Υπολογιστής Όγκου Κώνου - Υπολογισμός Όγκου Κώνου & Κολοβού Κώνου

Τι είναι ένας υπολογιστής όγκου κώνου;

Ο υπολογιστής όγκου κώνου υπολογίζει τον όγκο ενός κώνου ή ενός κόλουρου κώνου (ενός κόλουρου), με βάση την ακτίνα και το ύψος του. Ο κώνος είναι ένα στερεό σχήμα με μία επίπεδη, κυκλική βάση που στενεύει ομαλά σε ένα μόνο σημείο, το οποίο ονομάζεται κορυφή. Κόλουρος κώνος είναι το τμήμα που απομένει από έναν κώνο αφού αποκοπεί το επάνω μέρος με τομή παράλληλη προς τη βάση, αφήνοντας δύο κυκλικές έδρες αντί για μία.

Τύπος υπολογισμού του όγκου κώνου

Ο όγκος ενός πλήρους κώνου εξαρτάται από την ακτίνα της βάσης του και το ύψος του.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V είναι ο όγκος του κώνου.
• r είναι η ακτίνα της κυκλικής βάσης.
• h είναι το ύψος, μετρούμενο ευθύγραμμα από τη βάση έως την κορυφή.
• π (πι) είναι περίπου 3,14159.

Λυμένο παράδειγμα

Ένας κώνος με ακτίνα βάσης 3 μονάδες και ύψος 4 μονάδες έχει τον εξής όγκο:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 κυβικές μονάδες

Πώς υπολογίζεται ο όγκος κώνου με τον υπολογιστή

Ο υπολογιστής δέχεται τρεις τιμές:

1. Ακτίνα — η ακτίνα της βάσης.
2. Ύψος — το ύψος του κώνου, από τη βάση έως την κορυφή.
3. Ύψος τομής από τη βάση (προαιρετικό) — η απόσταση πάνω από τη βάση στην οποία κόβεται ο κώνος, αν αποκοπεί το επάνω μέρος.

Αν το πεδίο του ύψους τομής παραμείνει κενό ή εισαχθεί η τιμή 0, υπολογίζεται ο όγκος του πλήρους, μη κομμένου κώνου. Αν εισαχθεί ύψος τομής μικρότερο από το πλήρες ύψος, υπολογίζεται ο όγκος του κόλουρου κώνου κάτω από την τομή. Το διάγραμμα κάτω από τα πεδία εισαγωγής επισημαίνει τις ίδιες τρεις μετρήσεις στο σχήμα.

Ο υπολογιστής απορρίπτει ακτίνα ή ύψος που είναι μηδενικό, αρνητικό, κενό ή υπερβολικά μεγάλο για να υποστεί επεξεργασία ως συνηθισμένος αριθμός. Σε αυτές τις περιπτώσεις εμφανίζει ειδοποίηση αντί για όγκο, ώστε να μην παρουσιάζει ποτέ έναν αυθαίρετο αριθμό.

Τύπος υπολογισμού του όγκου κόλουρου κώνου

Ο όγκος ενός κόλουρου κώνου εξαρτάται από τις ακτίνες των δύο κυκλικών εδρών του και από το δικό του ύψος.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R είναι η ακτίνα της μεγαλύτερης, κάτω έδρας.
• r είναι η ακτίνα της μικρότερης, επάνω έδρας.
• h είναι το ύψος του κόλουρου κώνου, μετρούμενο μεταξύ των δύο εδρών.

Ο υπολογιστής δεν ζητά απευθείας την επάνω ακτίνα. Αντί γι’ αυτό, δέχεται την ακτίνα της βάσης, το ύψος που θα είχε ο κώνος αν δεν είχε κοπεί και το ύψος της τομής. Στη συνέχεια υπολογίζει την επάνω ακτίνα με τη χρήση όμοιων τριγώνων:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

όπου c είναι το ύψος της τομής πάνω από τη βάση και f το πλήρες ύψος του μη κομμένου κώνου.

Λυμένο παράδειγμα

Έστω ότι η ακτίνα της βάσης είναι 3 μονάδες, το πλήρες ύψος του (μη κομμένου) κώνου είναι 12 μονάδες και το ύψος της τομής είναι 4 μονάδες.

Επάνω ακτίνα = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 μονάδες

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 κυβικές μονάδες

Αν το ύψος της τομής είναι ίσο με ή μεγαλύτερο από το πλήρες ύψος, η τομή βρίσκεται στην κορυφή ή πάνω από αυτήν, οπότε δεν αφαιρείται τίποτα. Ο υπολογιστής επιστρέφει τότε τον όγκο του πλήρους κώνου και το διάγραμμα σχεδιάζει τον πλήρη κώνο.

Ιστορική αναδρομή στον τύπο υπολογισμού του όγκου κώνου

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που συνέδεσαν τον όγκο ενός κώνου με εκείνον ενός κυλίνδρου. Στον Δημόκριτο, ο οποίος έδρασε στα τέλη του 5ου αιώνα π.Χ., αποδίδεται η διατύπωση ότι ο όγκος ενός κώνου ισούται με το ένα τρίτο ενός κυλίνδρου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Δεν το απέδειξε. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος, ο οποίος εργάστηκε τον επόμενο αιώνα, έδωσε την πρώτη αυστηρή απόδειξη χρησιμοποιώντας μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος της εξάντλησης, πρώιμο πρόδρομο του ολοκληρωτικού λογισμού. Ο τύπος V = (1/3)πr²h παραμένει ίδιος έκτοτε.

Χρήσεις των υπολογισμών όγκου κώνου

Οι υπολογισμοί του όγκου κώνων και κόλουρων κώνων απαιτούνται κάθε φορά που ένα σχήμα στενεύει από μια πλατιά βάση σε ένα σημείο ή σε μια μικρότερη άνω βάση. Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν τους τύπους για τη διαστασιολόγηση κωνικών δεξαμενών, χοανών και χωνιών. Οι αρχιτέκτονες τους χρησιμοποιούν για την εκτίμηση των υλικών που απαιτούνται για κωνικές στέγες. Οι γεωλόγοι τους χρησιμοποιούν για την εκτίμηση του όγκου ηφαιστειακών κώνων και παρόμοιων γεωμορφών.

Συχνές ερωτήσεις

Πώς υπολογίζεται ο όγκος ενός κώνου;

Πολλαπλασιάστε το π επί το τετράγωνο της ακτίνας, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα επί το ύψος και, στη συνέχεια, διαιρέστε με 3: V = (1/3)πr²h. Ένας κώνος με ακτίνα 5 cm και ύψος 10 cm έχει όγκο περίπου 261,80 κυβικά εκατοστά.

Ποιος είναι ο τύπος για έναν κόλουρο κώνο;

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), όπου R και r είναι οι ακτίνες των δύο κυκλικών εδρών και h είναι το ίδιο το ύψος του κόλουρου κώνου, μετρούμενο μεταξύ αυτών των εδρών.

Πώς υπολογίζει ο υπολογιστής την επάνω ακτίνα ενός κόλουρου κώνου;

Χρησιμοποιεί όμοια τρίγωνα. Η επάνω ακτίνα ισούται με την ακτίνα της βάσης πολλαπλασιασμένη επί (1 − ύψος τομής ÷ πλήρες ύψος του κώνου). Αυτό προϋποθέτει ότι ο κόλουρος κώνος προέρχεται από κώνο με ευθείες πλευρές.

Τι συμβαίνει αν το ύψος της τομής είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το ύψος;

Ο υπολογιστής θεωρεί το σχήμα πλήρη, μη κομμένο κώνο και επιστρέφει V = (1/3)πr²h χρησιμοποιώντας την καταχωρισμένη ακτίνα και το ύψος.

Τι συμβαίνει αν η ακτίνα ή το ύψος είναι μηδενικό ή αρνητικό;

Ο υπολογιστής απαιτεί τόσο η ακτίνα όσο και το ύψος να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αν κάποιο από τα δύο είναι μηδενικό, αρνητικό, κενό ή υπερβολικά μεγάλο για να υποστεί επεξεργασία ως συνηθισμένος αριθμός, εμφανίζει ειδοποίηση αντί για όγκο.

Πώς υπολογίζεται ο όγκος κώνου από τη διάμετρο αντί για την ακτίνα;

Διαιρέστε τη διάμετρο με 2 για να βρείτε την ακτίνα και, στη συνέχεια, εφαρμόστε κανονικά τον τύπο V = (1/3)πr²h.

Παραπομπές

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Διαδικτυακός πόρος της Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Διαδικτυακός πόρος της Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html