Υπολογιστής Διωνυμικής Κατανομής - Δωρεάν Εργαλείο Πιθανοτήτων

Τι είναι ένας υπολογιστής διωνυμικής κατανομής;

Ένας υπολογιστής διωνυμικής κατανομής βρίσκει την πιθανότητα να προκύψει ένας ακριβής αριθμός επιτυχιών σε έναν σταθερό αριθμό ανεξάρτητων δοκιμών, όταν κάθε δοκιμή έχει την ίδια πιθανότητα επιτυχίας. Χρησιμοποιείται στη στατιστική, στον ποιοτικό έλεγχο, στην ιατρική και σε κάθε πεδίο που μελετά επαναλαμβανόμενα γεγονότα με δύο δυνατές απαντήσεις, όπως «ναι» ή «όχι».

Η βασική ιδέα είναι η διωνυμική κατανομή, ένα μοντέλο πιθανότητας για την καταμέτρηση επιτυχιών σε επαναλαμβανόμενες δοκιμές, καθεμία από τις οποίες έχει μόνο δύο αποτελέσματα, που συνήθως ονομάζονται επιτυχία και αποτυχία.

Τύπος της διωνυμικής κατανομής

Η πιθανότητα να προκύψουν ακριβώς k επιτυχίες σε n δοκιμές είναι:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Κάθε σύμβολο σημαίνει:

• n — ο αριθμός των δοκιμών.
• k — ο αριθμός των επιτυχιών για τον οποίο υπολογίζεται η πιθανότητα.
• p — η πιθανότητα επιτυχίας σε μία δοκιμή, ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1.
• $\binom{n}{k}$ — ο διωνυμικός συντελεστής, δηλαδή ο αριθμός διαφορετικών τρόπων επιλογής k επιτυχιών από n δοκιμές. Ισούται με $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Κάθε δοκιμή πρέπει να είναι ανεξάρτητη, δηλαδή το αποτέλεσμα μίας δοκιμής να μην αλλάζει τις πιθανότητες μιας άλλης, και η πιθανότητα επιτυχίας p πρέπει να παραμένει ίδια σε όλες τις δοκιμές. Μία δοκιμή με δύο δυνατά αποτελέσματα, όπως μία ρίψη νομίσματος, ονομάζεται δοκιμή Bernoulli. Η διωνυμική κατανομή προκύπτει από το άθροισμα n δοκιμών Bernoulli.

Πώς υπολογίζεται η διωνυμική πιθανότητα

1. Καταγράψτε τα n, k και p.
2. Υπολογίστε τον διωνυμικό συντελεστή $\binom{n}{k}$, δηλαδή τον αριθμό τρόπων τοποθέτησης k επιτυχιών σε n δοκιμές.
3. Υψώστε το p στη δύναμη k.
4. Υψώστε το (1 − p) στη δύναμη (n − k).
5. Πολλαπλασιάστε τους τρεις αριθμούς μεταξύ τους.

Ο υπολογιστής σε αυτή τη σελίδα εκτελεί αυτόματα αυτά τα βήματα. Εισαγάγετε τα n, p και k και εμφανίζει το P(X = k), μαζί με ραβδόγραμμα που δείχνει την πιθανότητα κάθε δυνατού αποτελέσματος, από 0 έως n επιτυχίες.

Λυμένο παράδειγμα

Παράδειγμα 1: ρίψεις νομίσματος

Ρίξτε ένα αμερόληπτο νόμισμα 10 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς 3 κορόνες;

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Αποτέλεσμα: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, δηλαδή περίπου 11,72%

Παράδειγμα 2: ποιοτικός έλεγχος

Ένα εργοστάσιο ελέγχει 100 αντικείμενα. Κάθε αντικείμενο έχει πιθανότητα 2% να είναι ελαττωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα κανένα από τα 100 αντικείμενα να μην είναι ελαττωματικό;

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Εφόσον k = 0, ο τύπος απλοποιείται σε $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Αποτέλεσμα: ≈ 0,1326, δηλαδή περίπου 13,26%

Παράδειγμα 3: έλεγχος για ασθένεια

Μια πόλη εξετάζει 1.000 ανθρώπους για μια ασθένεια που προσβάλλει 0,1% του πληθυσμού (p = 0,001). Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 5 από τους 1.000 ανθρώπους να έχουν μολυνθεί;

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Αποτέλεσμα: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, δηλαδή περίπου 0,30% (ακριβής τιμή 0,0030488, δηλαδή 0,30488%)

Μέση τιμή και διακύμανση

Για διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και p:

• Μέση τιμή (αναμενόμενη τιμή): E(X) = np
• Διακύμανση: Var(X) = np(1 − p)
• Τυπική απόκλιση: σ = √[np(1 − p)]

Η μέση τιμή δείχνει τον αναμενόμενο μέσο αριθμό επιτυχιών σε πολλές επαναλήψεις. Στο Παράδειγμα 1, η μέση τιμή είναι 10 × 0,5 = 5 κορόνες.

Τι δέχεται ο υπολογιστής

• Το n πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός 1 ή μεγαλύτερος. Μια δεκαδική καταχώριση στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό δοκιμών, επομένως το 10,9 αντιμετωπίζεται ως 11.
• Το p πρέπει να βρίσκεται μεταξύ 0 και 1, συμπεριλαμβανομένων των ορίων.
• Το k πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός 0 ή μεγαλύτερος και δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το n. Η εμφάνιση 8 επιτυχιών σε 5 δοκιμές είναι αδύνατη, επομένως ο υπολογιστής εμφανίζει σφάλμα αντί για αριθμό.

Αν οποιοδήποτε πεδίο παραμείνει κενό, ο υπολογιστής δεν εμφανίζει αποτέλεσμα ούτε γράφημα, αντί να υποθέσει κάποια τιμή.

Πότε εφαρμόζεται η διωνυμική κατανομή

Η διωνυμική κατανομή ταιριάζει σε μια κατάσταση μόνο όταν ισχύουν και οι τέσσερις προϋποθέσεις:

1. Ο αριθμός των δοκιμών, n, έχει καθοριστεί εκ των προτέρων.
2. Κάθε δοκιμή έχει μόνο δύο αποτελέσματα: επιτυχία ή αποτυχία.
3. Η πιθανότητα επιτυχίας, p, είναι ίδια σε κάθε δοκιμή.
4. Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Η λήψη τραπουλόχαρτων από μια τράπουλα χωρίς επανατοποθέτηση παραβιάζει την προϋπόθεση της ανεξαρτησίας, επειδή η αφαίρεση ενός χαρτιού αλλάζει τις πιθανότητες της επόμενης λήψης. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται η υπεργεωμετρική κατανομή.

Σχετικές κατανομές

• Κατανομή Poisson: χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής όταν το n είναι μεγάλο και το p μικρό, έτσι ώστε ο μέσος αριθμός επιτυχιών (np) να παραμένει μέτριος. Είναι συνηθισμένη για τη μοντελοποίηση σπάνιων γεγονότων, όπως το περιστατικό ασθένειας στο Παράδειγμα 3.
• Κανονική κατανομή: για μεγάλο n, και όταν το p δεν είναι πολύ κοντά στο 0 ή στο 1, η διωνυμική κατανομή έχει περίπου κωδωνοειδές σχήμα και μπορεί να προσεγγιστεί από κανονική κατανομή με μέση τιμή np και διακύμανση np(1 − p).
• Υπεργεωμετρική κατανομή: χρησιμοποιείται αντί της διωνυμικής κατανομής όταν η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση από πεπερασμένο πληθυσμό.

Συχνές ερωτήσεις

Τι κάνει ένας υπολογιστής διωνυμικής κατανομής;

Υπολογίζει την πιθανότητα να προκύψουν ακριβώς k επιτυχίες σε n ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία με πιθανότητα επιτυχίας p, χρησιμοποιώντας τον τύπο P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ διωνυμικής και κανονικής κατανομής;

Η διωνυμική κατανομή είναι διακριτή, δηλαδή παράγει μόνο καταμετρήσεις επιτυχιών με ακέραιες τιμές. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής. Για μεγάλο n, μια διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί από κανονική καμπύλη με μέση τιμή np και διακύμανση np(1 − p).

Μπορεί το p να είναι 0 ή 1;

Ναι. Αν p = 0, καμία δοκιμή δεν μπορεί να είναι επιτυχής, επομένως P(X = 0) = 1. Αν p = 1, κάθε δοκιμή είναι επιτυχής, επομένως P(X = n) = 1. Όλες οι άλλες τιμές του k έχουν πιθανότητα 0 σε αυτές τις περιπτώσεις.

Ποια είναι η σχέση μεταξύ των διωνυμικών κατανομών και των κατανομών Bernoulli;

Μια κατανομή Bernoulli περιγράφει μία δοκιμή με δύο αποτελέσματα (n = 1). Μια διωνυμική κατανομή είναι το άθροισμα n ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli, επομένως μια κατανομή Bernoulli είναι απλώς διωνυμική κατανομή με n = 1.

Πόσο μεγάλο μπορεί να γίνει το n πριν ο υπολογιστής γίνει ανακριβής;

Ο υπολογιστής λειτουργεί με αριθμητική τυπικής διπλής ακρίβειας. Πολλαπλασιάζει απευθείας τα τρία μέρη του τύπου και μεταβαίνει σε λογαρίθμους όταν ο διωνυμικός συντελεστής ξεπεράσει τον μεγαλύτερο αριθμό που μπορεί να αποθηκεύσει ένας αριθμός διπλής ακρίβειας, κάτι που συμβαίνει κοντά στο n = 1.000 όταν το k είναι κοντά στο n/2. Τα αποτελέσματα παραμένουν σωστά και μετά από αυτό το σημείο. Πιθανότητα μικρότερη από περίπου 1e-308 αναφέρεται ως 0, επειδή κανένας αριθμός διπλής ακρίβειας δεν μπορεί να την αποθηκεύσει.

Πώς υπολογίζεται ο διωνυμικός συντελεστής;

Ο διωνυμικός συντελεστής C(n, k) μετρά τον αριθμό τρόπων επιλογής k αντικειμένων από n αντικείμενα, ανεξάρτητα από τη σειρά. Ισούται με n! / (k! × (n − k)!). Ο υπολογιστής τον υπολογίζει βήμα προς βήμα, πολλαπλασιάζοντας με έναν παράγοντα και διαιρώντας με τον επόμενο, ώστε να μην χρειάζεται να αποθηκεύσει ένα πλήρες παραγοντικό. Για πολύ μεγάλο n, αθροίζει αντ’ αυτού τους λογαρίθμους αυτών των παραγόντων.

Παραπομπές

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Ίδρυμα Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.