Calculadora de Índices de Miller - Convertir Interceptos de Planos Cristalinos a (hkl)

¿Qué son los índices de Miller?

Los índices de Miller son un conjunto de tres números enteros, escritos como (h,k,l), que identifican un plano en una red cristalina. Una red cristalina es la disposición repetitiva y ordenada de átomos que se encuentra en un material sólido. Los índices de Miller indican a los científicos exactamente qué sección de esa red representa un plano, sin necesidad de describir su geometría con palabras. Fueron introducidos por el mineralogista británico William Hallowes Miller en 1839 y siguen siendo la notación estándar de la cristalografía.

Esta calculadora convierte los interceptos de un plano sobre los ejes cristalográficos x, y y z en sus índices de Miller (h,k,l).

Fórmula de los índices de Miller

Los índices de Miller se obtienen a partir de los recíprocos de los interceptos del plano con los ejes. Si un plano corta los ejes x, y y z a distancias a, b y c del origen, los índices cumplen:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Cómo calcular los índices de Miller a partir de los interceptos

1. Determine dónde corta el plano cada eje, medido en unidades del borde de la celda unidad. Denomine a estos interceptos a, b y c.
2. Calcule el recíproco de cada intercepto: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multiplique los tres recíprocos por el mismo número para que cada uno se convierta en un número entero.
4. Divida los tres números enteros por su máximo común divisor, de modo que no puedan reducirse más.

Los tres números enteros resultantes son h, k y l. Un plano que nunca corta un eje se considera que lo intercepta en el infinito, y 1 dividido por infinito es 0, por lo que ese eje recibe un índice de Miller igual a 0.

Ejemplo resuelto

Un plano intercepta el eje x en 2, el eje y en 3 y el eje z en 6.

1. Interceptos: (2, 3, 6)
2. Recíprocos: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multiplique por el mínimo común múltiplo de los denominadores, 6: (3, 2, 1)
4. El máximo común divisor de 3, 2 y 1 es 1, por lo que los números no pueden reducirse más.

Los índices de Miller son (321).

Otros ejemplos

• Un plano que pasa por (1, ∞, 2), paralelo al eje y, tiene como recíprocos (1, 0, 1/2). Al multiplicar por 2 se obtiene (2, 0, 1). El 0 muestra que el plano nunca corta el eje y.
• Un plano que pasa por (-1, 2, 3) tiene como recíprocos (-1, 1/2, 1/3). Al multiplicar por 6 se obtiene (-6, 3, 2), que normalmente se escribe (6̄32), con una barra sobre el índice negativo.
• Un plano que pasa por (1, ∞, ∞) tiene como recíprocos (1, 0, 0), lo que da (100). Esta es una de las seis caras de un cubo.

Casos especiales

Un plano paralelo a un eje nunca lo corta, por lo que ese intercepto se considera infinito y su índice de Miller es 0. Un plano que intercepta un eje en el lado negativo del origen recibe un índice negativo, escrito con una barra sobre el número en la notación formal o con un signo menos en texto normal. Un plano que pasa por el propio origen no tiene índices de Miller definidos, porque toda familia de planos paralelos en una red debe estar desplazada respecto del origen para poder indexarse; es necesario desplazar el origen antes de describir un plano de este tipo. Los interceptos fraccionarios se tratan igual que los interceptos enteros: se calcula el recíproco de cada uno y después se eliminan las fracciones.

Los índices siempre se reducen a los números enteros más pequeños posibles. (622) y (311) describen la misma familia de planos, pero los cristalógrafos siempre escriben (311).

Cómo utilizar esta calculadora

Introduzca las intersecciones del plano con los ejes x, y y z.

• Use un número positivo para un intercepto en el lado positivo del origen y uno negativo para un intercepto en el lado negativo.
• Introduzca «infinity», «inf» o «∞» para indicar un plano paralelo a un eje.
• No se acepta un intercepto de cero, porque no se pueden asignar índices de Miller mediante este método a un plano que pasa por el origen.

La calculadora calcula los índices al instante y muestra un diagrama del plano dentro de la celda unidad.

Aplicaciones de los índices de Miller

Difracción de rayos X. Cada punto o máximo de un patrón de difracción de rayos X corresponde a un conjunto de planos de la red con un (hkl) específico. La ley de Bragg relaciona la separación entre esos planos con el ángulo de difracción:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Aquí d_hkl es la separación entre los planos (h,k,l), λ es la longitud de onda de los rayos X y θ es el ángulo de difracción. Relacionar los máximos observados con valores (hkl), proceso denominado indexación, es un paso básico para identificar una estructura cristalina desconocida.

Ciencia de materiales. Los distintos planos cristalinos exponen diferentes disposiciones de átomos, por lo que tienen distintas energías superficiales, diferentes velocidades de reacción química y distintas funciones en la deformación de un metal. En metales cúbicos centrados en las caras, como el aluminio, los planos atómicos se deslizan unos sobre otros con mayor facilidad a lo largo de los planos {111}. Las obleas de silicio para chips informáticos suelen cortarse a lo largo del plano (100) o (111), porque la elección afecta al comportamiento de las etapas posteriores de fabricación.

Mineralogía. Las caras planas visibles en un cristal natural y las direcciones a lo largo de las cuales un mineral se rompe limpiamente (su exfoliación) corresponden a planos específicos de bajo índice. La halita, o sal común, se exfolia a lo largo de los planos {100}, y la fluorita, a lo largo de los planos {111}.

Índices de Miller-Bravais para cristales hexagonales

Los cristales hexagonales, como el magnesio, el zinc y el titanio, suelen describirse con un sistema de cuatro índices (hkil) en lugar de tres. El índice adicional i no es independiente; siempre es i = -(h+k). Esta forma facilita observar que dos planos pertenecen a la misma familia equivalente por simetría, algo que no siempre resulta evidente usando únicamente la notación de Miller de tres índices en una red hexagonal.

Historia

William Hallowes Miller introdujo los índices que llevan su nombre en su libro de 1839 A Treatise on Crystallography. Ya existían sistemas anteriores para etiquetar las caras cristalinas, pero el método de Miller, basado en los recíprocos de las intersecciones, facilitó el tratamiento de los planos paralelos a un eje, ya que su intersección es infinita y su recíproco es simplemente 0. Después de que Max von Laue descubriera la difracción de rayos X por cristales en 1912, William Henry Bragg y William Lawrence Bragg demostraron que los índices de Miller describen exactamente los planos responsables de los máximos de difracción, trabajo por el que compartieron el Premio Nobel de Física de 1915.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se utilizan los índices de Miller? Identifican planos específicos en una red cristalina. Se utilizan para indexar máximos de difracción de rayos X y de electrones, describir planos de deslizamiento en metales, especificar la orientación de obleas semiconductoras e identificar las caras y la exfoliación de los minerales.

¿Qué significa un cero en un índice de Miller? Significa que el plano es paralelo a ese eje y nunca lo corta. Por ejemplo, (201) es paralelo al eje y.

¿Qué significan los índices de Miller negativos? Significan que el plano corta ese eje en el lado negativo del origen. Un índice negativo se escribe con una barra sobre el número, como (2̄11), o con un signo menos, como (-2,1,1).

¿Por qué un plano que pasa por el origen no puede tener índices de Miller? Los índices de Miller se obtienen a partir del recíproco de una intersección. Un plano que pasa por el origen intercepta todos los ejes en 0, y 1/0 no está definido, por lo que el método no puede asignar índices a menos que se desplace el plano.

¿Cuál es la diferencia entre los índices de Miller y los de Miller-Bravais? Los índices de Miller (hkl) utilizan tres números y funcionan para cualquier sistema cristalino. Los índices de Miller-Bravais (hkil) añaden un cuarto índice dependiente y se utilizan principalmente para cristales hexagonales, donde facilitan el reconocimiento de planos equivalentes por simetría.

¿Cómo se relaciona la separación entre planos con los índices de Miller? En un cristal cúbico con longitud de arista a, la separación entre planos (hkl) adyacentes es d = a / √(h² + k² + l²). Los planos con índices más altos están más juntos. Otros sistemas cristalinos utilizan una fórmula similar, pero más compleja, que tiene en cuenta longitudes desiguales de los ejes y ángulos que no miden 90°.

Referencias

1. Miller, W. H. (1839). Tratado de cristalografía. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., y Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4.ª edición). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., y Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3.ª edición). Pearson Education.
5. Unión Internacional de Cristalografía. (2016). Tablas internacionales de cristalografía, volumen A: simetría de grupos espaciales. Wiley.