Υπολογιστής Ρυθμού Εκρεύσεως | Δωρεάν Εργαλείο Νόμου Graham

Τι είναι ο υπολογιστής ρυθμού εκροής;

Ένας υπολογιστής ρυθμού εκκένωσης βρίσκει πόσο γρήγορα διαφεύγει ένα αέριο από μια μικροσκοπική οπή σε σύγκριση με ένα άλλο αέριο. Χρησιμοποιεί τον νόμο εκκένωσης του Graham, ο οποίος συνδέει την ταχύτητα διαφυγής ενός αερίου με τη μοριακή μάζα και τη θερμοκρασία του. Η εκκένωση συμβαίνει όταν τα μόρια του αερίου περνούν ένα-ένα από ένα άνοιγμα τόσο μικρό, ώστε να μην συγκρούονται μεταξύ τους καθώς διέρχονται.

Τύπος του νόμου εκκένωσης του Graham

Ο νόμος του Graham συγκρίνει τους ρυθμούς εκκένωσης δύο αερίων, του αερίου 1 και του αερίου 2:

$\frac{\text{Ρυθμός}_1}{\text{Ρυθμός}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Τα Rate₁ και Rate₂ είναι οι ρυθμοί εκκένωσης του αερίου 1 και του αερίου 2.
• Τα M₁ και M₂ είναι οι μοριακές μάζες του αερίου 1 και του αερίου 2, σε γραμμάρια ανά mol (g/mol).
• Τα T₁ και T₂ είναι οι απόλυτες θερμοκρασίες του αερίου 1 και του αερίου 2, σε kelvin (K).

Αποτέλεσμα μεγαλύτερο από 1 σημαίνει ότι το αέριο 1 εκκενώνεται ταχύτερα από το αέριο 2. Αποτέλεσμα μικρότερο από 1 σημαίνει ότι το αέριο 2 είναι ταχύτερο. Αποτέλεσμα ακριβώς ίσο με 1 σημαίνει ότι και τα δύο αέρια εκκενώνονται με τον ίδιο ρυθμό.

Γιατί ισχύει ο τύπος

Ο τύπος προκύπτει από την κινητική θεωρία των αερίων. Όλα τα αέρια στην ίδια θερμοκρασία έχουν την ίδια μέση κινητική ενέργεια, ½mv² = (3/2)kT, όπου m είναι η μάζα ενός μορίου, v η ταχύτητά του, k η σταθερά του Boltzmann και T η απόλυτη θερμοκρασία. Λύνοντας ως προς την ταχύτητα, προκύπτει v = √(3kT/m). Ένα ελαφρύτερο μόριο πρέπει να κινείται ταχύτερα από ένα βαρύτερο, ώστε να έχει την ίδια κινητική ενέργεια. Ο αριθμός των μορίων που εξέρχονται από την οπή κάθε δευτερόλεπτο είναι ανάλογος αυτής της ταχύτητας και του αριθμού μορίων ανά μονάδα όγκου. Ο υπολογιστής συγκρίνει δύο αέρια που έχουν τον ίδιο αριθμό μορίων ανά μονάδα όγκου, επομένως ο όρος της πυκνότητας απαλείφεται και απομένει μόνο το √(T/M). Η διαίρεση της τιμής για το αέριο 1 με την τιμή για το αέριο 2 δίνει τον παραπάνω τύπο.

Δύο απλούστερες περιπτώσεις

• Ίδια θερμοκρασία. Αν T₁ ισούται με T₂, οι όροι της θερμοκρασίας απαλείφονται και ο τύπος γίνεται Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Σημασία έχουν μόνο οι μοριακές μάζες.
• Ίδια μοριακή μάζα. Αν M₁ ισούται με M₂, ο τύπος γίνεται Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Σημασία έχουν μόνο οι θερμοκρασίες.

Πώς χρησιμοποιείται ο υπολογιστής ρυθμού εκκένωσης

1. Εισαγάγετε τη μοριακή μάζα και τη θερμοκρασία του αερίου 1.
2. Εισαγάγετε τη μοριακή μάζα και τη θερμοκρασία του αερίου 2.
3. Διαβάστε τον σχετικό ρυθμό εκκένωσης. Δείχνει πόσες φορές ταχύτερα εκκενώνεται το αέριο 1 από το αέριο 2. Ο υπολογιστής εμφανίζει την απάντηση με τέσσερα δεκαδικά ψηφία.

Τόσο η μοριακή μάζα όσο και η θερμοκρασία πρέπει να είναι θετικοί αριθμοί. Η θερμοκρασία πρέπει να εισάγεται σε kelvin, όχι σε βαθμούς Κελσίου ή Φαρενάιτ, επειδή ο τύπος εξαρτάται από την απόλυτη θερμοκρασία.

Συνήθεις μοριακές μάζες αερίων

Λυμένο παράδειγμα

Παράδειγμα 1: ήλιο έναντι μεθανίου, ίδια θερμοκρασία

Το ήλιο (He) έχει μοριακή μάζα 4,00 g/mol. Το μεθάνιο (CH₄) έχει μοριακή μάζα 16,04 g/mol. Και τα δύο βρίσκονται στους 298 K.

$\frac{\text{Ρυθμός}_{He}}{\text{Ρυθμός}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

Το ήλιο εκκενώνεται περίπου 2,00 φορές ταχύτερα από το μεθάνιο.

Ο υπολογιστής ανοίγει με 4,00 και 16,00 g/mol στους 298 K, με το μεθάνιο στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο. Αυτές οι τιμές δίνουν ακριβώς √4 = 2,0000, γεγονός που διευκολύνει τον χειροκίνητο έλεγχο του λόγου.

Παράδειγμα 2: υδρογόνο έναντι οξυγόνου, διαφορετικές θερμοκρασίες

Το υδρογόνο (H₂) έχει μοριακή μάζα 2,02 g/mol και θερμοκρασία 400 K. Το οξυγόνο (O₂) έχει μοριακή μάζα 32,00 g/mol και θερμοκρασία 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Ρυθμός}_{H_2}}{\text{Ρυθμός}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

Το υδρογόνο στους 400 K εκκενώνεται περίπου 4,60 φορές ταχύτερα από το οξυγόνο στους 300 K. Η στρογγυλοποίηση κάθε τετραγωνικής ρίζας σε δύο δεκαδικά ψηφία πριν από τον πολλαπλασιασμό, όπως γίνεται σε ορισμένα λυμένα παραδείγματα στο διαδίκτυο, δίνει 3,98 × 1,15 = 4,58, που είναι ελαφρώς διαφορετικό. Η διατήρηση περισσότερων δεκαδικών ψηφίων μέχρι το τελικό βήμα αποτρέπει αυτό το σφάλμα.

Εφαρμογές του νόμου του Graham

• Διαχωρισμός ισοτόπων. Το Πρόγραμμα Μανχάταν χρησιμοποίησε αέρια διάχυση για τον διαχωρισμό του ουρανίου-235 από το ουράνιο-238. Τα δύο ισότοπα σχηματίζουν αέριο εξαφθοριούχου ουρανίου με ελαφρώς διαφορετικές μοριακές μάζες, επομένως εκκενώνονται με ελαφρώς διαφορετικούς ρυθμούς.
• Ανίχνευση διαρροών. Το ήλιο είναι ένα συνηθισμένο αέριο-ιχνηθέτης για τον εντοπισμό διαρροών σε συστήματα κενού και δοχεία υπό πίεση, επειδή η χαμηλή μοριακή του μάζα επιτρέπει την ταχεία εκκένωσή του μέσω μικρών διαρροών.
• Αέρια χρωματογραφία. Μόρια διαφορετικής μάζας κινούνται μέσα από μια στήλη χρωματογραφίας με διαφορετικούς ρυθμούς, γεγονός που βοηθά στον διαχωρισμό και την ταυτοποίηση ενώσεων σε ένα μείγμα αερίων.
• Διαχωρισμός αερίων με μεμβράνες. Οι βιομηχανικές μεμβράνες που καθαρίζουν ή διαχωρίζουν μείγματα αερίων βασίζονται εν μέρει στους διαφορετικούς ρυθμούς εκκένωσης των συστατικών αερίων.

Ιστορία

Ο Σκωτσέζος χημικός Thomas Graham περιέγραψε για πρώτη φορά αυτή τη σχέση το 1846. Μέτρησε πόσο γρήγορα διέφευγαν διαφορετικά αέρια από μικρά ανοίγματα και διαπίστωσε ότι ο ρυθμός ήταν αντιστρόφως ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας της πυκνότητας του αερίου. Τα αποτελέσματά του αργότερα συνέβαλαν στην υποστήριξη της κινητικής θεωρίας των αερίων, η οποία αναπτύχθηκε περαιτέρω από τους James Clerk Maxwell και Ludwig Boltzmann στις δεκαετίες του 1860 και του 1870.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ εκκένωσης και διάχυσης; Η εκκένωση είναι η διαφυγή μορίων αερίου μέσω μιας μικρής οπής σε κενό ή σε περιοχή χαμηλότερης πίεσης, όπου η οπή είναι μικρότερη από τη μέση απόσταση που διανύει ένα μόριο μεταξύ συγκρούσεων. Η διάχυση είναι η εξάπλωση μορίων αερίου μέσα από άλλο αέριο ή μέσο, η οποία προκαλείται από διαφορές συγκέντρωσης και περιλαμβάνει συγκρούσεις μεταξύ των μορίων.

Γιατί η θερμοκρασία πρέπει να είναι σε kelvin; Η κινητική ενέργεια των μορίων ενός αερίου είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας. Οι κλίμακες Κελσίου και Φαρενάιτ δεν ξεκινούν από το απόλυτο μηδέν, επομένως η χρήση τους θα έδινε εσφαλμένο λόγο.

Τι υποθέτει ο υπολογιστής για τα δύο αέρια; Υποθέτει ότι και τα δύο αέρια έχουν τον ίδιο αριθμό μορίων ανά μονάδα όγκου. Με αυτή την υπόθεση, ο λόγος εξαρτάται μόνο από τη μοριακή μάζα και την απόλυτη θερμοκρασία. Όταν οι δύο θερμοκρασίες είναι ίσες, ο όρος της θερμοκρασίας είναι 1 και η απάντηση είναι ο απλός λόγος του νόμου του Graham √(M₂/M₁), ανεξάρτητα από την πίεση. Όταν οι θερμοκρασίες διαφέρουν, η υπόθεση έχει σημασία: δύο αέρια που διατηρούνται στην ίδια πίεση αντί για την ίδια συγκέντρωση ακολουθούν τη σχέση Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), επειδή ένα θερμότερο αέριο σε σταθερή πίεση περιέχει λιγότερα μόρια σε κάθε λίτρο.

Μπορεί ο νόμος του Graham να βρει τη μοριακή μάζα ενός άγνωστου αερίου; Ναι. Αν ο ρυθμός εκκένωσης ενός άγνωστου αερίου μετρηθεί σε σύγκριση με ένα αέριο γνωστής μοριακής μάζας, ο τύπος μπορεί να αναδιαταχθεί:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Ρυθμός}_{known}}{\text{Ρυθμός}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

Ισχύει ο νόμος του Graham για υγρά; Όχι. Ισχύει μόνο για αέρια. Τα μόρια των υγρών βρίσκονται πολύ πιο κοντά μεταξύ τους και αλληλεπιδρούν πολύ ισχυρότερα, επομένως ο ίδιος τύπος δεν περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο τα υγρά κινούνται μέσα από μικρά ανοίγματα.

Πόσο ταχύτερα εκκενώνεται ένα αέριο αν διπλασιαστεί η θερμοκρασία του; Ο ρυθμός εκκένωσης είναι ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας της απόλυτης θερμοκρασίας. Ο διπλασιασμός της θερμοκρασίας πολλαπλασιάζει τον ρυθμό επί √2, δηλαδή περίπου επί 1,41, αν η μοριακή μάζα παραμένει ίδια.