Υπολογιστής Δεικτών Miller - Μετατροπή Τεμνόμενων Επιπέδων Κρυστάλλου σε (hkl)

Τι είναι οι δείκτες Miller;

Οι δείκτες Miller είναι ένα σύνολο τριών ακεραίων, γραμμένων ως (h,k,l), που προσδιορίζουν ένα επίπεδο σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα. Κρυσταλλικό πλέγμα είναι η επαναλαμβανόμενη, τακτική διάταξη ατόμων που απαντά σε ένα στερεό υλικό. Οι δείκτες Miller δείχνουν στους επιστήμονες ακριβώς ποια τομή μέσα από αυτό το πλέγμα αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο, χωρίς να χρειάζεται περιγραφή της γεωμετρίας του με λέξεις. Εισήχθησαν από τον Βρετανό ορυκτολόγο William Hallowes Miller το 1839 και παραμένουν σήμερα η καθιερωμένη σημειογραφία στην κρυσταλλογραφία.

Αυτή η αριθμομηχανή μετατρέπει τις τομές ενός επιπέδου ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες x, y και z στους δείκτες Miller (h,k,l).

Τύπος των δεικτών Miller

Οι δείκτες Miller προκύπτουν από τα αντίστροφα των τομών του επιπέδου στους άξονες. Αν ένα επίπεδο τέμνει τους άξονες x, y και z σε αποστάσεις a, b και c από την αρχή των αξόνων, οι δείκτες ικανοποιούν:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Πώς υπολογίζονται οι δείκτες Miller από τις τομές

1. Βρείτε πού τέμνει το επίπεδο κάθε άξονα, μετρημένο σε μονάδες του μήκους της ακμής της μοναδιαίας κυψελίδας. Ονομάστε αυτές τις τομές a, b και c.
2. Πάρτε το αντίστροφο κάθε τομής: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Πολλαπλασιάστε και τα τρία αντίστροφα με τον ίδιο αριθμό, ώστε το καθένα να γίνει ακέραιος.
4. Διαιρέστε τους τρεις ακεραίους με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους, ώστε να μην μπορούν να απλοποιηθούν περαιτέρω.

Οι τρεις ακέραιοι που προκύπτουν είναι οι h, k και l. Ένα επίπεδο που δεν τέμνει ποτέ έναν άξονα θεωρείται ότι τον τέμνει στο άπειρο, και το 1 διαιρούμενο με το άπειρο είναι 0, οπότε σε αυτόν τον άξονα αντιστοιχεί δείκτης Miller 0.

Λυμένο παράδειγμα

Ένα επίπεδο τέμνει τον άξονα x στο 2, τον άξονα y στο 3 και τον άξονα z στο 6.

1. Τομές: (2, 3, 6)
2. Αντίστροφα: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Πολλαπλασιασμός με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών, 6: (3, 2, 1)
4. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των 3, 2 και 1 είναι 1, επομένως οι αριθμοί δεν μπορούν να απλοποιηθούν περαιτέρω.

Οι δείκτες Miller είναι (321).

Άλλα παραδείγματα

• Ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία (1, ∞, 2) — παράλληλο προς τον άξονα y — έχει αντίστροφα (1, 0, 1/2). Ο πολλαπλασιασμός με 2 δίνει (2, 0, 1). Το 0 δείχνει ότι το επίπεδο δεν τέμνει ποτέ τον άξονα y.
• Ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία (-1, 2, 3) έχει αντίστροφα (-1, 1/2, 1/3). Ο πολλαπλασιασμός με 6 δίνει (-6, 3, 2), που συνήθως γράφεται (6̄32), με παύλα πάνω από τον αρνητικό δείκτη.
• Ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία (1, ∞, ∞) έχει αντίστροφα (1, 0, 0), δίνοντας (100). Αυτή είναι μία από τις έξι έδρες ενός κύβου.

Ειδικές περιπτώσεις

Ένα επίπεδο παράλληλο προς έναν άξονα δεν τον τέμνει ποτέ, επομένως η τομή θεωρείται άπειρη και ο δείκτης Miller είναι 0. Ένα επίπεδο που τέμνει έναν άξονα στην αρνητική πλευρά της αρχής των αξόνων έχει αρνητικό δείκτη, ο οποίος στην τυπική σημειογραφία γράφεται με οριζόντια γραμμή πάνω από τον αριθμό ή, σε απλό κείμενο, με αρνητικό πρόσημο. Ένα επίπεδο που διέρχεται από την ίδια την αρχή των αξόνων δεν έχει ορισμένους δείκτες Miller, επειδή κάθε οικογένεια παράλληλων επιπέδων σε ένα πλέγμα πρέπει να μετατοπίζεται από την αρχή των αξόνων για να αριθμηθεί· η αρχή πρέπει πρώτα να μετατοπιστεί ώστε να μπορεί να περιγραφεί ένα τέτοιο επίπεδο. Οι κλασματικές τομές αντιμετωπίζονται όπως και οι ακέραιες: παίρνουμε το αντίστροφο καθεμιάς και κατόπιν απαλοιφούμε τα κλάσματα.

Οι δείκτες ανάγονται πάντοτε στους μικρότερους δυνατούς ακεραίους. Τα (622) και (311) περιγράφουν την ίδια οικογένεια επιπέδων, αλλά οι κρυσταλλογράφοι γράφουν πάντοτε (311).

Τρόπος χρήσης αυτού του υπολογιστή

Εισαγάγετε τις τομές του επιπέδου στους άξονες x, y και z.

• Χρησιμοποιήστε θετικό αριθμό για τομή στη θετική πλευρά της αρχής των αξόνων και αρνητικό αριθμό για την αρνητική πλευρά.
• Πληκτρολογήστε "infinity", "inf" ή "∞" για επίπεδο παράλληλο προς έναν άξονα.
• Η μηδενική τομή δεν γίνεται δεκτή, επειδή σε ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων δεν μπορούν να αποδοθούν δείκτες Miller με αυτή τη μέθοδο.

Η αριθμομηχανή υπολογίζει αμέσως τους δείκτες και εμφανίζει διάγραμμα του επιπέδου μέσα στη μοναδιαία κυψελίδα.

Εφαρμογές των δεικτών Miller

Περίθλαση ακτίνων Χ. Κάθε κηλίδα ή κορυφή σε ένα διάγραμμα περίθλασης ακτίνων Χ αντιστοιχεί σε ένα σύνολο επιπέδων του πλέγματος με συγκεκριμένο (hkl). Ο νόμος του Bragg συνδέει την απόσταση αυτών των επιπέδων με τη γωνία περίθλασης:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Εδώ d_hkl είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων (h,k,l), λ είναι το μήκος κύματος των ακτίνων Χ και θ είναι η γωνία περίθλασης. Η αντιστοίχιση των παρατηρούμενων κορυφών με τιμές (hkl), μια διαδικασία που ονομάζεται δεικτοδότηση, αποτελεί βασικό βήμα για τον προσδιορισμό μιας άγνωστης κρυσταλλικής δομής.

Επιστήμη των υλικών. Διαφορετικά κρυσταλλικά επίπεδα εκθέτουν διαφορετικές διατάξεις ατόμων, επομένως έχουν διαφορετικές επιφανειακές ενέργειες, διαφορετικούς ρυθμούς χημικής αντίδρασης και διαφορετικούς ρόλους στον τρόπο παραμόρφωσης ενός μετάλλου. Σε μέταλλα κυβικού εδροκεντρωμένου πλέγματος, όπως το αλουμίνιο, τα ατομικά επίπεδα ολισθαίνουν το ένα ως προς το άλλο ευκολότερα κατά μήκος επιπέδων {111}. Οι γκοφρέτες πυριτίου για τσιπ υπολογιστών συνήθως κόβονται κατά μήκος του επιπέδου (100) ή (111), επειδή η επιλογή επηρεάζει τη συμπεριφορά των επόμενων σταδίων κατασκευής.

Ορυκτολογία. Οι επίπεδες έδρες που παρατηρούνται σε έναν φυσικό κρύσταλλο, καθώς και οι διευθύνσεις κατά τις οποίες ένα ορυκτό σχίζεται καθαρά (η σχισιμότητά του), αντιστοιχούν σε συγκεκριμένα επίπεδα μικρών δεικτών. Ο αλίτης (ορυκτό αλάτι) σχίζεται κατά μήκος επιπέδων {100}, ενώ ο φθορίτης σχίζεται κατά μήκος επιπέδων {111}.

Δείκτες Miller-Bravais για εξαγωνικούς κρυστάλλους

Οι εξαγωνικοί κρύσταλλοι, όπως το μαγνήσιο, ο ψευδάργυρος και το τιτάνιο, περιγράφονται συνήθως με σύστημα τεσσάρων δεικτών (hkil) αντί για τρεις. Ο πρόσθετος δείκτης i δεν είναι ανεξάρτητος· ισχύει πάντοτε i = -(h+k). Αυτή η μορφή διευκολύνει την αναγνώριση του γεγονότος ότι δύο επίπεδα ανήκουν στην ίδια οικογένεια ισοδύναμης συμμετρίας, κάτι που δεν είναι πάντοτε προφανές μόνο από τη σημειογραφία Miller τριών δεικτών σε ένα εξαγωνικό πλέγμα.

Ιστορία

Οι δείκτες Miller εισήχθησαν από τον William Hallowes Miller στο βιβλίο του A Treatise on Crystallography το 1839. Προϋπήρχαν συστήματα για την επισήμανση των εδρών των κρυστάλλων, αλλά η μέθοδος του Miller, που χρησιμοποιεί τα αντίστροφα των τομών, διευκόλυνε τον χειρισμό επιπέδων παράλληλων προς έναν άξονα, καθώς η τομή τους είναι άπειρη και το αντίστροφό της είναι απλώς 0. Μετά την ανακάλυψη της περίθλασης ακτίνων Χ από κρυστάλλους από τον Max von Laue το 1912, ο William Henry Bragg και ο William Lawrence Bragg έδειξαν ότι οι δείκτες Miller περιγράφουν ακριβώς τα επίπεδα που ευθύνονται για τις κορυφές περίθλασης· για αυτή την εργασία μοιράστηκαν το 1915 Νόμπελ Φυσικής.

Συχνές ερωτήσεις

Σε τι χρησιμοποιούνται οι δείκτες Miller; Προσδιορίζουν συγκεκριμένα επίπεδα σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα. Χρησιμοποιούνται για τη δεικτοδότηση κορυφών περίθλασης ακτίνων Χ και ηλεκτρονίων, για την περιγραφή επιπέδων ολίσθησης στα μέταλλα, για τον προσδιορισμό του προσανατολισμού πλακών ημιαγωγών και για την επισήμανση των εδρών και της σχισιμότητας των ορυκτών.

Τι σημαίνει το μηδέν σε έναν δείκτη Miller; Σημαίνει ότι το επίπεδο είναι παράλληλο προς αυτόν τον άξονα και δεν τον τέμνει ποτέ. Για παράδειγμα, το (201) είναι παράλληλο προς τον άξονα y.

Τι σημαίνουν οι αρνητικοί δείκτες Miller; Σημαίνουν ότι το επίπεδο τέμνει τον συγκεκριμένο άξονα στην αρνητική πλευρά της αρχής των αξόνων. Ένας αρνητικός δείκτης γράφεται με παύλα πάνω από τον αριθμό, όπως στο (2̄11), ή με πρόσημο μείον, όπως στο (-2,1,1).

Γιατί ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων δεν μπορεί να έχει δείκτες Miller; Οι δείκτες Miller προκύπτουν από το αντίστροφο μιας τομής. Ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τέμνει κάθε άξονα στο 0, ενώ το 1/0 δεν ορίζεται, επομένως η μέθοδος δεν μπορεί να αποδώσει δείκτες αν δεν μετατοπιστεί το επίπεδο.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των δεικτών Miller και Miller-Bravais; Οι δείκτες Miller (hkl) χρησιμοποιούν τρεις αριθμούς και ισχύουν για κάθε κρυσταλλικό σύστημα. Οι δείκτες Miller-Bravais (hkil) προσθέτουν έναν τέταρτο, εξαρτώμενο δείκτη και χρησιμοποιούνται κυρίως για εξαγωνικούς κρυστάλλους, όπου διευκολύνουν την αναγνώριση επιπέδων ισοδύναμων ως προς τη συμμετρία.

Πώς συνδέεται η απόσταση μεταξύ των επιπέδων με τους δείκτες Miller; Σε έναν κυβικό κρύσταλλο με μήκος ακμής a, η απόσταση μεταξύ γειτονικών επιπέδων (hkl) είναι d = a / √(h² + k² + l²). Τα επίπεδα με μεγαλύτερους δείκτες απέχουν λιγότερο μεταξύ τους. Τα άλλα κρυσταλλικά συστήματα χρησιμοποιούν παρόμοιο αλλά πιο σύνθετο τύπο, ο οποίος λαμβάνει υπόψη άνισα μήκη αξόνων και γωνίες που δεν είναι 90°.

Παραπομπές

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4η έκδ.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3η έκδ.). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.