denne beregner bruger kun positive radier.

Særlige tilfælde

• Plan overflade: Når en radius vokser mod uendelig, nærmer dens led i formlen sig nul. En fuldstændig plan grænseflade har slet ingen trykforskel.
• Cylinder: En lang cylindrisk overflade, f.eks. en væskestråle, der forlader en dyse, krummer kun i én retning. Den ene radius er cylinderens radius, og den anden er uendelig langs dens længde, så formlen reduceres til $\Delta P = \gamma / R$. Det er halvdelen af trykforskellen for en kugle med samme radius.
• Meget små skalaer: Under omtrent 10 til 20 nanometer bliver yderligere effekter som linjespænding betydningsfulde, og den simple ligning bliver mindre nøjagtig.

Sådan beregnes trykforskel med Young-Laplace-ligningen

1. Find væskens overfladespænding i N/m ved den temperatur, der er relevant. Overfladespændingen falder, når temperaturen stiger.
2. Mål eller anslå den første hovedkrumningsradius, $R_1$, i meter.
3. Mål eller anslå den anden hovedkrumningsradius, $R_2$, i meter. For en kugle bruges samme værdi som $R_1$. For en cylinder bruges et meget stort tal som erstatning for uendelig.
4. Gang overfladespændingen med summen af $1/R_1$ og $1/R_2$. Resultatet er trykforskellen i pascal.

Hold alle værdier i SI-enheder. Hvis millimeter blandes med meter, bliver svaret f.eks. forkert med en faktor på tusind.

Gennemregnet eksempel

Betragt en kugleformet vanddråbe med en radius på 1 millimeter (0,001 m) og en overfladespænding på 0,072 N/m, en typisk værdi for vand nær stuetemperatur.

Da dråben er en kugle, er $R_1 = R_2 = R$, så:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Trykket inde i dråben er 144 Pa højere end det omgivende lufttryk. Det er lavt sammenlignet med det normale atmosfæretryk på omkring 101.325 Pa, men effekten vokser hurtigt, når en dråbe bliver mindre. En dråbe, der er en tiendedel så stor, med en radius på 0,1 mm, har ti gange så stor en trykforskel: 1.440 Pa. En dråbe med en radius på 0,01 mm når 14.400 Pa, over 14 % af atmosfæretrykket.

Hvor ligningen anvendes

• Dråber og bobler: Det højere tryk inde i små dråber driver Ostwald-modning, den proces hvor små dråber i en emulsion skrumper, mens større dråber vokser, fordi deres indhold diffunderer fra højt til lavt tryk.
• Kapillarvirkning: Den krumme overflade i et smalt rør trækker væsken opad. Det er grunden til, at vand stiger i køkkenrulle og smalle glasrør.
• Vejrtrækning: De små luftsække i lungerne, der kaldes alveoler, opfører sig som små bobler. En belægning kaldet lungesurfaktant sænker overfladespændingen, så små alveoler ikke klapper sammen under det tryk, som ligningen forudsiger. For tidligt fødte børn, der mangler tilstrækkeligt surfaktant, kan derfor få vejrtrækningsproblemer.
• Inkjettryk: Printerdyser danner dråber med en diameter på nogle få snese mikrometer, hvor trykket fra krumningen er stort nok til at påvirke, hvordan blækket forlader dysen.
• Materialevidenskab: Instrumenter, der måler, hvordan væsker væder en overflade, og hvordan tynde belægninger opfører sig, bruger ligningen til at forbinde en dråbes form med dens overfladeenergi.

Historie

Man observerede, at væsker steg i smalle rør, længe før nogen forklarede hvorfor. I begyndelsen af 1700erne viste Francis Hauksbee eksperimentelt, at smallere rør medfører større kapillær opstigning, og i 1718 beskrev James Jurin stigningen som omvendt proportional med rørets diameter.

Thomas Young forklarede den underliggende fysik i en artikel fra 1805, hvor han introducerede overfladespænding som en egenskab ved en væske og knyttede den til trykket over krumme overflader, selv om hans behandling hovedsageligt var beskrivende. I 1806 udarbejdede Pierre-Simon Laplace den matematiske form ved hjælp af differentialregning og nåede uafhængigt frem til den samme sammenhæng. Deres samlede arbejde blev til Young-Laplace-ligningen. Senere forskere, herunder Carl Friedrich Gauss og Joseph Plateau, afprøvede og udvidede teorien gennem 1800erne.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad beregner Young-Laplace-ligningen? Den beregner trykforskellen over en krum grænseflade mellem to væsker ud fra væskens overfladespænding og grænsefladens krumning.

Hvorfor er trykket højere inde i en mindre dråbe? Overfladespændingen trækker langs dråbens rand, og trækkraften vokser i takt med radius. Det areal, som trykket skal trykke på, vokser med radius i anden potens. Når de to kræfter afbalanceres, fås $\Delta P = 2\gamma/R$, så trykforskellen er omvendt proportional med radius: Halveres radius, fordobles trykforskellen.

Hvordan påvirker temperaturen ligningen? Temperaturen ændrer værdien af overfladespændingen, og overfladespændingen falder, når temperaturen stiger. For vand falder overfladespændingen fra omkring 0,073 N/m ved 20 °C til cirka 0,063 N/m ved 80 °C, et fald på omkring 0,17 mN/m for hver grad Celsius. Overfladespændingen ved stuetemperatur er højere end overfladespændingen i varmt vand, så brug af en stuetemperaturværdi for et varmt system overvurderer trykforskellen.

Virker ligningen for andre former end kugler? Ja. Den generelle form med to separate radier, $R_1$ og $R_2$, gælder for enhver krum overflade, herunder ellipsoider og sadelformede grænseflader. Kun den forenklede version $2\gamma/R$ er begrænset til kugler.

Hvordan adskiller Young-Laplace-ligningen sig fra Youngs ligning? Young-Laplace-ligningen angiver den trykforskel, der skyldes en krum grænseflade. Youngs ligning, en separat sammenhæng, der også stammer fra Thomas Young, angiver den kontaktvinkel, en dråbe danner, hvor den møder en fast overflade, ud fra overfladeenergierne for de tre involverede materialer. De beskriver forskellige ting og bruges nogle gange sammen til at analysere en dråbe, der hviler på en overflade.

Hvor lille kan en dråbe blive, før ligningen holder op med at virke? Ligningen er nøjagtig ned til omtrent 1 mikrometer. Under cirka 10 til 20 nanometer bliver yderligere kræfter, som ligningen ser bort fra, herunder linjespænding og kræfter mellem overflader på molekylær skala, store nok til at have betydning, og der er behov for mere detaljerede modeller.

Referencer

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, tillæg til bog 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. udg.). Wiley-Interscience.