Υπολογιστής Κατανομής Γάμμα - Εργαλείο Στατιστικής Ανάλυσης

Τι είναι ο υπολογιστής κατανομής γάμμα;

Ένας υπολογιστής κατανομής γάμμα βρίσκει τη μέση τιμή, τη διακύμανση, τη λοξότητα, την κύρτωση και την επικρατούσα τιμή μιας κατανομής γάμμα από δύο εισόδους: μια παράμετρο σχήματος και μια παράμετρο κλίμακας. Σχεδιάζει επίσης τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής ως καμπύλη.

Τι είναι η κατανομή γάμμα;

Η κατανομή γάμμα είναι μια συνεχής κατανομή πιθανότητας για θετικές τιμές. Ορίζεται από δύο παραμέτρους: μια παράμετρο σχήματος, που συνήθως συμβολίζεται με k, και μια παράμετρο κλίμακας, που συνήθως συμβολίζεται με θ (θήτα). Και οι δύο πρέπει να είναι μεγαλύτερες από το μηδέν. Η κατανομή γάμμα χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση μεγεθών που δεν μπορούν να είναι αρνητικά, όπως το συνολικό ύψος βροχής, το μέγεθος ασφαλιστικών αποζημιώσεων και ο χρόνος μέχρι τη βλάβη ενός εξαρτήματος μηχανής.

Τύπος της κατανομής γάμμα

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (ΣΠΠ) της κατανομής γάμμα είναι:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Εδώ x είναι η τιμή στην οποία μετράται η πυκνότητα, και Γ(k) είναι η συνάρτηση γάμμα, μια γενίκευση του παραγοντικού σε μη ακέραιους αριθμούς. Ο τύπος ισχύει μόνο για x > 0· η πυκνότητα είναι μηδέν παντού αλλού.

Πώς υπολογίζονται οι ιδιότητες της κατανομής γάμμα

Από την παράμετρο σχήματος k και την παράμετρο κλίμακας θ, ο υπολογιστής βρίσκει:

• Μέση τιμή: k × θ
• Διακύμανση: k × θ²
• Λοξότητα: 2 / √k
• Κύρτωση: 3 + 6 / k
• Επικρατούσα τιμή: (k − 1) × θ όταν k ≥ 1, αλλιώς 0

Η λοξότητα μετρά πόσο ασύμμετρη είναι η καμπύλη. Ένα μικρότερο k παράγει μια μακρύτερη δεξιά ουρά. Η κύρτωση μετρά πόσο βαριές είναι οι ουρές σε σύγκριση με την κανονική κατανομή, η οποία έχει κύρτωση 3. Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή x στην οποία η καμπύλη φτάνει στη μέγιστη τιμή της. Όταν το k είναι κάτω από 1, η πυκνότητα συνεχίζει να αυξάνεται καθώς το x πλησιάζει το 0, οπότε δεν υπάρχει εσωτερική κορυφή, και ο υπολογιστής αναφέρει επικρατούσα τιμή 0.

Παράδειγμα υπολογισμού

Θεωρήστε μια παράμετρο σχήματος k = 2 και μια παράμετρο κλίμακας θ = 3.

• Μέση τιμή = 2 × 3 = 6
• Διακύμανση = 2 × 3² = 18
• Λοξότητα = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Κύρτωση = 3 + 6 / 2 = 6
• Επικρατούσα τιμή = (2 − 1) × 3 = 3

Στην επικρατούσα τιμή, x = 3, η πυκνότητα προκύπτει f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Ο υπολογιστής σχεδιάζει την πλήρη καμπύλη αυτόματα μόλις εισαχθούν και οι δύο παράμετροι.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τον υπολογιστή κατανομής γάμμα

1. Εισαγάγετε την παράμετρο σχήματος (k), έναν θετικό αριθμό.
2. Εισαγάγετε την παράμετρο κλίμακας (θ), έναν θετικό αριθμό.
3. Η μέση τιμή, η διακύμανση, η λοξότητα, η κύρτωση και η επικρατούσα τιμή εμφανίζονται μόλις και τα δύο πεδία περιέχουν έγκυρους αριθμούς. Δεν υπάρχει ξεχωριστό κουμπί υπολογισμού· τα αποτελέσματα ενημερώνονται καθώς εισάγονται οι αριθμοί.
4. Το γράφημα κάτω από τα αποτελέσματα δείχνει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Σχεδιάζεται από λίγο πάνω από x = 0 έως όποιο από τα δύο είναι μεγαλύτερο: τριπλάσιο της μέσης τιμής ή πενταπλάσιο της παραμέτρου κλίμακας.

Και οι δύο παράμετροι πρέπει να είναι πεπερασμένοι αριθμοί μεγαλύτεροι από 0, και καμία δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1.000. Τιμές μικρότερες από περίπου 2 × 10⁻¹⁶ απορρίπτονται επίσης, επειδή οι συνοπτικοί αριθμοί παύουν να έχουν νόημα σε αυτό το μέγεθος. Μια τιμή εκτός του αποδεκτού εύρους παράγει μήνυμα σφάλματος αντί για αποτελέσματα.

Πού χρησιμοποιείται η κατανομή γάμμα

Η κατανομή γάμμα μοντελοποιεί πολλά πραγματικά μεγέθη που είναι πάντα θετικά και συχνά λοξά προς τα δεξιά:

• Ασφάλειες: μεγέθη αποζημιώσεων και ποσά πληρωμών
• Μετεωρολογία: συνολικό ύψος βροχής σε καθορισμένη περίοδο
• Μηχανική: χρόνος μέχρι τη βλάβη ενός εξαρτήματος
• Θεωρία ουρών αναμονής: χρόνοι αναμονής που αποτελούνται από αρκετά εκθετικά βήματα
• Βιολογία: επίπεδα γονιδιακής έκφρασης και δεδομένα καταμέτρησης ειδών

Σχετικές κατανομές

Δύο γνωστές κατανομές είναι ειδικές περιπτώσεις της κατανομής γάμμα:

• Εκθετική κατανομή: μια κατανομή γάμμα με k = 1
• Κατανομή χ-τετράγωνο: μια κατανομή γάμμα με k = n/2 και θ = 2, όπου n είναι οι βαθμοί ελευθερίας

Οι κατανομές Weibull και λογαριθμοκανονική είναι συνήθεις εναλλακτικές για τη μοντελοποίηση θετικών, λοξών δεδομένων.

Συχνές ερωτήσεις

Σε τι χρησιμοποιείται η κατανομή γάμμα; Μοντελοποιεί συνεχή, θετικά μεγέθη όπως χρόνους αναμονής, ποσότητες βροχής και ασφαλιστικές αποζημιώσεις, ειδικά όταν τα δεδομένα τείνουν προς μεγάλες τιμές.

Πώς βρίσκετε τη μέση τιμή μιας κατανομής γάμμα; Πολλαπλασιάστε την παράμετρο σχήματος με την παράμετρο κλίμακας: μέση τιμή = k × θ. Για k = 2 και θ = 3, η μέση τιμή είναι 6.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της παραμέτρου σχήματος και της παραμέτρου κλίμακας; Η παράμετρος σχήματος (k) ελέγχει τη μορφή της καμπύλης, συμπεριλαμβανομένης της λοξότητάς της. Η παράμετρος κλίμακας (θ) τεντώνει ή συμπιέζει την καμπύλη κατά μήκος του άξονα x χωρίς να αλλάζει το βασικό της σχήμα.

Πώς σχετίζεται η κατανομή γάμμα με την εκθετική κατανομή; Η εκθετική κατανομή είναι η κατανομή γάμμα με παράμετρο σχήματος k = 1.

Μπορεί η κατανομή γάμμα να πάρει αρνητικές τιμές; Όχι. Ορίζεται μόνο για x > 0. Δεδομένα που μπορούν να είναι αρνητικά χρειάζονται διαφορετική κατανομή, όπως η κανονική κατανομή.

Υπολογίζει αυτός ο υπολογιστής την αθροιστική συνάρτηση κατανομής; Όχι. Υπολογίζει τη μέση τιμή, τη διακύμανση, τη λοξότητα, την κύρτωση και την επικρατούσα τιμή, και σχεδιάζει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Δεν παράγει τιμές αθροιστικής πιθανότητας.

Αναφορές

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.