Υπολογιστής Κατακόρυφης Καμπύλης - Εργαλείο Σχεδιασμού Οδικών Έργων

Τι είναι ένας υπολογιστής κατακόρυφων καμπυλών;

Ένας υπολογιστής κατακόρυφων καμπυλών βρίσκει τα υψόμετρα, την τιμή K και τα βασικά σημεία μιας κατακόρυφης καμπύλης, δηλαδή της παραβολικής καμπύλης που χρησιμοποιούν οι μηχανικοί για να συνδέουν ομαλά δύο κλίσεις δρόμου. Αντί ένας δρόμος να συναντάται σε οξεία γωνία, όπου αλλάζει απότομα η κλίση, μια κατακόρυφη καμπύλη συνδυάζει τις δύο κλίσεις σε μία συνεχή καμπύλη. Έτσι η διαδρομή γίνεται ομαλότερη, οι οδηγοί μπορούν να βλέπουν αρκετά μακριά ώστε να σταματούν με ασφάλεια και η απορροή του νερού γίνεται σωστά.

Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν κατακόρυφες καμπύλες στον σχεδιασμό αυτοκινητοδρόμων, οδών, σιδηροδρομικών γραμμών, διαδρόμων αεροδρομίων και διαμορφωμένων χώρων, όπως οι χώροι στάθμευσης. Όπου χρειάζεται να μεταβληθεί η κλίση ενός δρόμου ή μιας τροχιάς, μια κατακόρυφη καμπύλη πραγματοποιεί αυτή τη μετάβαση.

Καμπύλες κορυφής και καμπύλες κοίλωσης

Μια κατακόρυφη καμπύλη ανήκει σε έναν από δύο τύπους, ανάλογα με το πώς συγκρίνονται οι κλίσεις πριν και μετά από την καμπύλη. Η κλίση γράφεται ως ποσοστό: μια κλίση 3% ανεβαίνει 3 μέτρα για κάθε 100 μέτρα διαδρομής.

• Καμπύλη κορυφής: η αρχική κλίση είναι μεγαλύτερη από την τελική κλίση (g₁ > g₂). Ο δρόμος ανηφορίζει, περνά πάνω από ένα υψηλό σημείο και μετά κατηφορίζει — όπως στην κορυφή ενός λόφου.
• Καμπύλη κοίλωσης: η αρχική κλίση είναι μικρότερη από την τελική κλίση (g₁ < g₂). Ο δρόμος κατηφορίζει, περνά από ένα χαμηλό σημείο και μετά ανηφορίζει — όπως στον πυθμένα μιας κοιλότητας.
• Αν οι δύο κλίσεις είναι ίσες, δεν χρειάζεται καμπύλη. Ο δρόμος είναι ήδη ευθεία.

Οι καμπύλες κορυφής είναι σημαντικότερες για την απόσταση ορατότητας ακινητοποίησης: ο οδηγός πρέπει να βλέπει αρκετά μακριά ώστε να σταματήσει πριν χτυπήσει ένα εμπόδιο. Οι καμπύλες κοίλωσης είναι σημαντικότερες για την απόσταση ορατότητας με τους προβολείς τη νύχτα και για την αποστράγγιση, επειδή το νερό συγκεντρώνεται στο χαμηλό σημείο.

Βασικοί όροι

• PVI (Σημείο κατακόρυφης τομής): το σημείο όπου θα συναντιούνταν οι δύο ευθείες γραμμές κλίσης, αν δεν υπήρχε καμπύλη.
• PVC (Σημείο έναρξης κατακόρυφης καμπύλης): το σημείο όπου αρχίζει η καμπύλη.
• PVT (Σημείο λήξης κατακόρυφης καμπύλης): το σημείο όπου τελειώνει η καμπύλη.
• Τιμή K: το μήκος της καμπύλης διαιρεμένο με τη μεταβολή της κλίσης. Μετρά πόσο ομαλή είναι η καμπύλη.
• Σταθμός: μέτρηση απόστασης κατά μήκος της κεντρικής γραμμής του δρόμου, που χρησιμοποιείται αντί για απλές συντεταγμένες. Σε αυτόν τον υπολογιστή, ο σταθμός και το υψόμετρο εισάγονται και τα δύο σε μέτρα.

Μια καμπύλη είναι συνήθως συμμετρική: το PVC βρίσκεται σε απόσταση ίση με το μισό του μήκους της καμπύλης πριν από το PVI και το PVT σε αντίστοιχη απόσταση μετά από αυτό.

Τύπος κατακόρυφης καμπύλης

Το υψόμετρο σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης περιγράφεται από μια δευτεροβάθμια (παραβολική) εξίσωση:

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = υψόμετρο σε απόσταση $x$ από το PVC
• $y_{PVC}$ = υψόμετρο στο PVC
• $g_1$ = αρχική κλίση, ως δεκαδικός αριθμός (κλίση 3% είναι 0,03)
• $A$ = αλγεβρική διαφορά των κλίσεων, $g_2 - g_1$ (σε δεκαδική μορφή)
• $L$ = μήκος καμπύλης

Τύπος της τιμής K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Τα $g_1$ και $g_2$ εδώ είναι ποσοστά. Μεγαλύτερη τιμή K σημαίνει πιο επίπεδη και ομαλότερη καμπύλη. Εγχειρίδια σχεδιασμού, όπως το «Πολιτική για τον γεωμετρικό σχεδιασμό αυτοκινητοδρόμων και οδών» της AASHTO, καθορίζουν ελάχιστες τιμές K για αυτοκινητοδρόμους, με βάση την ταχύτητα σχεδιασμού και το αν η καμπύλη είναι κορυφής ή κοίλωσης.

Αν το $g_1$ ισούται με το $g_2$, η μεταβολή της κλίσης είναι μηδενική και το K δεν ορίζεται. Ο υπολογιστής εμφανίζει τότε μια παύλα στη θέση της τιμής K. Κλίσεις που διαφέρουν λιγότερο από 0,0001% θεωρούνται ίσες.

PVC και PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

(Τα $g_1$ και $g_2$ είναι εδώ ποσοστά· η διαίρεση με το 200 μετατρέπει το ποσοστό σε δεκαδικό και το εφαρμόζει στο μισό μήκος της καμπύλης.)

Υψηλό ή χαμηλό σημείο

Ένα υψηλό σημείο (καμπύλη κορυφής) ή χαμηλό σημείο (καμπύλη κοίλωσης) βρίσκεται πάνω στην καμπύλη όταν οι δύο κλίσεις έχουν αντίθετα πρόσημα ή όταν μία κλίση είναι ακριβώς μηδενική. Η απόστασή του από το PVC είναι:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Προσθέστε το $x$ στον σταθμό του PVC για να βρείτε τον σταθμό του υψηλού ή χαμηλού σημείου και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τον παραπάνω τύπο υψομέτρου για να βρείτε το υψόμετρό του. Όταν και οι δύο κλίσεις έχουν το ίδιο πρόσημο, το σημείο αυτό βρίσκεται εκτός του εύρους PVC–PVT, επομένως ο δρόμος συνεχίζει να ανηφορίζει ή να κατηφορίζει σε όλη την καμπύλη και ο υπολογιστής αναφέρει ότι δεν υπάρχει υψηλό ή χαμηλό σημείο. Όταν μία κλίση είναι μηδενική, το σημείο βρίσκεται ακριβώς στο PVC ή στο PVT.

Πώς υπολογίζεται μια κατακόρυφη καμπύλη

1. Εισαγάγετε την αρχική και την τελική κλίση, ως ποσοστά. Χρησιμοποιήστε θετικό αριθμό για ανηφορική κλίση και αρνητικό αριθμό για κατηφορική κλίση.
2. Εισαγάγετε το μήκος της καμπύλης, σε μέτρα.
3. Εισαγάγετε τον σταθμό και το υψόμετρο του PVI, και τα δύο σε μέτρα.
4. Διαβάστε τον τύπο καμπύλης (κορυφής, κοίλωσης ή κανένας), την τιμή K και τους σταθμούς και τα υψόμετρα των PVC και PVT.
5. Αν οι κλίσεις έχουν αντίθετα πρόσημα ή μία από αυτές είναι μηδενική, ο υπολογιστής αναφέρει επίσης το υψηλό ή χαμηλό σημείο.
6. Για να βρείτε το υψόμετρο σε οποιοδήποτε άλλο σημείο, εισαγάγετε έναν σταθμό αναζήτησης. Αν ο σταθμός βρίσκεται εκτός της καμπύλης, ο υπολογιστής το αναφέρει αντί να δώσει αριθμό, επειδή ο τύπος ισχύει μόνο μεταξύ του PVC και του PVT.

Παράδειγμα υπολογισμού: καμπύλη κορυφής

Ένας δρόμος ανηφορίζει με κλίση 3% και στη συνέχεια κατηφορίζει με -2%. Το PVI βρίσκεται στον σταθμό 1000,00 m, με υψόμετρο 150,00 m. Το μήκος της καμπύλης είναι 400 m.

Τιμή K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: σταθμός $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m· υψόμετρο $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: σταθμός $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m· υψόμετρο $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Υψηλό σημείο: επειδή τα 3 και −2 έχουν αντίθετα πρόσημα, υπάρχει υψηλό σημείο. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m από το PVC, επομένως ο σταθμός του είναι $800 + 240 = 1040.00$ m. Το υψόμετρό του είναι $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Παράδειγμα υπολογισμού: καμπύλη κοίλωσης

Ένας δρόμος κατηφορίζει με -3% και στη συνέχεια ανηφορίζει με 2%. Το PVI βρίσκεται στον σταθμό 500,00 m, με υψόμετρο 85,00 m. Το μήκος της καμπύλης είναι 200 m.

Τιμή K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: σταθμός $= 400.00$ m· υψόμετρο $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: σταθμός $= 600.00$ m· υψόμετρο $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Χαμηλό σημείο: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m από το PVC, επομένως ο σταθμός του είναι $400 + 120 = 520.00$ m. Το υψόμετρό του είναι $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Σε αυτό το χαμηλό σημείο συγκεντρώνεται το επιφανειακό νερό, επομένως εκεί τοποθετεί ο σχεδιαστής μια είσοδο αποστράγγισης και όχι στο PVI.

Συχνές ερωτήσεις

Τι είναι η τιμή K στον σχεδιασμό κατακόρυφων καμπυλών; Η τιμή K είναι το μήκος της καμπύλης διαιρεμένο με την απόλυτη διαφορά μεταξύ των δύο κλίσεων. Δείχνει πόσα μέτρα καμπύλης αντιστοιχούν σε μεταβολή κλίσης 1%. Μεγαλύτερη τιμή K σημαίνει πιο επίπεδη και ομαλότερη καμπύλη.

Πώς γνωρίζω αν χρειάζομαι καμπύλη κορυφής ή καμπύλη κοίλωσης; Συγκρίνετε τις δύο κλίσεις. Αν η αρχική κλίση είναι μεγαλύτερη από την τελική, πρόκειται για καμπύλη κορυφής. Αν η αρχική κλίση είναι μικρότερη από την τελική, πρόκειται για καμπύλη κοίλωσης. Για ίσες κλίσεις δεν χρειάζεται καθόλου καμπύλη.

Τι συμβαίνει αν η αρχική και η τελική κλίση είναι ίσες; Δεν χρειάζεται κατακόρυφη καμπύλη, επειδή ο δρόμος είναι ήδη ευθύς. Η τιμή K δεν ορίζεται, επειδή θα απαιτούσε διαίρεση με μηδενική μεταβολή κλίσης, οπότε ο υπολογιστής εμφανίζει παύλα αντί για αριθμό.

Πώς βρίσκετε το υψηλό ή το χαμηλό σημείο μιας καμπύλης; Υπάρχει όταν οι δύο κλίσεις έχουν αντίθετα πρόσημα ή όταν μία από αυτές είναι μηδενική. Η απόστασή του από το PVC είναι $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Προσθέστε την στον σταθμό του PVC για να βρείτε τη θέση του και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τον τύπο υψομέτρου της καμπύλης για να βρείτε το υψόμετρό του. Κλίσεις με το ίδιο πρόσημο τοποθετούν αυτό το σημείο εκτός της καμπύλης, επομένως δεν υπάρχει.

Γιατί έχει σημασία το χαμηλό σημείο μιας καμπύλης κοίλωσης για την αποστράγγιση; Το νερό που κατεβαίνει και από τις δύο πλευρές της κοιλότητας συγκεντρώνεται στο χαμηλό σημείο. Αν μια είσοδος αποστράγγισης τοποθετηθεί στο PVI αντί για το πραγματικό χαμηλό σημείο, μπορεί να λιμνάσει νερό στον δρόμο, επειδή τα δύο σημεία σπάνια συμπίπτουν.

Μπορεί ένας σταθμός αναζήτησης να βρίσκεται εκτός της καμπύλης; Ναι. Ο τύπος υψομέτρου ισχύει μόνο μεταξύ του PVC και του PVT. Ένας σταθμός εκτός αυτού του εύρους δεν έχει ορισμένο υψόμετρο πάνω στην καμπύλη, επομένως ο υπολογιστής τον αναφέρει ως εκτός καμπύλης.